Aufgaben zum Thema Laplace-Experiment

Hier findest du Übungsaufgaben zum Laplace-Experiment. Lerne, Laplace-Experimente zu erkennen und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen!

1
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist ein Laplace-Experiment?
Begründe deine Entscheidung.
Werfen einer Münze
Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1{,}2,3{,}4,5{,}2$ versehen ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1{,}2,3{,}4,5{,}2$ versehen ist.
Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Es ist zwar
für $\omega \in A = \left\{1{,}3,4{,}5\right\}$
(Kurzschreibweise für: $P(\left\{1\right\})=P(\left\{3\right\})=P(\left\{4\right\})=P(\left\{5\right\})=\frac16$ ),
d.h. man würfelt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac16$ eine $1{,}3,4 \, \text{oder} \, 5$ ,
aber die Wahrscheinlichkeit eine $2$ zu würfeln, ist $P(\left\{2\right\})=\frac26 \ne \frac16$ .
Die $2$ kommt nämlich zweimal in der Grundmenge $\Omega= \left\{1{,}2,3{,}4,5{,}2\right\}$ vor.
Werfen einer Münze
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu würfeln, ist jeweils $\frac12$ , so dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Solche Münzen werden daher oft als Laplace-Münzen bezeichnet.
Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
2
Welches der folgenden Zufallsexperimente ist kein Laplace-Experiment?
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
Ziehen einer Karte aus einem gewöhnlichen Set Spielkarten mit 52 Karten
Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1{,}3,5{,}7,9{,}11$ versehen
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit unterschiedlichen 10 Kugeln
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1{,}3,5{,}7,9{,}11$ versehen.
Dies ist ein Laplace-Experiment, denn $P(\omega)=\frac16$ für alle $\omega \in \Omega$ , wobei $\Omega= \left\{1{,}3,5{,}7,9{,}11\right\}$ . Die Elementarereignisse haben also alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten
Dies ist ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen jeder einzelnen Karte $\frac{1}{52}$ beträgt.
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Hier unterscheidetman wiederum gedanklich die $10$ einzelnen Kugeln, sodass jede Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{10}$ gezogen wird.
Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln
Dies ist kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind.
Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen, beträgt nämlich $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ und die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus der Urne zu ziehen, ist $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ .
Bei einem Laplace-Experiment müssen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein.
3
Gegeben seien folgende Zufallsexperimente:
Zufallsexperiment 1
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 2
Drehen des folgenden Glücksrades:
Zufallsexperiment 3
Drehen des folgenden Glücksrades:
Wähle alle Zufallsexperimente, die nicht zu einem Laplace-Experiment gehören.
Zufallsexperiment 3
Zufallsexperiment 1
Zufallsexperiment 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Zufallsexperiment 1
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und haben jeweils unterschiedliche Farben.
Somit haben alle Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe $x$ " die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Zufallsexperiment 2
Dies ist ein Laplace-Experiment.
Denn alle Felder sind gleich groß und jede Farbe kommt genau 2 Mal vor.
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse "Drehe das Feld mit der Farbe $x$ " gleich groß.
Zufallsexperiment 3
Dies ist kein Laplace-Experiment.
Zunächst einmal stellt man fest, dass alle Felder gleich groß sind. Aber es gibt hier z.B. 4 rote und 3 grüne Felder, sodass das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe rot" und das Ereignis "Man dreht das Feld mit der Farbe grün" nicht gleich wahrscheinlich sein können. Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu drehen, ist nämlich größer als ein grünes Feld zu drehen.
Ähnliches erhält man, wenn man die Wahrscheinlichkeit vom roten und lila Feld bzw. die Wahrscheinlichkeit vom grünen und lila Feld vergleicht.
Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
4
Beschreibe ein Zufallsexperiment, das kein Laplace-Experiment ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Die folgende Lösung ist eine mögliche Lösung. Du hast weitere Ideen? Schreib sie uns doch in die Kommentare!
Ein Glücksrad hat 5 Sektoren (Felder).
Diese sind jedoch unterschiedlich groß. Deshalb ist es zum Beispiel wahrscheinlicher, eine 5 zu drehen als eine 1.
Es handelt sich also nicht um ein Laplace-Experiment.
Damit es sich um ein Zufallsexperiment handelt, muss es die folgenden Bedingungen erfüllen:
Es muss mehr als ein mögliches Ergebnis geben und alle möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein (sonst kein Zufallsexperiment)
Es darf nicht klar sein, welches Ergebnis eintreten wird (sonst kein Zufallsexperiment)
Wenn es jetzt zugleich kein Laplace-Experiment sein soll, dürfen die einzelnen Ergebnisse nicht alle gleich wahrscheinlich sein.
5
Gib für folgende Zufallsexperimente jeweils einen Ergebnisraum an und entscheide, ob es sich um ein Laplace-Experiment handelt:
1. Ein aus dem abgebildeten Netz gebastelter „Würfel“ wird geworfen und die oben liegende Farbe wird notiert.
  Das ist ein Laplace-Experiment.
  Das ist kein Laplace-Experiment.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Es gibt drei Elementarereignisse, Grün, Gelb und Orange. Deren Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der entsprechend gefärbten Würfelseiten durch die Gesamtzahl der Würfelseiten.
  $\mathrm{Grün}\colon\;\,\dfrac28=\dfrac14=25\,\%\\\mathrm{Gelb}\colon\dfrac38=37{,}5\,\%\\\mathrm{Orange}\colon\;\dfrac38=37{,}5\,\%$
  $\Rightarrow$ Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse unterschiedlich wahrscheinlich sind.
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2. Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Zahl wird betrachtet.
  Das abgebildete Glücksrad wird gedreht und die angezeigte Farbe wird betrachtet.
  1 ist ein Laplace-Experiment.
  1 ist kein Laplace-Experiment.
  2 ist ein Laplace-Experiment.
  2 ist kein Laplace-Experiment.
  
