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Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit stellt ein Maß für die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar.

Jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes wird eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet.

  • Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A\sf A schreibt man meistens P(A)\sf P(A) (das P kommt vom englischen Wort probability).

  • Je höher P(A)\sf P(A) ist, desto wahrscheinlicher ist, dass bei diesem Zufallsexperiment das Ereignis A\sf A eintreten wird.

    • Tritt A\sf A mit Sicherheit ein, so gilt P(A)=1\sf P(A) = 1.

    • Tritt A\sf A mit Sicherheit nicht ein, so gilt P(A)=0\sf P(A) = 0.

Beispiele

1. Werfen eines fairen Würfels

Wirft man einen fairen Würfel, so könnte jede (natürliche) Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Sicherheit fallen. Hier macht es Sinn, dass alle Elementarereignisse

die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, also P(A1)=P(A2)==P(A6)=16\sf P(A_1) = P(A_2) = \dots = P(A_6) = \dfrac{1}{6}.

2. Werfen eines unfairen (= gezinkten) Würfels

Wenn man weiß, dass der Würfel immer auf eine bestimmte Seite fallen wird, zum Beispiel auf die 5, können die Ereignisse A1,A2,,A6\sf A_1, A_2,\dots, A_6 nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Für die Ereignisse A1,A2,A3,A4\sf A_1, A_2, A_3, A_4 und A6\sf A_6 muss jetzt gelten

da man weiß, dass diese nicht eintreten können.

Das Ereignis A5\sf A_5 hat jedoch die Wahrscheinlichkeit P(A5)=1,\sf P(A_5) = 1, weil es sicher eintreten wird.

Bemerkung

Bei vielen Zufallsexperimenten ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen direkt zu bestimmen. In solchen Fällen wird für P(A)\sf P(A) das Experiment sehr oft wiederholt und der Grenzwert der relativen Häufigkeiten hn(A)\sf h_n(A) des Ereignisses A\sf A bei n\sf n\rightarrow\infty als Wahrscheinlichkeit gewählt.

Warum diese Wahl von Wahrscheinlichkeiten Sinn macht, findet man im Artikel Gesetz der großen Zahlen.

Rechenregeln

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses A\sf \overline A zum Ereignis A\sf A ist gegeben durch

Additionsregel für unvereinbare Ereignisse

Haben die Ereignisse A\sf A und B\sf B keine gemeinsamen Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A\sf A oder B\sf B eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für A\sf A und B\sf B:

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (Satz von Sylvester)

Für zwei Ereignisse A\sf A und B\sf B gilt:

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Sind die Ereignisse A\sf A und B\sf B stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A\sf A als auch B\sf B eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A\sf A und B\sf B.

In Formeln: P(AB)=P(A)P(B)\sf P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B), wenn A\sf A und B\sf B stochastisch unabhängig sind.

Normierung der Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums Ω\sf \mathit\Omega ist immer 1.


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