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Teilmenge einer Menge

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Eine Menge AA heißt Teilmenge der Menge BB, wenn jedes Element aus AA auch Element von BB ist. HierfĂŒr schreibt man A⊆BA\subseteq B.

Eine Teilmenge heißt eigentliche oder echte Teilmenge, falls AA und BB nicht die gleichen Mengen sind, falls also A⊆BA \subseteq B und A≠BA\ne B ist. HierfĂŒr ist die Schreibweise A⊊BA\subsetneq B ĂŒblich.

Vorsicht

Die Schreibweise A⊂BA\subset B wird nicht einheitlich in der Mathematik verwendet. Mal bedeutet sie, dass AA eine Teilmenge von BB ist, mal dass sie eine echte Teilmenge von BB ist.

Beispiel

Gegeben sind die Mengen A\text A und B\text B mit

A={2;3;a}\text A=\{2;3;a\} und

B={1;2;3;a;b}\text B=\{1;2;3;a;b\} .

Dann ist A⊆B\text A\subseteq \text B, denn alle Elemente von A\text A sind auch in B\text B enthalten.

Anmerkungen

  • ∅⊆A⊂G\varnothing\subseteq A\subset G

    Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und jede Menge muss Teilmenge der Grundmenge sein.

  • A⊆AA\subseteq A

    Jede Menge ist (unechte) Teilmenge von sich selbst.

  • Wenn A⊆BA\subseteq B und B⊆AB\subseteq A, dann sind AA und BB die gleiche Menge: A=BA=B

  • Wenn A⊆BA\subseteq B und B⊆CB\subseteq C, dann ist auch A⊆CA\subseteq C.

  • A⊆(AâˆȘB)A\subseteq\left(A\cup B\right)

    Jede Menge ist Teilmenge der Vereinigung von sich mit einer anderen Menge

  • (A∩B)⊆A\left( A\cap B\right)\subseteq A

    Der Schnitt einer Menge mit einer anderen Menge ist immer Teilmenge der ursprĂŒnglichen Menge

  • FĂŒr die MĂ€chtigkeit einer Teilmenge A⊆BA\subseteq B gilt: ∣AâˆŁâ‰€âˆŁB∣\left| A\right|\leq\left| B\right|

Potenzmenge

Als Potenzmenge  P(A)\mathcal P\left( A\right) bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von AA.

Bei A=(1,  2,  3)A=\left(1,\;2,\;3\right)  ist  P(A)  =  (∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3})\mathcal P(A)\;=\;\left(\varnothing,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{1{,}2\right\},\left\{1{,}3\right\},\left\{2{,}3\right\},\left\{1{,}2,3\right\}\right) .

Hierbei ist zu beachten, dass diese Menge selbst Mengen enthÀlt.

{{1}}\left\{\left\{1\right\}\right\} und {1}\left\{1\right\} sind nicht das gleiche.

  

Die MĂ€chtigkeit der Potenzmenge ∣P(A)∣\left|\mathcal P(A)\right| , kann berechnet werden durch  ∣P(A)∣=2∣A∣  \left| \mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\; .

In jeder Teilmenge hat jedes Element 2 Möglichkeiten, es ist enthalten, oder eben nicht.

Im Beispiel ist also ∣P(A)∣=2∣A∣  =23=8\left|\mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\;=2^3=8.

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