  Laplace-Experiment
  Teilaufgabe 1
  Es gibt acht Elementarereignisse, die Zahlen von 1 bis 8. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist gleich die Anzahl der entsprechenden Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder.
  Da hier jede Zahl einem Feld entspricht, haben sie alle die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ .
  Insbesondere sind alle gleichwahrscheinlich, es handelt sich also um ein Laplace-Experiment.
  Teilaufgabe 2
  Hier gibt es drei Elementarereignisse, Orange, Grün und Blau. Diese haben jeweils die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der entsprechend farbigen Felder geteilt durch die Gesamtzahl der Felder:
  Orange: $\dfrac48=\dfrac12=50\,\%$
  Grün: $\dfrac38=37{,}5\,\%$
  Blau: $\dfrac18=12{,}5\,\%$
  $\Rightarrow$ Kein Laplace-Experiment, da die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.
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3. Aus einer Tüte mit 13 roten, 9 grünen, 12 gelben und 21 weißen Gummibärchen wird zufällig ein Gummibärchen ausgewählt.
  Das ist ein Laplace-Experiment.
  Das ist kein Laplace-Experiment
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Es gibt vier Elementarereignisse, Rot, Grün, Gelb und Weiß. Diese haben alle die Wahrscheinlichkeit gleich der Anzahl der jeweiligen Gummibärchen geteilt durch die Gesamtzahl der Gummibärchen. Berechne also erst die Gesamtzahl und dann die Wahrscheinlichkeiten:
  $13+9+12+21=55$
  Gesamtmenge ist Summe der verschiedenen Gummibärchen
  Rot: $\dfrac{13}{55}=23{,}6\,\%$
  Grün: $\dfrac9{55}=16{,}4\,\%$
  Gelb: $\dfrac{12}{55}=21{,}8\,\%$
  Weiß: $\dfrac{21}{55}=38{,}2\,\%$
  $\Rightarrow$ Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten ungleich sind.
  Bemerkung: Die Rechnung ist nicht unbedingt nötig, schon aus der unterschiedlichen Anzahl der Gummibärchen ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sein können.
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6
Gib die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse des folgenden Zufallsexperiments $C$ an:
$C$ = "Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 8 unterschiedlichen Kugeln"
Gib die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form an:
Zahl/Zahl, z.B. 2/3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experimente
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:
$P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}$
Bestimme $\Omega$ und $|\Omega|$ .
In der Urne sind $8$ Kugeln.
Du kannst $\Omega$ zum Beispiel als $\Omega = \left\{1{,}2,3{,}4,5{,}6,7{,}8\right\}$ wählen.
$\Rightarrow |\Omega|= 8$
Berechne $P(\omega)$ .
$\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac18$ für alle $\omega \in \Omega$ .
Also ist $1/8 (=\frac18)$ , die richtige Antwort.
7
Betrachtet wird das Zufallsexperiment:
"Werfen eines Würfels" - aber eines besonderen Würfels:
Was ist die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Elementarereignisses dieses Experiments, wenn es sich um einen Laplace-Würfel mit 6 Seiten handelt, von denen
jeweils 2 Seiten mit 0
jeweils 2 Seiten mit 1
jeweils 2 Seiten mit 2
beschriftet sind?
Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eingeben:
Zähler/Nenner, z.B. 4/5
und anschließend dein Ergebnis überprüfen lassen.
Bitte gib den Bruch vollständig gekürzt ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:
$P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}$
Bestimme $\Omega$ und $|\Omega|$ .
Der Laplace-Würfel hat $6$ Seiten, von denen aber jeweils zwei gleich sind.
Du kannst $\Omega$ zum Beispiel als $\Omega = \left\{0{,}1,2\right\}$ wählen.
$\Rightarrow |\Omega|= 3$
Berechne $P(\omega)$ .
$\Rightarrow P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac13$ für alle $\omega \in \Omega$ .
Also ist $1/3 \ (=\frac13)$ die richtige Antwort.
8
Betrachtet wird das folgende Zufallsexperiment:
"Drehen eines Glücksrades mit 3 gleich großen Feldern"
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Glücksrad auf einer ungeraden Zahl stehen?
Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Bruch in der folgenden Form in das Eingabefeld eintippen:
Zähler/Nenner, z.B. 4/7
und dann dein Ergebnis überprüfen lassen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experimente
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu einem Laplace-Experiment ist gegeben durch:
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$
Dazu brauchst du nun $|\Omega|$ und $|A|$ ,
wobei $A$ hier das Ereignis "Ungerade Zahl" ist.
Ergebnisraum $\Omega$
Das Glücksrad hat $3$ gleichgroße Felder.
Du kannst $\Omega$ zum Beispiel als $\Omega = \left\{1{,}2,3\right\}$ wählen.
$\Rightarrow |\Omega|= 3$
Ereignis "Ungerade Zahl"
Es gibt auf dem Glücksrad $2$ ungerade Zahlen: 1 und 3.
$|A|=2$
Berechne $P(A)$ .
$\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{3}$ .
Also ist $2/3\ (=\frac23)$ die richtige Antwort.
9
Das Zufallsexperiment sei ein Würfelwurf und das Ereignis B="eine ungerade Augenanzahl wird gewürfelt". Gib $P(B)$ an.
$P(B)=\frac12$
$P(B)=\frac23$
$P(B)=\frac13$
$P(B)=\frac63$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Es ist
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}B=\{1{,}3,5\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|B\right|=3\\\Omega=\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=6\end{array}$
und somit
10
Ein Laplace-Würfel wird 2 mal gewürfelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einmal die 3 fällt.
$\frac{11}{36}$
$\frac{13}{36}$
$\frac12$
$\frac{12}{36}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Sei $A$ = "Es wird mindestens einmal eine 3 geworfen"
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$
Bestimme $|A|$ und $|\Omega|$ .
Es gibt verschiendene Möglichkeiten, mithilfe der Kombinatorik, die Mächtigkeiten von $A$ und $\Omega$ zu bestimmen. Verwende eine von dir bevorzugten Methode.
Es ist
$|A|= 6 + 5 = 11$
$|\Omega|= 6 \cdot 6 = 36$
$\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{11}{36}$
Also ist $\frac{11}{36}$ die richtige Antwort.
11
Aus einem Bridge-Spiel (52 Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
1. A: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pikkarten}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{13}{52}=\frac14=0{,}25=25\%$
