Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Hier findest du gemischte Aufgaben zu den Winkelfunktionen im Dreieck. Lerne, Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck anzuwenden!

1
Höhe eines Baums
Der Baum wirft bei schönem Wetter einen Schatten, mit der Länge $l = 12 m$ .
Gemessen wird der Schatten unter einem Winkel von $30 °$ .
Berechne die Höhe des Baums.
Skizze des Baums
$6,93 m$
$6,34 m$
$5,12 m$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck untersuchen
Im rechtwinkligen Dreieck sind
die Höhe $h$ , die Gegenkathete des Winkels
und die Länge des Schattens $12 m$ , die Ankathete des Winkels.
Rechtwinkliges Dreieck
Höhe berechnen
Mit dem Tangens gilt: $\tan (30 °) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (30 °)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
↓
Einsetzen
$\tan (30 °)$ $=$ $\frac{h}{12 m}$ $\cdot 12 m$
↓
Umformen
$\tan (30 °) \cdot 12 m$ $=$ $h$
$h$ $\approx$ $6,93 m$
Der Baum hat eine Höhe von etwa $6,93 m$ .
Untersuche, welche Seiten im rechtwinkligen Dreieck (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse) gesucht und gegeben sind.
Berechne die Höhe mit der geeigneten Winkelfunktion.
2
Seiten im rechtwinkligen Dreieck
1. Ordne die Begriffe den richtigen Seiten im Dreieck zu.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  Richtige Zuordnung
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  Die Hypotenuse ist immer gegenüber des rechten Winkels.
  Die Ankathete liegt an dem Winkel $α$ in diesem Beispiel.
  Die Gegenkathete liegen gegenüber des Winkels $α$ in diesem Beispiel.
2. Welche der aufgestellten Gleichungen ist richtig?
  $\sin (α) = \frac{Hypotenuse}{Gegenkathete}$
  $\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  $\cos (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  Die richtige Gleichung ist:
  $\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  Die anderen Gleichungen sind nicht richtig, denn für den Kosinus gilt:
  $\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
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3
Berechne die Seiten
Berechne die fehlenden Seiten der Dreiecke. Runde auf zwei Dezimalstellen.
1. $α = 55 °$
  $c = 5 cm$
  Berechne $a$ .
  Skizze
  $4,10 cm$
  $4,35 cm$
  $3,95 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  Mit dem Sinus berechnen wir:
  $\sin α$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  ↓
  Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
  $\sin (55 °)$ $=$ $\frac{a}{5 cm}$ $\cdot 5 cm$
  $\sin (55 °) \cdot 5 cm$ $=$ $a$
  $a$ $\approx$ $4,095...$
  ↓
  Runde auf zwei Stellen
  $\approx$ $4,10 cm$
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  Gib zuerst an, welche Seiten gegeben und gesucht sind:
  $a$ ist die gesuchte Gegenkathete
  $c$ ist die gegebene Hypotenuse
  Wähle die Winkelfunktion aus, die das Verhältnis der beiden Seiten beschreibt:
  $\sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}, \cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}, \tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
  Berechne damit die fehlende Seite.
2. $β = 40 °$
  $a = 6 cm$
  Berechne $c$ .
  $7,83 cm$
  $7,46 cm$
  $7,08 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  Mit dem Kosinus berechnen wir:
  $\cos β$ $=$ $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
  ↓
  Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
  $\cos (40 °)$ $=$ $\frac{6 cm}{c}$ $\cdot c$
  $c \cdot \cos (40 °)$ $=$ $6 cm$ $: \cos (40 °)$
  $c$ $=$ $\frac{6 cm}{\cos (40 °)}$
  $=$ $7,832...$
  ↓
  Runde auf zwei Stellen
  $\approx$ $7,83 cm$
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  Gib zuerst an, welche Seiten gegeben und gesucht sind:
  $a$ ist die gegebene Ankathete
  $c$ ist die gesuchte Hypotenuse
  Wähle die Winkelfunktion aus, die das Verhältnis der beiden Seiten beschreibt:
  $\sin β = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}, \cos β = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}, \tan β = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
  Berechne damit die fehlende Seite.
