Aufgaben zum Differenzen- und Differentialquotient

Berechne die Steigung der Funktion $f (x) = - 2 x^{3} - x$ an der Stelle

$x_{0} = - 1$ mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
	↓	Zunächst setzt man $x_{0} = - 1$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$
	↓	Setzte $f$ in die Formel ein. Achte auf die Vorzeichen!
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[-2(-1+h)^3-(-1+h) ]-[-2(-1)^3-(-1) ]}{h}$
	↓	Löse möglichst viele Klammern auf
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[-2(-1+h)^3+1-h) ]-[2+1]}{h}$
	↓	Nutze den binomischen Lehrsatz oder berechne $(-1+h)^3=(-1+h)^2 \cdot (-1+h)= (1^2-2h+h^2)\cdot (-1+h)= -1+2h-h^2 +h-2h^2+h^3=-1+3h-3h^2+h^3$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{-2[-1+3h-3h^2+h^3]+1-h -3}{h}$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{[2-6h+6h^2-2h^3]-h-2}{h}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{-7h+6h^2-2h^3}{h}$
	↓	Klammere $h$ im Zähler aus.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{h(-7+6h-2h^2)}{h}$
	↓	Kürze $h$ .
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}(-7+6h-2h^2)$
	↓	Jetzt kann man das Limit ziehen.
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -7$

Die Steigung $m = - 7$ entspricht der berechneten Steigung an der Stelle $x = - 1$ von $f$ .

Man bestimmt $t (x)$ indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt berührte Punkt $A (x ∣ f (x)) = A (- 1 ∣ 3)$ auf der Tangente liegen muss.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle m \cdot x +b$
	↓	Setzt man den Berührungspunkt ein
$\displaystyle f(-1)$	$=$	$\displaystyle m \cdot (-1)+b$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle b-m$
	↓	Setzt man $m = - 7$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle b-(-7)$	$\displaystyle -7$
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle b$

Die Gleichung der Tangente ist somit $t(x)= -7 \cdot x-4$

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