Definition

Eine Menge %%A%% heißt Teilmenge der Menge %%B%%, wenn jedes Element aus %%A%% auch Element von %%B%% ist. Hierfür schreibt man %%A\subseteq B%% .

                                

                                 

Eine Teilmenge heißt eigentliche oder echte Teilmenge, falls %%A%% und %%B%% nicht die gleichen Mengen sind, falls also %%A \subseteq B%% und %%A\neq B%% ist. Hierfür ist die Schreibweise %%A\subsetneq B%% üblich.

Achtung: Die Schreibweise %%A\subset B%% wird nicht einheitlich in der Mathematik verwendet. Mal bedeutet sie, dass %%A%% eine Teilmenge von %%B%% ist, mal dass sie eine echte Teilmenge von %%B%% ist.

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Beispiel

Gegeben sind die Mengen %%\text A%% und %%\text B%% mit

%%\text A=\{2;3;a\}%% und

%%\text B=\{1;2;3;a;b\}%% .

Dann ist %%\text A\subseteq \text B%%, denn alle Elemente von %%\text A%% sind auch in %%\text B%% enthalten.

Anmerkungen

  • %%\varnothing\subseteq A\subset G%%    Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und jede Menge muss Teilmenge der Grundmenge sein.

  • %%A\subseteq A%%            Jede Menge ist (unechte) Teilmenge von sich selbst.

  • Wenn %%A\subseteq B%% und %%B\subseteq A%% , dann sind %%A%% und %%B%% die gleiche Menge: %%A=B%%

  • Wenn %%A\subseteq B%% und %%B\subseteq C%% , dann ist auch %%A\subseteq C%% .

  • Jede Menge ist Teilmenge der Vereinung von sich mit einer anderen Menge %%A\subseteq\left( A\cup B\right)%%

  • Der Schnitt einer Menge mit einer anderen Menge ist immer Teilmenge der ursprünglichen Menge %%\left( A\cap B\right)\subseteq A%%

  • Für die Mächtigkeit einer Teilmenge %%A\subseteq B%% gilt: %%\left| A\right|\leq\left| B\right|%%

  

Potenzmenge

Als Potenzmenge  %%\mathcal P\left( A\right)%% bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von %%A%%.

Bei %%A=\left(1,\;2,\;3\right)%%  ist  %%\mathcal P(A)\;=\;\left(\varnothing,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},\left\{1,2,3\right\}\right)%% .

Hierbei ist zu beachten, dass diese Menge selbst Mengen enthält.

%%\left\{\left\{1\right\}\right\}%% und %%\left\{1\right\}%% sind nicht das gleiche.

  

Die Mächtigkeit der Potenzmenge %%\left|\mathcal P(A)\right|%% , kann berechnet werden durch  %%\left| \mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\;%% .

In jeder Teilmenge hat jedes Element 2 Möglichkeiten, es ist enthalten, oder eben nicht.

Im Beispiel ist also %%\left|\mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\;=2^3=8%% .

Kommentieren Kommentare

Zu article Teilmenge einer Menge:
Mitzi 2020-10-18 14:42:53+0200
Im Beispiel für die Ungleichheit von A und B ist mir etwas nicht klar. Müsste es nicht heissen: "Dann ist A≠B, denn nicht alle Elemente von B sind auch in A enthalten." ??
Mitzi 2020-10-18 14:44:51+0200
Dass alle Elemente von A in B enthalten sind, ist die Begründung für A ist Teilmenge von B. Die Begründung für A != B ist, dass nicht jedes Element von B ein Element von A ist.
Renate 2020-10-19 21:08:03+0200
Hallo @Mitzi,

ich glaube, da ist ein Fehler passiert in diesem Artikel.

Vermutlich soll es nicht "%%\text A \neq \text B%%" heißen,
sondern "%%\text A \subseteq \text B%%".

(Möglich und sachlich richtig wären natürlich auch "%%\text A \subset \text B%%" und sogar "%%\text A \subsetneq \text B%%", aber zumindest für letzteres müsste dann in der Begründung eigentlich noch zusätzlich stehen, dass nicht alle Elemente von %%\text B%% auch in %%\text A%% sind.)

Ich bessere das gleich mal aus.

Sieh dir den Artikel dann bitte nochmal an, ob damit das Problem geklärt ist.

In jedem Fall vielen Dank für deinen Kommentar! :)

Viele Grüße
Renate
Mitzi 2020-10-20 21:07:17+0200
Besten Dank! Jetzt passt‘s.
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