Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. Sein Ergebnis ist ein Skalar (= eine reelle Zahl), im Gegensatz zum Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.

Für das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schreibt man $\vec{a} \circ \vec{b}$ , $\vec{a} \cdot \vec{b}$ oder auch $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩$ .

Anmerkung: Um das Skalarprodukt (Vektor mal Vektor) vom skalaren Multiplizieren (Zahl mal Vektor) zu unterscheiden, verwenden wir hier $\circ$ als Symbol für das Skalarprodukt.

Wichtig: Man kann das Skalarprodukt von zwei Vektoren nur bilden, wenn sie beide gleich viele Komponenten haben.

Definition

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist definiert als

ihre komponentenweise Multiplikation und die
anschließende Addition.

Dies bedeutet:

In der Ebene

\vec{a} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \end{array})

\Rightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

Im Raum

\vec{a} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array})

\Rightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

In beiden Fällen wird

die $1. Komponente$ von $\vec{a}$ mit der $1. Komponente$ von $\vec{b}$ ,
die $2. Komponente$ von $\vec{a}$ mit der $2. Komponente$ von $\vec{b}$

und im Raum auch

die $3. Komponente$ von $\vec{a}$ mit der $3. Komponente$ von $\vec{b}$

multipliziert. Diese Produkte werden dann addiert.

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ !

$\vec{a} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \end{array}) \vec{b} = (\begin{array}{c} 7 \\ 11 \end{array})$

Wende die Definition an und du erhältst:

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 7 \\ 11 \end{array}) = - 3 \cdot 7 + 2 \cdot 11 = - 21 + 22 = 1$

Das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt somit $1$ .

Verwendung des Skalarproduktes

Senkrechte Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht bzw. orthogonal zueinander, genau dann, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt. Du hast also

$\vec{a} ⟂ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Beispiel

Überprüfe, ob die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht aufeinander stehen!

\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array})

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array}) = 2 \cdot 3 + 6 \cdot (- 1) = 0

Da ihr Skalarprodukt $0$ ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors (der Betrag) ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

$| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \circ \vec{a}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}$

Im Raum

$| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \circ \vec{a}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$

Beachte, dass lediglich der Nullvektor die Länge $0$ hat.

Beispiel

Berechne die Länge des Vektors $\vec{a}$ .

\vec{a} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \end{array})

Bestimme zunächst das Skalarprodukt von $\vec{a}$ mit sich selbst:

\begin{array}{rcl} \vec{a} \circ \vec{a} & = & a_{1} \cdot a_{1} + a_{2} \cdot a_{2} \\ = & (- 3) \cdot (- 3) + 4 \cdot 4 \\ = & 9 + 16 \\ = & 25 \end{array}

Ziehst du nun die Wurzel aus diesem Skalarprodukt, so erhältst du die Länge des Vektors $\vec{a}$ .

\begin{array}{rcl} | \vec{a} | & = & \sqrt{\vec{a} \circ \vec{a}} \\ = & \sqrt{25} \\ = & 5 L E \end{array}

Der Vektor $\vec{a}$ besitzt also die Länge $5$ .

Winkel zwischen Vektoren

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel ermitteln, den zwei Vektoren miteinander einschließen (vorausgesetzt, keiner von ihnen ist der Nullvektor). Der Winkel hat immer einen Wert zwischen 0 und $π$ bzw. zwischen $0^{\circ}$ und $180^{\circ}$ .

Für den Winkel $φ$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:

$\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos φ$

Durch Umformen erhältst du: $\cos φ = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$ $\Rightarrow φ = \cos^{- 1} (\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |})$

Wichtig: In dieser Formel sind die Längen von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im Nenner. Daher muss man darauf achten, dass weder $\vec{a}$ noch $\vec{b}$ gleich dem Nullvektor sind.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array})$ eingeschlossen wird!

Berechne zuerst das Skalarprodukt:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$ .

Als Nächstes berechnest du jeweils die Länge der beiden Vektoren:

$| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1$

$| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$

Einsetzen des Skalarprodukts und der Länge der Vektoren in die Formel für den Winkel liefert:

$φ = \cos^{- 1} (\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}) = \cos^{- 1} (\frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}}) = 45^{\circ}$

Der Winkel $φ$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist also $45^{\circ}$ .

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