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Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiel

Würfel

Würfel

Es wird ein gewöhnlicher Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 geworfen. Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl gewürfelt wird, für alle Augenzahlen gleich ist, spricht man hier von einem Laplace-Experiment. Einen solchen Würfel bezeichnet man oft auch als Laplace-Würfel.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Elementarereignisse

Bei Laplace-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ω\omega (griechischer Buchstabe für klein-"Omega") immer gleich:

Das folgt daraus, dass es Ω|\Omega| (groß-"Omega") viele Elementarereignisse gibt und die Summe deren Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ergibt, wie man sehr leicht sieht, 11.

Beispiel:

Bei einem Würfel gibt es 6 Elementarereignisse, nämlich die Zahlen eins bis sechs zu würfeln. Dabei haben die einzelnen Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit 16\frac{1}{6}, d.h. P(ω)=16P(\omega)=\frac16 für alle ωΩ\omega \in \Omega, wobei Ω={1,2,,6}\Omega=\left\{1{,}2,…,6 \right\}.

Allgemeines Ereignis

In einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, das aus mehreren Elementarereignissen besteht,

Dabei ist A\left|A\right| die Anzahl der Elementarereignisse in AA und Ω\left|\Omega\right| die Gesamtanzahl der Elementarereignisse: 

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ist daher ein großes Anwendungsgebiet der Kombinatorik, da diese sich genau mit dem Abzählen von bestimmten Ereignissen beschäftigt.

Beispiel

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und A=A="eine gerade Augenanzahl wird gewürfelt". Dann ist

und somit

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