Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit stellt ein Maß für die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar.

Jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes wird eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet.

Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $A$ schreibt man meistens $P (A)$ (das P kommt vom englischen Wort probability).
Je höher $P (A)$ ist, desto wahrscheinlicher ist, dass bei diesem Zufallsexperiment das Ereignis $A$ eintreten wird.
- Tritt $A$ mit Sicherheit ein, so gilt $P (A) = 1$ .
- Tritt $A$ mit Sicherheit nicht ein, so gilt $P (A) = 0$ .

Beispiele

1. Werfen eines fairen Würfels

Wirft man einen fairen Würfel, so könnte jede (natürliche) Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Sicherheit fallen. Hier ergibt es Sinn, dass alle Elementarereignisse

$\begin{array}{cc} A_{1} & = & „Es fällt eine 1“ \\ A_{2} & = & „Es fällt eine 2“ \\ ⋮ \\ A_{6} & = & „Es fällt eine 6“ \end{array}$

die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, also $P (A_{1}) = P (A_{2}) = \dots = P (A_{6}) = \frac{1}{6}$ .

2. Werfen eines unfairen (= gezinkten) Würfels

Wenn man weiß, dass der Würfel immer auf eine bestimmte Seite fallen wird, zum Beispiel auf die 5, können die Ereignisse $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{6}$ nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Für die Ereignisse $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ und $A_{6}$ muss jetzt gelten

P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}) = P (A_{4}) = P (A_{6}) = 0,

da man weiß, dass diese nicht eintreten können.

Das Ereignis $A_{5}$ hat jedoch die Wahrscheinlichkeit $P (A_{5}) = 1$ , weil es sicher eintreten wird.

Bemerkung

Bei vielen Zufallsexperimenten ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen direkt zu bestimmen. In solchen Fällen wird für $P (A)$ das Experiment sehr oft wiederholt und der Grenzwert der relativen Häufigkeiten $h_{n} (A)$ des Ereignisses $A$ bei $n \to \infty$ als Wahrscheinlichkeit gewählt.

Warum diese Wahl von Wahrscheinlichkeiten Sinn ergibt, findet man im Artikel Gesetz der großen Zahlen.

Rechenregeln

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $A$ zum Ereignis $A$ ist gegeben durch

P (A) = 1 - P (A) .

Additionsregel für unvereinbare Ereignisse

Haben die Ereignisse $A$ und $B$ keine gemeinsamen Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder $A$ oder $B$ eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für $A$ und $B$ :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) .

Die Ereignisse $A \cap B$ , $A \cap B$ und $A \cap B$ schließen sich gegenseitig aus, gleichzeitig ist

(A \cap B) \cup (A \cap B) \cup (A \cap B) = A \cup B

Daher ist

P (A \cap B) + P (A \cap B) + P (A \cap B) = P (A \cup B) .

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (Satz von Sylvester)

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl $A$ als auch $B$ eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ .

In Formeln: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ , wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Normierung der Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums $Ω$ ist immer 1.

P (Ω) = 1.

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?