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2. B: ="Die gezogene Karte ist eine Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\text{Damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx0{,}0769\approx7{,}7\%$
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3. C: ="Die gezogene Karte ist Pik-Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik-Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{im}\;\mathrm{Spiel}\;\mathrm{vorhandenen}\;\mathrm{Pik}\text{damen}\;}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{1}{52}\approx0{,}0192=1{,}92\%$
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4. D: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte oder eine Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik oder Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  Eine der vier Damen ist aber gleichzeitig Pik, darf also nicht doppelt gezählt werden.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13+4-1=16$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}$
  $=\frac{16}{52}\approx0{,}3077\approx30{,}8\%$
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5. F: ="Die gezogene Karte ist eine Pikkarte, aber keine Dame"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Pik aber keine Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1$
  Fasse das zur Anzahl der Karten zusammen.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=13-1=12$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{12}{52}=\frac3{13}=0{,}2308=23{,}1\%$
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6. G: ="Die gezogene Karte ist eine Dame, aber keine Pikkarte"
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist Dame aber nicht Pik", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikdamen}=1$
  Fasse das zur Kartenzahl zusammen.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=4-1=3$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac3{52}=0{,}058=5{,}8\%$
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7. H: ="Die gezogene Karte ist weder Pik noch Dame".
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Hier muss das Ereignis "gezogene Karte ist weder Pik noch Dame", bestimme also die Anzahl der entsprechenden Karten, um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Pikkarten}=52:4=13\;$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Damen}=4$
  $\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{der}\;\text{Pikdamen}=1$
  Die Kartenzahl ist die Gesamtzahl abzüglich der Pik- und Damen-Karten. Dabei muss aber noch die Pikdame addiert werden, da diese doppelt abgezogen wird.
  $\Rightarrow \text{Kartenzahl}=52-13-4+1=36$
  Bereche die Wahrscheinlichkeit.
  $P=\frac{\text{Kartenzahl}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{Spielkarten}\;}\;$
  $=\frac{36}{52}=\frac{9}{13}\approx0{,}692=69{,}2\%$
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12
Die Oberfläche eines Würfels wird blau eingefärbt.
Dann wird der Würfel durch 6 parallel zur Würfeloberfläche verlaufende Schnitte in 27 kongruente Teilwürfel zerlegt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein willkürlich herausgegriffener Teilwürfel
1. keine blaue Fläche hat. Gib die Antwort als Dezmalzahl ein.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  $\left|\mathrm{E}\right|=1$
  $\left|\mathrm{\Omega}\right|=27$
  $\mathrm P\left(\mathrm E\right)=\frac1{27}=3{,}7\%$
  $\Rightarrow$ Zu 3,7% zieht man einen Teil, dass keine blauen Flächen hat.
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2. genau zwei blaue Flächen hat? Gib die Antwort als Dezimalzahl ein
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  $\left|\mathrm E\right|=12$
  $\left|\mathrm\Omega\right|=27$
  $\mathrm P\left(\mathrm E\right)=\frac{12}{27}=44{,}4\%$
  $\Rightarrow$ Man zieht zu 44,4% ein Würfelteil, das zwei eingefärbte Seiten hat.
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13
Eine natürliche Zahl x mit $20<x\le30$ wird willkürlich gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. eine Primzahl gezogen wird
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und A="x ist Primzahl".
  $A=\left\{23{,}29\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|A\right|=2$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne nun die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(A\right)=\frac2{10}=0{,}2=20\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl eine Primzahl.
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2. eine gerade Zahl gezogen wird
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und B="x ist gerade".
  $B=\left\{22{,}24{,}26{,}28{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|B\right|=5$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(B\right)=\frac5{10}=0{,}50=50\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ist die gezogene Zahl eine gerade Zahl.
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3. eine durch 4 teilbare Zahl gezogen wird
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und C="x ist durch 4 teilbar".
  $C=\left\{24{,}28\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|C\right|=2$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(E\right)=\frac2{10}=0{,}2=20\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ist die gezogene Zahl durch 4 teilbar.
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4. eine durch 4 und gleichzeitig durch 6 teilbare Zahl gezogen wird?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Benutze die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, da alle Zahlen gleich wahrscheinlich sind.
  Bestimme also die Mächtigkeiten der Mengen $\Omega$ und D="x ist durch 4 und durch 6 teilbar".
  $D=\left\{24\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|D\right|=1$
  $\Omega=\left\{21{,}22{,}23{,}24{,}25{,}26{,}27{,}28{,}29{,}30\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=10$
  Berechne die Wahrscheinlichkeit.
  $P\left(D\right)=\frac1{10}=0{,}1=10\%$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ist die gezogene Zahl durch 4 und 6 teilbar.
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Zwei Personen einigen sich auf ein Würfelspiel bei dem ein sechs-seitiger Würfel zweimal geworfen wird und die Summe aus beiden Würfen als Ergebnis notiert wird. Wie mächtig ist der Ergebnisraum?

