Die Ableitung an der Stelle 0 ist anschaulich die Steigung der Tangente:
Der Kosinus hat bei 0 ein Maximum. Deswegen hat die Tangente die Steigung 0. Das heißt: (cos(0))′=0.
Für sehr kleine h ist h in etwa genauso groß wie sin(h).
Im Grenzwert gilt also h→0limhsin(h)=1.
Die Ableitung der Kosinusfunktion
Kennt man bereits die Ableitung der Sinusfunktion, kann man (cos(x))′ mit der Kettenregel ausrechnen. Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion um 2π nach links, erhält man die Kosinusfunktion. Das bedeutet: cos(x)=sin(x+2π). Leitet man beide Seiten der Gleichung ab, erhält man:
Um die Kettenregel zu verwenden, setzt man v(x)=x+2π und u(v)=sin(v). Die Kettenregel lautet:
u(v(x))′=u′(v(x))⋅v′(x).
Da jetzt die Ableitung vom Sinus bekannt ist, kann man u′ berechnen.
u′(v)=sin′(v)=cos(v).
Die Ableitung von v ist
v′(x)=(x+2π)=1.
Verschiebt man die Kosinuskurve um 2π nach links, bekommt man die negative Sinuskurve.
Mit dieser Rechnung hat man gezeigt: (cos(x))′=−sin(x).
Betrachtung der Potenzreihen
Die Sinus- und Kosinusfunktion können als Potenzreihen dargestellt werden:
Das Ableiten der Sinusfunktion kann durch das Ableiten der Potenzreihe realisiert werden, wobei jeder Summand einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Dadurch wird die Potenz kleiner und der Nenner wird mit dem neuen Faktor verrechnet, was hier mit einem Summanden aus der Sinusreihe ersichtlich wird:
Es entsteht genau der Summand, der in der Potenzreihe des Kosinus auftritt.
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