Skalarprodukt

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ ist definiert als

• ihre komponentenweise Multiplikation und die

• anschließende Addition.

Dies bedeutet:

In beiden Fällen wird

• die $\text{ 1. Komponente}\backslash color\{\#ff6600\}\{\backslash text\{\; 1.\; Komponente\}\}$ von $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ mit der $\text{ 1. Komponente}\backslash color\{\#ff6600\}\{\backslash text\{\; 1.\; Komponente\}\}$ von $\vec{b}\backslash vec\{b\}$,

• die $\text{ 2. Komponente }\backslash color\{\#660099\}\{\backslash text\{\; 2.\; Komponente\; \}\}$von $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ mit der $\text{ 2. Komponente }\backslash color\{\#660099\}\{\backslash text\{\; 2.\; Komponente\; \}\}$von $\vec{b}\backslash vec\{b\}$

und im Raum auch

• die $\text{ 3. Komponente }\backslash color\{\#006400\}\{\backslash text\{\; 3.\; Komponente \}\}$ von $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ mit der $\text{ 3. Komponente }\backslash color\{\#006400\}\{\backslash text\{\; 3.\; Komponente\; \}\}$von $\vec{b}\backslash vec\{b\}$

multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\; b$!

$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)\vec{b}=\left(\begin{array}{c}7\\ 11\end{array}\right)\backslash vec\; a=\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\; \backslash vec\; b=\backslash begin\{pmatrix\}7\backslash \backslash 11\backslash end\{pmatrix\}$

Wende die Definition an und du erhältst:

$\vec{a}\circ \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}7\\ 11\end{array}\right)=-3\cdot 7+2\cdot 11=-21+22=1\backslash vec\; a\backslash circ\backslash vec\; b=\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash begin\{pmatrix\}7\backslash \backslash 11\backslash end\{pmatrix\}=-3\backslash cdot7\; +2\backslash cdot11\; =\; -21\; +\; 22\; =\; 1$

Das Skalarprodukt von $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ beträgt somit $11$.

Verwendung des Skalarproduktes

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, genau dann, wenn ihr Skalarprodukt $00$ ergibt. Du hast also

$\vec{a}\perp \vec{b}\iff \vec{a}\circ \vec{b}=0\backslash vec\; a\; \backslash perp\; \backslash vec\; b\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash vec\; a\backslash circ\backslash vec\; b=0$

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ senkrecht aufeinander stehen!

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

Da ihr Skalarprodukt $00$ ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

$\mid \vec{a}\mid =\sqrt{\vec{a}\circ \vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|=\backslash sqrt\{\backslash vec\{a\}\backslash circ\backslash vec\{a\}\}=\backslash sqrt\{a\_1^2+a\_2^2\}$

Im Raum

$\mid \vec{a}\mid =\sqrt{\vec{a}\circ \vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\backslash left|\backslash vec\; a\backslash right|=\backslash sqrt\{\backslash vec\; a\backslash circ\backslash vec\; a\}=\backslash sqrt\{a\_1^2+a\_2^2+\; a\_3^2\}$

Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge $00$ hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors $\vec{a}\backslash vec\{a\}$.

Bestimme zunächst das Skalarprodukt von $\vec{a}\backslash vec\; a$ mit sich selbst:

Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors $\vec{a}\backslash vec\; a$.

Der Vektor $\vec{a}\backslash vec\; a$ besitzt also die Länge $55$.

Winkel zwischen Vektoren

Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ noch $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren ${\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}\backslash displaystyle\; \backslash vec\{a\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$ und ${\displaystyle \vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}\backslash displaystyle\; \backslash vec\{b\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ eingeschlossen wird!

Berechne zuerst das Skalarprodukt:

$\vec{a}\circ \vec{b}=1\cdot 1+1\cdot 0=1\backslash vec\{a\}\backslash circ\backslash vec\{b\}=1\backslash cdot1+1\backslash cdot0=1$.

Als Nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:

$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+0^2}=1|\backslash vec\{a\}|=\backslash sqrt\{1^2+0^2\}=1$

$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}|\backslash vec\{b\}|=\backslash sqrt\{1^2+1^2\}=\backslash sqrt2$

Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:

${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\vec{a}\circ \vec{b}}{\mid \vec{a}\mid \cdot \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{1\cdot \sqrt{2}}\right)={45}^{\circ }}\backslash displaystyle\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; a\backslash circ\backslash vec\; b\}\{\backslash left|\backslash vec\; a\backslash right|\backslash cdot|\backslash vec\; b|\}\backslash right)=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{1\backslash cdot\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)=45^\backslash circ$

Der Winkel $\phi \backslash varphi$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ ist also ${45}^{\circ }45^\backslash circ$.