3. $γ = 45 °$
  $a = 4,5 cm$
  Berechne $c$ .
  $3,18 cm$
  $3,33 cm$
  $2,95 cm$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  Mit dem Sinus berechnen wir:
  $\sin γ$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  ↓
  Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
  $\sin (45 °)$ $=$ $\frac{c}{4,5 cm}$ $\cdot 4,5 cm$
  $\sin (45 °) \cdot 4,5 cm$ $=$ $c$
  $c$ $=$ $\sin (45 °) \cdot 4,5 cm$
  $=$ $3,181...$
  ↓
  Runde auf zwei Stellen
  $\approx$ $3,18 cm$
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  Gib zuerst an, welche Seiten gegeben und gesucht sind:
  $c$ ist die gesuchte Gegenkathete
  $a$ ist die gegebene Hypotenuse
  Wähle die Winkelfunktion aus, die das Verhältnis der beiden Seiten beschreibt:
  $\sin γ = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}, \cos γ = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}, \tan γ = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
  Berechne damit die fehlende Seite.
4
Schattenwurf
Heike ist $1,69 m$ groß. Wie lang ist ihr Schatten, wenn die Sonnenstrahlen in einem Winkel von $30 °$ auf den Boden auftreffen?
Gib das Ergebnis in Metern auf 2 Dezimalstellen gerundet an.
Schatten von Heike
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Lösung
Skizze der Aufgabe
$A C =$ Körpergröße von Heike $= 1,69 m$
$A B =$ Länge von Heikes Schatten
Im obigen Dreieck gilt: $tan (30^{\circ}) = \frac{A C}{A B}$
$tan (30^{\circ}) = \frac{1,69 m}{A B} \Rightarrow A B = \frac{1,69 m}{tan (30^{\circ})}$
$A B \approx \frac{1,69 m}{0.5774}$
$A B \approx 2,93 m$
Berechne die Länge des Schattens mithilfe des Tangens im rechtwinkligen Dreieck.
5
Winkel gesucht
Diese nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt ein Rechteck mit den Seitenlängen $a = 5,0 cm$ und $b = 7,0 cm$ .
Berechne den Winkel $α$ in ganzen Grad.
Skizze der Aufgabe
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus
Lösung
Mache dir als Erstes eine Skizze.
Zeichne ein Rechteck und trage den Winkel $α$ ein.
Skizze der Aufgabe
Wenn du nun eine Strecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zum Mittelpunkt der Seite $[B C]$ einzeichnest, dann wird durch diese Hilfslinie der gesuchte Winkel $α$ in zwei gleich große Teile geteilt.
Hilfsdreieck
Um den Winkel $\frac{α}{2}$ auszurechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Man kann $\frac{α}{2}$ mit dem Sinus ausrechnen, oder
man kann $\frac{α}{2}$ mit dem Tangens berechnen.
Mathematisch einfacher ist die Lösung mit dem Tangens.
Lösung mit Hilfe des Sinus
Zunächst rechnen wir die Strecke von $A$ nach $C$ aus und erhalten dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. $\begin{array}{rcl} A C & = & \sqrt{{A B}^{2} + {B C}^{2}} \\ A C & = & \sqrt{(7 cm)^{2} + (5 cm)^{2}} \\ A C & = & \sqrt{74} cm \end{array}$
Um den Winkel $α$ auszurechen, teilen wir die Strecke von $A$ nach $C$ und die Strecke von $A$ nach $B$ jeweils durch $2.$ Somit können wir den Sinus anwenden um $\frac{α}{2}$ auszurechnen. Danach multiplizieren wir den ausgerechneten Winkel mit $2$ und erhalten den gesuchten Winkel $α$ .
$\frac{B C}{2} = \frac{5 c m}{2} = 2,5 c m$
$\frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{74}}{2} cm$
$\sin (\frac{α}{2}) = \frac{\frac{B C}{2}}{\frac{A C}{2}} = \frac{2,5}{\frac{\sqrt{74}}{2}}$
$α = 2 \cdot \sin^{- 1} \frac{2,5}{(\frac{\sqrt{74}}{2})} \approx 71 °$
6
Rechnen im Dreieck
Diese Skizze zeigt ein nicht maßgetreues, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $h = 8 cm$ und den Winkeln $α = 65^{\circ}$ und $β = 80^{\circ}$ .
Skizze der Aufgabe
1. Berechne die Seitenlänge $a$ . Runde dabei auf zwei Dezimalstellen.
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus, Tangens
  Lösung
  Stelle mit dem Tanges die Gleichung auf:
  $\tan α$ $=$ $\frac{a}{h}$ $\cdot h$
  $a$ $=$ $\tan α \cdot h$
  ↓
  Setze die Werte für $α$ und $h$ ein.
  $=$ $\tan (65 °) \cdot 8$
  $=$ $17,156...$
  ↓
  Runde auf zwei Dezimalstellen.
  $\approx$ $17,16 cm$
  Die Seite $a$ ist $17,16 cm$ lang.
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  Das Dreieck mit dem Winkel $α$ enthält die Seitenlänge $a$ .