Wie mächtig ist der Ergebnisraum?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ergebnisraum
Die Summe zweier Würfelwürfe kann alle Zahlen zwischen zwei (1+1) und zwölf (6+6) ergeben. Das sind 11 unterschiedliche Zahlen.
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Handelt es sich bei dem Spiel um ein Laplace-Experiment?
- Nein
- Ja
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Es gibt mehrerer Würfelkombinationen welche dieselbe Würfelsumme ergeben, zum Beispiel 3 + 4 = 7 und 1 + 6 = 7. Aber andere Zahlen verlangen eine bestimmte Würfelkombination, zum Beispiel 2 = 1 + 1, und sind deshalb unwahrscheinlicher. Da nicht alle Ergebnisse des Ergebnisraums dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment.
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Bei welchem der folgenden Experimente handelt es sich um ein Laplace-Experiment?
- Die Summe beider Würfe ist gerade oder ungerade
- Die Kombination der geworfenen Zahlen unter Berücksichtigung der Reihenfolge
- Die Kombination der geworfenen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Zu den Antworten:
"Die Kombination der geworfenen Zahlen unter Berücksichtigung der Reihenfolge" und
"Die Kombination der geworfenen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge."
Es gibt mehr Möglichkeiten zwei unterschiedliche Zahlen zu werfen (erst die eine Zahl, dann die andere oder andersrum) als zwei gleiche Zahlen zu würfeln, deshalb sind sogenannte Paschs (zwei gleiche Zahlen) unwahrscheinlicher und die geworfenen Zahlenkombinationen nur unter Berücksichtigung der Reihenfolge ein Laplace Experiment. Die Kombination der geworfenen Zahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist kein Laplace Experiment.
Zu der Antwort: "Die Summe beider Würfe ist gerade oder ungerade"
Die Summe zweier gerader Zahlen und zweier ungerader Zahlen ist gerade, aber nur die Summe einer ungeraden und einer geraden Zahl ist ungerade. Es hilft daher, folgenden Ereignisbaum zu betrachten:
Da bei beiden Würfen die Wahrscheinlichkeit gleich groß ist eine gerade ( $2$ , $4$ und $6$ ) oder eine ungerade ( $1$ , $3$ und $5$ ) Zahl zu würfeln. Sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Elementarereignisse des Experiments
gleich groß $\left(\frac{1}{4}\right)$ . Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Summe zu würfeln ist also gleich groß wie die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Summe zu würfeln ( $50\;\%$ ).
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Der erste Spieler würfelt eine 10. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Spieler eine höhere Summe würfelt und das Spiel gewinnt, in ganzen Prozent? (Runde dein Ergebnis auf die nächste ganze Zahl, um es zu überprüfen: 0,3675 → 37 (%).)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorikregeln

