Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit stellt ein Maß für die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar.

Jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes wird eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet.

Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $A$ schreibt man meistens $P (A)$ (das P kommt vom englischen Wort probability).
Je höher $P (A)$ ist, desto wahrscheinlicher ist, dass bei diesem Zufallsexperiment das Ereignis $A$ eintreten wird.
- Tritt $A$ mit Sicherheit ein, so gilt $P (A) = 1$ .
- Tritt $A$ mit Sicherheit nicht ein, so gilt $P (A) = 0$ .

Beispiele

1. Werfen eines fairen Würfels

Wirft man einen fairen Würfel, so könnte jede (natürliche) Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Sicherheit fallen. Hier ergibt es Sinn, dass alle Elementarereignisse

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cc}A_1 &= &\text{ „Es fällt eine 1“ }\\A_2 &= &\text{ „Es fällt eine 2“ } \\&\vdots & \\A_6 &= &\text{ „Es fällt eine 6“ } \end{array}$

die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, also $P(A_1) = P(A_2) = \dots = P(A_6) = \frac{1}{6}$ .

2. Werfen eines unfairen (= gezinkten) Würfels

Wenn man weiß, dass der Würfel immer auf eine bestimmte Seite fallen wird, zum Beispiel auf die 5, können die Ereignisse $A_1, A_2,\dots, A_6$ nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Für die Ereignisse $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ und $A_{6}$ muss jetzt gelten

\displaystyle P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = P(A_6) = 0,

da man weiß, dass diese nicht eintreten können.

Das Ereignis $A_{5}$ hat jedoch die Wahrscheinlichkeit $P (A_{5}) = 1$ , weil es sicher eintreten wird.

Bemerkung

Bei vielen Zufallsexperimenten ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen direkt zu bestimmen. In solchen Fällen wird für $P (A)$ das Experiment sehr oft wiederholt und der Grenzwert der relativen Häufigkeiten $h_{n} (A)$ des Ereignisses $A$ bei $n\rightarrow\infty$ als Wahrscheinlichkeit gewählt.

Warum diese Wahl von Wahrscheinlichkeiten Sinn ergibt, findet man im Artikel Gesetz der großen Zahlen.

Rechenregeln

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline A$ zum Ereignis $A$ ist gegeben durch

\displaystyle P(\overline A) = 1 - P(A).

Additionsregel für unvereinbare Ereignisse

Haben die Ereignisse $A$ und $B$ keine gemeinsamen Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder $A$ oder $B$ eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für $A$ und $B$ :

\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B).

Die Ereignisse $A\cap B$ , $A\cap \overline{B}$ und $\overline{A}\cap B$ schließen sich gegenseitig aus, gleichzeitig ist

\displaystyle (A\cap B)\cup (A\cap\overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)=A\cup B

Daher ist

\displaystyle P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=P(A\cup B).

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (Satz von Sylvester)

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt:

\displaystyle P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl $A$ als auch $B$ eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ .

In Formeln: $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ , wenn $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Normierung der Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums $\mathit\Omega$ ist immer 1.

\displaystyle P(\mathit\Omega) = 1.

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