Trigonometrie am Einheitskreis

Trägt man an der $x$ -Achse einen Winkel $\alpha$ an, kann man mithilfe des Einheitskreises die Werte des Sinus und Kosinus von $\alpha$ ablesen.

Betrachtet man das rechtwinklige Dreieck mit Winkel $\mathrm\alpha$ im Einheitskreis, so hat die Hypotenuse die Länge $1$ :

$\color{#FD6600}{\cos\left(\alpha\right)}=\color{#FD6600}{\text{Ankathete}}$
$\color{#CC0000}{\sin\left(\alpha\right)}=\color{#CC0000}{\text{Gegenkathete}}$

Vorzeichen

Die trigonometrischen Funktionen können beim Übergang von einem Quadranten in den nächsten ihr Vorzeichen wechseln. Der Wechsel ist in folgenden Graphen veranschaulicht.

Wichtige Werte

In der unteren Tabelle sind einige wichtige Werte für die trigonometrischen Funktionen aufgeführt. Für die ersten fünf Werte des Sinus und Kosinus gibt es eine leichte Möglichkeit, sich die Werte zu merken. Sie haben die allgemeine Form $\frac{1}{2}\sqrt{\green n}$ , wobei man für den Sinus in aufsteigender Reihenfolge die Zahlen $0$ bis $4$ einsetzt und für den Kosinus in absteigender Reihenfolge.

Winkel	$0 °$	$30 °$	$45 °$	$60 °$	$90 °$	$180 °$	$270 °$	$360 °$
$\sin(\alpha)$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 0}\\~\\=0$	$\frac{1}{2}\sqrt{{\green1}}\\~\\=\dfrac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 2} \\~\\=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 3} \\~\\=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 4}\\~\\=1$	$0$	$- 1$	$0$
$\cos(\alpha)$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 4}\\~\\=1$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 3} \\~\\=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 2} \\~\\=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 1}\\~\\=\dfrac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{\green 0}\\~\\=0$	$- 1$	$0$	$1$
$\tan(\alpha)$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$*$	$0$	$*$	$0$

$* :$ An diesen Stellen existiert der Tangens nicht, da der Tangens als "Sinus durch Kosinus" definiert ist und an diesen Stellen der Kosinus gleich null ist.

Veranschaulichung am Applet

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Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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