Warum ist die Ableitung vom Sinus der Kosinus?

Beweis durch die h-Methode

Im nächsten Schritt verwendet man das Additionstheorem für die Sinusfunktion:

$\sin (x+y)=\sin (x)\cos (y)+\cos (x)\sin (y)\backslash sin(x+y)=\backslash sin(x)\backslash cos(y)+\backslash cos(x)\backslash sin(y)$

Im Zähler fasst man $\sin (x)\cos (h)\backslash sin(x)\backslash cos(h)$ und $-\sin (x)-\backslash sin(x)$ zusammen und klammert $\sin (x)\backslash sin(x)$ aus.

Man kann den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auftrennen.

Wenn es die Grenzwerte beider Summanden gibt, kann man den Limes in beide Summanden ziehen.

$\sin (x)\backslash sin(x)$ und $\cos (x)\backslash cos(x)$ hängen nicht von $hh$ ab. Deswegen darf man sie vor den Limes schreiben.

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (h)-1}{h}\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash to0\}\backslash frac\{\backslash cos(h)-1\}\{h\}$ ist die Ableitung des Kosinus an der Stelle $00$. Das sieht man mit der $hh$-Methode:

$(\cos (0){)}^{\mathrm{\prime }}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (0+h)-\cos (0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (h)-1}{h}(\backslash cos(0))\text{'}=\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash to0\}\backslash frac\{\backslash cos(0+h)-\backslash cos(0)\}\{h\}=\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash to0\}\backslash frac\{\backslash cos(h)-1\}\{h\}$.

Die Ableitung an der Stelle $00$ ist anschaulich die Steigung der Tangente:

Der Kosinus hat bei $00$ ein Maximum. Deswegen hat die Tangente die Steigung $00$. Das heißt: $(\cos (0){)}^{\mathrm{\prime }}=0(\backslash cos(0))\text{'}=0$.

Für sehr kleine $hh$ ist $hh$ in etwa genauso groß wie $\sin (h)\backslash sin(h)$.

Im Grenzwert gilt also $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}=1.\backslash lim\backslash limits\_\{h\backslash to0\}\backslash frac\{\backslash sin(h)\}\{h\}=1.$

Um die Kettenregel zu verwenden, setzt man $v(x)=x+\frac{\pi }{2}v(x)=x+\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ und $u(v)=\sin (v)u(v)=\backslash sin(v)$. Die Kettenregel lautet:

$u(v(x){)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}(v(x))\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)u(v(x))\text{'}=u\text{'}(v(x))\backslash cdot\; v\text{'}(x)$.

Da jetzt die Ableitung vom Sinus bekannt ist, kann man $u^{\mathrm{\prime }}u\text{'}$ berechnen.

$u^{\mathrm{\prime }}(v)={\sin }^{\mathrm{\prime }}(v)=\cos (v)u\text{'}(v)=\backslash sin\text{'}(v)=\backslash cos(v)$.

Die Ableitung von $vv$ ist

$v^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+\frac{\pi }{2})=1v\text{'}(x)=\backslash left(x+\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\; =\; 1$.

Verschiebt man die Kosinuskurve um $\frac{\pi }{2}\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ nach links, bekommt man die negative Sinuskurve.