Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. Sein Ergebnis ist ein Skalar (= eine reelle Zahl), im Gegensatz zum Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.

Für das Skalarprodukt der Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} schreibt man ab\vec{a}\circ\vec{b},  ab\ \vec{a}\cdot\vec{b} oder auch a,b\langle \vec a, \vec b\rangle.

Anmerkung: Um das Skalarprodukt (Vektor mal Vektor) vom skalaren Multiplizieren (Zahl mal Vektor) zu unterscheiden verwenden wir hier \circ als Symbol für das Skalarprodukt.

Wichtig: Man kann das Skalarprodukt von zwei Vektoren nur bilden, wenn sie beide gleich viele Komponenten haben!

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ist definiert als

  • ihre komponentenweise Multiplikation und die

  • anschließende Addition.

Dies bedeutet:

In der Ebene

Im Raum

In beiden Fällen wird

  • die  x- Komponente\color{#ff6600}{\text{ x- Komponente}} von a\vec{a} mit der  x- Komponente\color{#ff6600}{\text{ x- Komponente}} von b\vec{b},

  • die  y- Komponente \color{#660099}{\text{ y- Komponente }}von a\vec{a} mit der  y- Komponente \color{#660099}{\text{ y- Komponente }}von b\vec{b}

und im Raum auch

  • die  z- Komponente \color{#006400}{\text{ z- Komponente }} von a\vec{a} mit der  z- Komponente \color{#006400}{\text{ z- Komponente }}von b\vec{b}

multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren a\vec{a} und b\vec b!

Wende die Definition an und du erhältst:

ab=(32)(711)=37+211=21+22=1\vec a\circ\vec b=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}=-3\cdot7 +2\cdot11 = -21 + 22 = 1

Das Skalarprodukt von a\vec{a} und b\vec{b} beträgt somit 11.

Verwendung des Skalarproduktes

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, genau dann wenn ihr Skalarprodukt 00 ergibt. Du hast also

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} senkrecht aufeinander stehen!

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

Da ihr Skalarprodukt 00 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

Im Raum

Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge 00 hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors a\vec{a}.

Bestimme zunächst das Skalarprodukt von a\vec a mit sich selbst:

Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors a\vec a.

Der Vektor a\vec a besitzt also die Länge 55.

Winkel zwischen Vektoren

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel ermitteln, den zwei Vektoren miteinander einschließen (vorausgesetzt, keiner von ihnen ist der Nullvektor). Der Winkel hat immer einen Wert zwischen 0 und π\pi bzw. zwischen 00^\circ und 180180^\circ.

Für den Winkel φ\varphi zwischen zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} gilt:

ab=abcosφ\vec{a}\circ\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\varphi

Durch Umformen erhältst du:

Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von a\vec{a} und b\vec{b} im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder a\vec{a} noch b\vec{b} gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren a=(10)\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} und b=(11)\displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} eingeschlossen wird!

Berechne zuerst das Skalarprodukt:

ab=11+10=1\vec{a}\circ\vec{b}=1\cdot1+1\cdot0=1 .

Als nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:

Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:

Der Winkel φ\varphi zwischen den beiden Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ist also 4545^\circ.


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