  Verwende den Tangens, um in diesem Dreieck die Seitenlänge $a$ zu bestimmen.
2. Berechne die Seitenlänge $b$ . Runde dabei auf zwei Dezimalstellen.
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus, Tangens
  Lösung
  $\tan β$ $=$ $\frac{a + b}{h}$ $\cdot h$
  $a + b$ $=$ $\tan β \cdot h$
  ↓
  Setze die Werte für $β$ und $h$ ein.
  $=$ $\tan (80 °) \cdot 8$
  $=$ $45,370...$
  ↓
  Runde auf zwei Dezimalstellen.
  $\approx$ $45,37$
  Die Seite $a + b$ ist insgesamt $45,37 cm$ lang.
  Damit ist $b = 45,37 cm - 17,16 cm = 28,21 cm$ lang.
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  Das große Dreieck enthält den Winkel $β$ und die zusammengesetzte Seite $a + b$ .
  Berechne die Länge $a + b$ und anschließend $b$ .
7
Der Umfang der Erde
Der griechische Mathematiker Eratosthenes hat vor über 2000 Jahren den Umfang der Erde berechnet.
Dazu brauchte er nur zwei Orte:
Einen tiefen Brunnen in Assuan und
den Obelisken in Alexandria
Sobald die Sonne genau über dem Brunnen in Assuan stand, wurde in Alexandria vermessen, wie groß der Schatten am Obelisk war.
Wie Eratosthenes werden wir auf diese Weise den Umfang der Erde berechnen.
Skizze des Aufbaus
1. Schatten in Alexandria
  In Alexandria befindet sich der Obelisk der Kleopatra.
  Er ist $20 m$ hoch und warf einen Schatten von $2,5 m$ .
  Berechne den Winkel $α$ in der Spitze des Obelisken. Runde dabei auf zwei Stellen.
  Skizze des Dreiecks am Obelisk
  °
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Lösung
  In diesem rechtwinkligen Dreieck sind Gegenkathete und Ankathete gegeben. Damit wählen wir den Tangens, um den Winkel $α$ aus diesen Seiten zu berechnen.
  $\tan α$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
  $=$ $\frac{2,5}{20}$
  ↓
  Verwende $\tan^{- 1} ()$ auf beiden Seiten
  $α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{2,5}{20})$
  $=$ $7,125... °$
  ↓
  Runde auf zwei Stellen
  $\approx$ $7,13 °$
  Der Schatten fällt in einem Winkel von $7,13 °$ .
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  Im rechtwinkligen Dreieck sind die folgenden Seiten gegeben:
  die Gegenkathete von $α$ mit $20 m$
  die Ankathete von $α$ mit $2,5 m$
  Berechne den Winkel mithilfe des Tangens.
2. Die Suche nach dem Winkel
  Der Winkel $α$ am Obelisk ist sehr wichtig. In der Skizze ist $α$ noch einmal zu finden, klicke ihn an!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  Lösung
  Der Winkel $α$ ist als Wechselwinkel im Dreieck von Alexandria, Assuan und dem Erdmittelpunkt zu finden.
  Der Winkel $α$ beschreibt damit auf eine gewisse Art die Distanz zwischen Alexandria und Assuan.
  Lösung im Bild
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  In der Skizze sind die gestrichelte Linie und die Linie nach Assuan parallel.
  In so einer Konstruktion lohnt es sich nach Scheitelwinkel, Wechselwinkel und Stufenwinkel zu suchen. Welchen findest du?
3. Der Umfang der Erde
  Die Strecke von Alexandria nach Assuan wurde von den Soldaten des Pharaos abmarschiert, um sie zu messen: $787,5 km$
  Diese Strecke steht zum Erdumfang im gleichen Verhältnis, wie der Winkel $α$ zum vollen Winkel $360 °$ .
  Berechne damit den Erdumfang in ganzen $km$ .
  Skizze der Erde
  km
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Proportionalität
  Lösung
  Aus der Gleichheit der Verhältnisse erhält man die Gleichung:
  $\frac{360 °}{7,13 °}$ $=$ $\frac{Erdumfang}{787,5 km}$ $\cdot 787,5$
  $\frac{360 °}{7,13 °} \cdot 787,5$ $=$ $Erdumfang$
  $Erdumfang$ $=$ $39761,57... km$
  $\approx$ $39762 km$
  Wir haben wie Eratosthenes den Umfang der Erde auf $39762 km$ bestimmt.
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  Berechne das Verhältnis der Winkel $\frac{360 °}{7,13 °}$ .
  Das ist das gleiche Verhältnis, wie $\frac{Erdumfang}{787,5 km}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\tan (30 °)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
	↓	Einsetzen
$\tan (30 °)$	$=$	$\frac{h}{12 m}$	$\cdot 12 m$
	↓	Umformen
$\tan (30 °) \cdot 12 m$	$=$	$h$
$h$	$\approx$	$6,93 m$

