Ergebnismenge

Die Ergebnismenge oder der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments .

Bezeichnet wird die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum zumeist mit dem griechischen Buchstaben Ω\mathrm\Omega ("Omega"). (In manchen Lehrbüchern wird auch das Symbol S verwendet.)

Die Ereignismenge ist die Menge aller Ereignisse und nicht das selbe wie die Ergebnismenge!

Finden eines geeigneten Ergebnisraumes

Um zu einem Zufallsexperiment einen geeigneten Ergebnisraum zu finden, muss man sich überlegen, welche Ergebnisse bei diesem Experiment theoretisch herauskommen können.

Beispiele

Würfeln mit einem Würfel

Beim Würfeln mit einem Würfel lautet der Ergebnisraum normalerweise: Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\right\}

Einmaliges Werfen einer Münze

Beim einmaligen Werfen einer Münze lautet der (naheliegende) Ergebnisraum Ω={Kopf,  Zahl}\Omega=\left\{Kopf,\;Zahl\right\} oder auch Ω={K,Z}\Omega=\left\{K,Z\right\}, wenn man die Ergebnisse entsprechend abkürzen will.

Dreimaliges Werfen einer Münze

Beim dreimaligen Werfen einer Münze ist ein sinnvoller Ergebnisraum

Dieser Ergebnisraum lässt sich gut z. B. anhand eines Baumdiagramms ermitteln.

Verschiedene Möglichkeiten für die Wahl des Ergebnisraums bei einem Zufallsexperiment

Einen Ergebnisraum "berechnet" man nicht, sondern man wählt ihn (passend zur Situation der Aufgabe).

(Trotzdem ist natürlich bei den meisten Aufgaben ein bestimmter Ergebnisraum naheliegend bzw. vernünftig, siehe obige Beispiele).

Beispiel

Man zieht aus einem Kartenspiel mit 32 Karten eine beliebige Karte.

  1. Wie können verschiedene Ergebnisräume aussehen?

  2. Welche ist die größte Ergebnismenge?

Lösung:

  1. Man kann sich nur auf die Farbe konzentrieren, dann wäre der Ergebnisraum Ω1={rot,schwarz}\Omega_1=\{rot, schwarz\}.

    Eine weitere Möglichkeit ist, sich die Farbenwerte anzusehen: Ω2={Herz,Pik,Karo,Kreuz}\Omega_2=\{Herz, Pik, Karo, Kreuz\}, oder auch die Kartenwerte: Ω={7,8,9,10,Bube,Dame,Koenig,Ass}\Omega=\{7{,}8,9{,}10,Bube, Dame, Koenig, Ass\}.

    Schließlich kann man alle Merkmale berücksichtigen:

    (Im Folgenden steht HH für Herz, PP für Pik, KK für Karo und KrKr für Kreuz.)

  2. Die größte Ergebnismenge ist immer die detaillierteste, also Ω3\Omega_3 mit Ω3=32|\Omega_3|=32.

Urnenmodell

Viele Zufallsexperimente können mit Hilfe eines Urnenmodells simuliert werden. 

In der Urne befinden sich nn Elemente ("Kugeln"), von denen kk Elemente gezogen werden.

Die Urne kann als Ergebnisraum aufgefasst werden.

Beispiel

Zufallsexperiment:

Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl wird festgestellt.

Zugehöriges Urnenmodell:

In einer Urne befinden sich sechs von 1 bis 6 nummerierte Kugeln, es wird einmal gezogen.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner Aufgaben zum Thema Ergebnisraum oder Ergebnismenge

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