Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiel

Es wird ein gewöhnlicher Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 geworfen. Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl gewürfelt wird, für alle Augenzahlen gleich ist, spricht man hier von einem Laplace-Experiment. Einen solchen Würfel bezeichnet man oft auch als Laplace-Würfel.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Elementarereignisse

Bei Laplace-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses $ω$ (griechischer Buchstabe für klein-"Omega") immer gleich:

P (ω) = \frac{1}{| Ω |}

Das folgt daraus, dass es $| Ω |$ (groß-"Omega") viele Elementarereignisse gibt und die Summe deren Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ergibt, wie man sehr leicht sieht, $1$ .

Beispiel:

Bei einem Würfel gibt es 6 Elementarereignisse, nämlich die Zahlen eins bis sechs zu würfeln. Dabei haben die einzelnen Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ , d.h. $P (ω) = \frac{1}{6}$ für alle $ω \in Ω$ , wobei $Ω = {1,2, \dots, 6}$ .

Allgemeines Ereignis

In einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, das aus mehreren Elementarereignissen besteht,

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}

Dabei ist $| A |$ die Anzahl der Elementarereignisse in $A$ und $| Ω |$ die Gesamtanzahl der Elementarereignisse:

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |} = \frac{Anzahl der Elementarereignisse in A}{Gesamtzahl der Elementarereignisse}

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ist daher ein großes Anwendungsgebiet der Kombinatorik, da diese sich genau mit dem Abzählen von bestimmten Ereignissen beschäftigt.

Beispiel

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und $A =$ "eine gerade Augenanzahl wird gewürfelt". Dann ist

\begin{array}{l} A = {2,4,6} \Rightarrow | A | = 3 \\ Ω = {1,2,3,4,5,6} \Rightarrow | Ω | = 6 \end{array}

und somit

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

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