Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiel

Es wird ein gewöhnlicher Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 geworfen. Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl gewürfelt wird, für alle Augenzahlen gleich ist, spricht man hier von einem Laplace-Experiment. Einen solchen Würfel bezeichnet man oft auch als Laplace-Würfel.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Elementarereignisse

Bei Laplace-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses $\omega$ (griechischer Buchstabe für klein-"Omega") immer gleich:

\displaystyle P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}

Das folgt daraus, dass es $|\Omega|$ (groß-"Omega") viele Elementarereignisse gibt und die Summe deren Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ergibt, wie man sehr leicht sieht, $1$ .

Beispiel:

Bei einem Würfel gibt es 6 Elementarereignisse, nämlich die Zahlen eins bis sechs zu würfeln. Dabei haben die einzelnen Elementarereignisse die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ , d.h. $P(\omega)=\frac16$ für alle $\omega \in \Omega$ , wobei $\Omega=\left\{1{,}2,…,6 \right\}$ .

Allgemeines Ereignis

In einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, das aus mehreren Elementarereignissen besteht,

\displaystyle P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}

Dabei ist $\left|A\right|$ die Anzahl der Elementarereignisse in $A$ und $\left|\Omega\right|$ die Gesamtanzahl der Elementarereignisse:

\displaystyle P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{\text{Anzahl der Elementarereignisse in A}}{\text{Gesamtzahl der Elementarereignisse}}

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten ist daher ein großes Anwendungsgebiet der Kombinatorik, da diese sich genau mit dem Abzählen von bestimmten Ereignissen beschäftigt.

Beispiel

Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und $A =$ "eine gerade Augenanzahl wird gewürfelt". Dann ist

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A=\{2{,}4,6\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|A\right|=3\\\Omega=\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=6\end{array}

und somit

\displaystyle P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac36=\frac12

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