Teilmenge einer Menge

Definition

Eine Menge AA heißt Teilmenge der Menge BB, wenn jedes Element aus AA auch Element von BB ist. Hierfür schreibt man ABA\subseteq B .

                                

                                 

Eine Teilmenge heißt eigentliche oder echte Teilmenge, falls AA und BB nicht die gleichen Mengen sind, falls also ABA \subseteq B und ABA\neq B ist. Hierfür ist die Schreibweise ABA\subsetneq B üblich.

Achtung: Die Schreibweise ABA\subset B wird nicht einheitlich in der Mathematik verwendet. Mal bedeutet sie, dass AA eine Teilmenge von BB ist, mal dass sie eine echte Teilmenge von BB ist.

Beispiel

Gegeben sind die Mengen A\text A und B\text B mit

A={2;3;a}\text A=\{2;3;a\} und

B={1;2;3;a;b}\text B=\{1;2;3;a;b\} .

Dann ist AB\text A\subseteq \text B, denn alle Elemente von A\text A sind auch in B\text B enthalten.

Anmerkungen

  • AG\varnothing\subseteq A\subset G    Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und jede Menge muss Teilmenge der Grundmenge sein.

  • AAA\subseteq A            Jede Menge ist (unechte) Teilmenge von sich selbst.

  • Wenn ABA\subseteq B und BAB\subseteq A , dann sind AA und BB die gleiche Menge: A=BA=B

  • Wenn ABA\subseteq B und BCB\subseteq C , dann ist auch ACA\subseteq C .

  • Jede Menge ist Teilmenge der Vereinung von sich mit einer anderen Menge A(AB)A\subseteq\left( A\cup B\right)

  • Der Schnitt einer Menge mit einer anderen Menge ist immer Teilmenge der ursprünglichen Menge (AB)A\left( A\cap B\right)\subseteq A

  • Für die Mächtigkeit einer Teilmenge ABA\subseteq B gilt: AB\left| A\right|\leq\left| B\right|

  

Potenzmenge

Als Potenzmenge  P(A)\mathcal P\left( A\right) bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von AA.

Bei A=(1,  2,  3)A=\left(1,\;2,\;3\right)  ist  P(A)  =  (,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3})\mathcal P(A)\;=\;\left(\varnothing,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{1{,}2\right\},\left\{1{,}3\right\},\left\{2{,}3\right\},\left\{1{,}2,3\right\}\right) .

Hierbei ist zu beachten, dass diese Menge selbst Mengen enthält.

{{1}}\left\{\left\{1\right\}\right\} und {1}\left\{1\right\} sind nicht das gleiche.

  

Die Mächtigkeit der Potenzmenge P(A)\left|\mathcal P(A)\right| , kann berechnet werden durch  P(A)=2A  \left| \mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\; .

In jeder Teilmenge hat jedes Element 2 Möglichkeiten, es ist enthalten, oder eben nicht.

Im Beispiel ist also P(A)=2A  =23=8\left|\mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\;=2^3=8 .


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