Mächtigkeit

Grundlagen zur Mächtigkeit

Gleichmächtig

Die Menge $A=\{2{,}3,5{,}7\}$ aller einstelligen Primzahlen besitzt $4$ Elemente. Es ist damit:

Die Menge $B=\left\{2{,}4,6{,}8\right\}$ besitzt ebenso $\left|B\right|=4$ Elemente. Wenn zwei Mengen, so wie $A$ und $B$ gleich viele Elemente besitzen, also $\left|A\right|=\left|B\right|$ gilt, nennt man die Mengen gleichmächtig.

Unendlich große Mengen

Falls $M$ unendlich viele Elemente hat, ist die Mächtigkeit unendlich ($\infty$). So ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb N$ unendlich und wir schreiben $|\mathbb N| = \infty$.

Beispiele

• $|A|=\left|\left\{\mathrm{Baum},\;\mathrm{Busch},\;\mathrm{Blatt}\right\}\right|=3$

• $|B|=\left|\left\{1{,}2,100{,}30\right\}\right|=4$

• $|C|=\left|\left\{1{,}1,1{,}1,2\right\}\right|=2$, da eine Menge ein Element nicht mehrmals enthalten kann!

• $|D|=|A\cup B|=|\{\mathrm{Baum}, \mathrm{Busch}, \mathrm{Blatt}, 1{,}2,100{,}30\}|= 3+4-0=7$

Mächtigkeit in der Wahrscheinlichkeit

Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge wird unter anderem in der Stochastik verwendet. Dort fasst man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in die Menge „Ergebnisraum“ $\Omega$ zusammen. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums $|\Omega|$ ist damit die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment ist gegeben durch die Mächtigkeiten der Ereignis- und Ergebnismenge.

Das Ereignis $A=\left\{1{,}5\right\}$ beim Würfeln mit einem Würfel besitzt die Wahrscheinlichkeit:

Rechenregeln

• $\left|M\cup N\right|=\left|M\right|+\left|N\right|-|M\cap N|$. Vergleiche dazu: Mengenlehre.

• $\left|M \times N\right|=\left|M\right|\cdot\left|N\right|$. Vergleiche dazu: kartesisches Produkt.

Potenzmenge

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge $A$, ist: $\mathcal P(A)=2^{\left|A\right|}$. Ein Beispiel für eine Potenzmenge ist der Ereignisraum.