Teilmenge einer Menge

Anmerkungen

• $⌀\subseteq A\subset G$

  Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und jede Menge muss Teilmenge der Grundmenge sein.

• $A\subseteq A$

  Jede Menge ist (unechte) Teilmenge von sich selbst.

• Wenn $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$, dann sind $A$ und $B$ die gleiche Menge: $A=B$

• Wenn $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$, dann ist auch $A\subseteq C$.

• $A\subseteq (A\cup B)$

  Jede Menge ist Teilmenge der Vereinigung von sich mit einer anderen Menge

• $(A\cap B)\subseteq A$

  Der Schnitt einer Menge mit einer anderen Menge ist immer Teilmenge der ursprünglichen Menge

• Für die Mächtigkeit einer Teilmenge $A\subseteq B$ gilt: $\left|A\right|\le \left|B\right|$

Potenzmenge

Als Potenzmenge  $𝒫\left(A\right)$ bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von $A$.

Bei $A=(1,2,3)$  ist  $𝒫(A)=(⌀,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{\mathrm{1,2}\right\},\left\{\mathrm{1,3}\right\},\left\{\mathrm{2,3}\right\},\left\{\mathrm{1,2,3}\right\})$ .

Hierbei ist zu beachten, dass diese Menge selbst Mengen enthält.

$\left\{\left\{1\right\}\right\}$ und $\left\{1\right\}$ sind nicht das gleiche.

Die Mächtigkeit der Potenzmenge $|𝒫(A)|$ , kann berechnet werden durch  $|𝒫(A)|=2^{\left|A\right|}$ .

In jeder Teilmenge hat jedes Element 2 Möglichkeiten, es ist enthalten, oder eben nicht.

Im Beispiel ist also $|𝒫(A)|=2^{\left|A\right|}=2^3=8$.