$\sin α$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
	↓	Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
$\sin (55 °)$	$=$	$\frac{a}{5 cm}$	$\cdot 5 cm$
$\sin (55 °) \cdot 5 cm$	$=$	$a$
$a$	$\approx$	$4,095...$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$\approx$	$4,10 cm$

$\cos β$	$=$	$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
	↓	Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
$\cos (40 °)$	$=$	$\frac{6 cm}{c}$	$\cdot c$
$c \cdot \cos (40 °)$	$=$	$6 cm$	$: \cos (40 °)$
$c$	$=$	$\frac{6 cm}{\cos (40 °)}$
	$=$	$7,832...$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$\approx$	$7,83 cm$

$\sin γ$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
	↓	Setze die Werte und Bezeichnungen ein.
$\sin (45 °)$	$=$	$\frac{c}{4,5 cm}$	$\cdot 4,5 cm$
$\sin (45 °) \cdot 4,5 cm$	$=$	$c$
$c$	$=$	$\sin (45 °) \cdot 4,5 cm$
	$=$	$3,181...$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$\approx$	$3,18 cm$

$\tan α$	$=$	$\frac{a}{h}$	$\cdot h$
$a$	$=$	$\tan α \cdot h$
	↓	Setze die Werte für $α$ und $h$ ein.
	$=$	$\tan (65 °) \cdot 8$
	$=$	$17,156...$
	↓	Runde auf zwei Dezimalstellen.
	$\approx$	$17,16 cm$

$\tan β$	$=$	$\frac{a + b}{h}$	$\cdot h$
$a + b$	$=$	$\tan β \cdot h$
	↓	Setze die Werte für $β$ und $h$ ein.
	$=$	$\tan (80 °) \cdot 8$
	$=$	$45,370...$
	↓	Runde auf zwei Dezimalstellen.
	$\approx$	$45,37$

$\tan α$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
	$=$	$\frac{2,5}{20}$
	↓	Verwende $\tan^{- 1} ()$ auf beiden Seiten
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{2,5}{20})$
	$=$	$7,125... °$
	↓	Runde auf zwei Stellen
	$\approx$	$7,13 °$

$\frac{360 °}{7,13 °}$	$=$	$\frac{Erdumfang}{787,5 km}$	$\cdot 787,5$
$\frac{360 °}{7,13 °} \cdot 787,5$	$=$	$Erdumfang$
$Erdumfang$	$=$	$39761,57... km$
	$\approx$	$39762 km$

Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Höhe eines Baums

Rechtwinkliges Dreieck untersuchen

Höhe berechnen

Seiten im rechtwinkligen Dreieck

Lösung

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Berechne die Seiten

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Schattenwurf

Lösung

Winkel gesucht

Lösung

Lösung mit Hilfe des Sinus

Rechnen im Dreieck

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Der Umfang der Erde

Schatten in Alexandria

Lösung

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Die Suche nach dem Winkel

Lösung

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Der Umfang der Erde

Lösung

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