Laplace-Experiment

Beispiel

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Elementarereignisse

Bei Laplace-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses $\omega \backslash omega$ (griechischer Buchstabe für klein-"Omega") immer gleich:

Das folgt daraus, dass es $\mathrm{\mid }\mathrm{\Omega }\mathrm{\mid }|\backslash Omega|$ (groß-"Omega") viele Elementarereignisse gibt und die Summe deren Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ergibt, wie man sehr leicht sieht, $11$.

Beispiel:

Bei einem Würfel gibt es 6 Elementarereignisse, nämlich die Zahlen eins bis sechs zu würfeln. Dabei haben die einzelnen Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$, d.h. $P(\omega )=\frac{1}{6}P(\backslash omega)=\backslash frac16$ für alle $\omega \in \mathrm{\Omega }\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega$, wobei $\mathrm{\Omega }=\{\mathrm{1,2},\dots ,6\}\backslash Omega=\backslash left\backslash \{1\{,\}2,\dots ,6\; \backslash right\backslash \}$.

Allgemeines Ereignis

In einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, das aus mehreren Elementarereignissen besteht,

Dabei ist $\mid A\mid \backslash left|A\backslash right|$ die Anzahl der Elementarereignisse in $AA$ und $\mid \mathrm{\Omega }\mid \backslash left|\backslash Omega\backslash right|$ die Gesamtanzahl der Elementarereignisse: 

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ist daher ein großes Anwendungsgebiet der Kombinatorik, da diese sich genau mit dem Abzählen von bestimmten Ereignissen beschäftigt.

Beispiel

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und $A=A=$"eine gerade Augenanzahl wird gewürfelt". Dann ist

und somit

Video zum Laplace-Experiment