Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Warum ist die Ableitung vom Sinus der Kosinus?

Die Ableitung der Sinusfunktion kann man formal mithilfe der hh-Methode bestimmen. Damit kann man zeigen, dass die Ableitung die Kosinusfunktion ist.

In der Schule wird diese Beziehung oft durch das grafische Differenzieren gezeigt.

Zuletzt kann diese Relation auch durch das Betrachten der Potenzreihen anschaulich gemacht werden.

Beweis durch die h-Methode

Im nächsten Schritt verwendet man das Additionstheorem für die Sinusfunktion:

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)

Im Zähler fasst man sin(x)cos(h)\sin(x)\cos(h) und sin(x)-\sin(x) zusammen und klammert sin(x)\sin(x) aus.

Man kann den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auftrennen.

Wenn es die Grenzwerte beider Summanden gibt, kann man den Limes in beide Summanden ziehen.

sin(x)\sin(x) und cos(x)\cos(x) hängen nicht von hh ab. Deswegen darf man sie vor den Limes schreiben.

limh0cos(h)1h\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h} ist die Ableitung des Kosinus an der Stelle 00. Das sieht man mit der hh-Methode:

(cos(0))=limh0cos(0+h)cos(0)h=limh0cos(h)1h(\cos(0))'=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(0+h)-\cos(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}.

Die Ableitung an der Stelle 00 ist anschaulich die Steigung der Tangente:

Tangente Kosinus Ableitung

Der Kosinus hat bei 00 ein Maximum. Deswegen hat die Tangente die Steigung 00. Das heißt: (cos(0))=0(\cos(0))'=0.

Für sehr kleine hh ist hh in etwa genauso groß wie sin(h)\sin(h).

Im Grenzwert gilt also limh0sin(h)h=1.\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=1.

Die Ableitung der Kosinusfunktion

Kennt man bereits die Ableitung der Sinusfunktion, kann man (cos(x))(\cos(x))' mit der Kettenregel ausrechnen. Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion um π2\frac{\pi}{2} nach links, erhält man die Kosinusfunktion. Das bedeutet: cos(x)=sin(x+π2)\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right). Leitet man beide Seiten der Gleichung ab, erhält man:

Um die Kettenregel zu verwenden, setzt man v(x)=x+π2v(x)=x+\frac{\pi}{2} und u(v)=sin(v)u(v)=\sin(v). Die Kettenregel lautet:

u(v(x))=u(v(x))v(x)u(v(x))'=u'(v(x))\cdot v'(x).

Da jetzt die Ableitung vom Sinus bekannt ist, kann man uu' berechnen.

u(v)=sin(v)=cos(v)u'(v)=\sin'(v)=\cos(v).

Die Ableitung von vv ist

v(x)=(x+π2)=1v'(x)=\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 1.

Verschiebt man die Kosinuskurve um π2\frac{\pi}{2} nach links, bekommt man die negative Sinuskurve.

Mit dieser Rechnung hat man gezeigt: (cos(x))=sin(x)(\cos(x))'=-\sin(x).

Betrachtung der Potenzreihen

Die Sinus- und Kosinusfunktion können als Potenzreihen dargestellt werden:

sin(x)=k=0(1)kx2k+1(2k+1)!=xx33!+x55!x77!+...\sin\left(x\right)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\cdot\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+...

cos(x)=k=0(1)k+1x2k(2k)!=1x22+x44!x66!+...\cos\left(x\right)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1}\cdot\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+...

Das Ableiten der Sinusfunktion kann durch das Ableiten der Potenzreihe realisiert werden, wobei jeder Summand einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Dadurch wird die Potenz kleiner und der Nenner wird mit dem neuen Faktor verrechnet, was hier mit einem Summanden aus der Sinusreihe ersichtlich wird:

Es entsteht genau der Summand, der in der Potenzreihe des Kosinus auftritt.

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?