Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

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Rechnen im Dreieck

Diese Skizze zeigt ein nicht maßgetreues, rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $h=8\,\mathrm{cm}$ und den Winkeln $\mathrm\alpha=65^\circ$ und $\beta=80^\circ$ .

Berechne die Seitenlänge $a$ . Runde dabei auf zwei Dezimalstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus, Tangens

Lösung

Stelle mit dem Tanges die Gleichung auf:

$\displaystyle \tan\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{h}$	$\displaystyle \cdot h$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \tan\alpha\ \cdot h$
	↓	Setze die Werte für $\alpha$ und $h$ ein.
	$=$	$\displaystyle \tan\left(65°\right)\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 17{,}156...$
	↓	Runde auf zwei Dezimalstellen.
	$≈$	$\displaystyle 17{,}16\ \text{cm}$

Die Seite $a$ ist $17{,}16~\text{cm}$ lang.

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Das Dreieck mit dem Winkel $\alpha$ enthält die Seitenlänge $a$ .

Verwende den Tangens, um in diesem Dreieck die Seitenlänge $a$ zu bestimmen.

Berechne die Seitenlänge $b$ . Runde dabei auf zwei Dezimalstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus, Tangens

Lösung

$\displaystyle \tan\beta$	$=$	$\displaystyle \frac{a+b}{h}$	$\displaystyle \cdot h$
$\displaystyle a+b$	$=$	$\displaystyle \tan\beta\cdot h$
	↓	Setze die Werte für $\beta$ und $h$ ein.
	$=$	$\displaystyle \tan\left(80°\right)\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 45{,}370...$
	↓	Runde auf zwei Dezimalstellen.
	$≈$	$\displaystyle 45{,}37$

Die Seite $a+b$ ist insgesamt $45{,}37~\text{cm}$ lang.

Damit ist $b=45{,}37\text{\ cm }-17{,}16\text{\ cm\ }=28{,}21\ \text{cm}$ lang.

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Das große Dreieck enthält den Winkel $\beta$ und die zusammengesetzte Seite $a+b$ .

Berechne die Länge $a+b$ und anschließend $b$ .