Da es sich bei dem ursprünglichen Experiments, $X$ die Summe zweier Würfelwürfe, nicht um ein Laplace-Experiment handelt, ist es besser sich das Ereignis in dem entsprechenden Laplace-Experiment, die Kombination der Würfe unter Berücksichtung der Reihenfolge, anzusehen:

$\displaystyle p(X>10)$	$=$	$\displaystyle p(\{(5{,}6),(6{,}5),(6{,}6)\})$
	$=$	$\displaystyle p(5{,}6)+p(6{,}5)+p(6{,}6)$
	↓	Das ursprüngliche Ereignis (X>10) kann in dem Hilfsexperiment durch drei Elementarereignisse erreicht werden (erst 5 dann 6 (Summe 11), andersrum oder 6er Pasch). Die Wahrscheinlichkeit der drei Elementarereignisse ist gleich und kann mit Hilfe der Ereignisraummächtigkeit berechnet werden.
$\displaystyle \Omega$	$=$	$\displaystyle \{(1{,}1),(1{,}2),…,(2{,}1),…,(6{,}6)\}$
$\displaystyle \|\Omega\|$	$=$	$\displaystyle 6 \cdot 6$
	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Darum ist
$\displaystyle p\left(1{,}1\right)$	$=$	$\displaystyle p(1{,}2)$
	$=$	$\displaystyle ...$
	$=$	$\displaystyle p\left(5{,}6\right)$
	$=$	$\displaystyle p(6{,}6)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{36}$
	↓	Pro Wurf gibt es sechs unterschiedliche Ergebnisse und die Gesamtmächtigkeit des Ergebnisraums beträgt deshalb 36 (6 mal 6). Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist deshalb 1/36.
$\displaystyle p(x>10)$	$=$	$\displaystyle p(5{,}6)+p(6{,}5)+p(6{,}6)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{36}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{12}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}08333$
	$≈$	$\displaystyle 8\%$
	↓	Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe größer als 10 zu würfeln ist also die Summe der drei Einzelwahrscheinlichkeiten und ungefähr 8%.

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Es soll zufällig eine vierstellige Zahl aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 gebildet werden, bei der jede dieser Ziffern nur einmal vorkommt.

Beschreibe den Ablauf eines geeigneten Zufallsexperiments.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
z.B.:
Man nimmt 4 Karteikärtchen, auf dem jeweils eine 1, 2, 3 oder 4 steht. Jetzt mischt man diese und zieht eine der Karteikarten, ohne zu sehen, welche Zahl darauf abgebildet ist. Wenn man eine Karte gezogen hat, legt man diese beiseite und zieht die nächste. Dies macht man, bis keine Karte mehr zu ziehen ist. Dann legt man die Karten in der Reihenfolge, wie gezogen wurde zusammen und schreibt diese auf.
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Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?
Möglichkeiten gibt es.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
4 mal 3 mal 2 mal 1= 24 Ergebnisse
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Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Die Zahl enthält eine 2.

B: Die gebildete Zahl endet auf 2. C: Die gebildete Zahl ist gerade. D: Die gebildete Zahl ist größer als 1300.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \mathrm{\Omega}-\overline{\mathrm{D}}$	$=$	$\displaystyle D$
	↓	Ereignis D ist $\Omega$ ohne $\left\{1234{,}1243\right\}$
$\displaystyle 24-2$	$=$	$\displaystyle 22$

Aufgaben zum Thema Laplace-Experiment

Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen 1,2,3,4,5,21{,}2,3{,}4,5{,}21,2,3,4,5,2 versehen ist.

Werfen einer Münze

Werfen eines Würfels mit den Zahlen 1,3,5,7,9,111{,}3,5{,}7,9{,}111,3,5,7,9,11 versehen.

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln

Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln

Zufallsexperiment 1

Zufallsexperiment 2

Zufallsexperiment 3

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Laplace-Experiment

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

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Ergebnisraum Ω\OmegaΩ

Ereignis "Ungerade Zahl"

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Ereignis A

Ereignis B

Ereignis C

Ereignis D

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Werfen eines Würfels, der mit den Zahlen $1{,}2,3{,}4,5{,}2$ versehen ist.

Werfen eines Würfels mit den Zahlen $1{,}3,5{,}7,9{,}11$ versehen.

Ergebnisraum $\Omega$