Vektoren addieren und subtrahieren

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Beispiel: $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; v=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ bedeutet: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben.

Addierst du Vektoren, "führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus".

Beispiel: $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; v=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ und $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\backslash vec\; u=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

$\vec{v}+\vec{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\backslash textcolor\{green\}\{\backslash vec\; v\}+\backslash textcolor\{1794c1\}\{\backslash vec\; u\}=\backslash textcolor\{green\}\{\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\}+\backslash textcolor\{1794c1\}\{\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\}$ bedeutet: Gehe erst 3 nach rechts und 1 nach oben und danach 1 nach links und 2 nach oben.

Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kannst du aber auch gleich 2 nach rechts und 3 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

Zeichenanleitung

Vektoren sind nicht an einem bestimmten Punkt verankert, sondern sind frei im Raum liegende Pfeile.

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

• Zeichne den Vektor $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, indem du vom Startpunkt aus 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben gehst.

• Die Spitze Q des Vektors $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ ist der Startpunkt des Vektors $\vec{u}\backslash vec\{u\}$. Zeichne $\vec{u}\backslash vec\{u\}$, indem du von Q aus 1 Einheit nach links und 2 Einheiten nach oben gehst.

• Den Ergebnisvektor der Addition erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

Um $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; v=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ und $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\backslash vec\; u=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$ zu addieren, muss man nur die x-Werte und die y-Werte zusammen addieren:

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Wie bei der Addition von Vektoren lässt sich die Subtraktion durch die Ausführung mehrerer Wegbeschreibungen vorstellen. Berechnest du für die Vektoren $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ die Differenz $\vec{v}-\vec{u}\backslash vec\; v-\backslash vec\; u$, so gehst du erst den Weg $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ und dann $\vec{u}\backslash vec\; u$ rückwärts.

Beispiel: $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; v=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ und $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\backslash vec\; u=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

$\vec{v}-\vec{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\backslash vec\; v-\backslash vec\; u\; =\; \backslash textcolor\{green\}\{\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\}-\backslash textcolor\{1794c1\}\{\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\}$: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben und danach statt 1 nach links, 1 nach rechts und statt 2 nach oben, 2 nach unten.

"$\vec{u}\backslash vec\; u$ rückwärtszugehen" entspricht auch einer Addition des Gegenvektors von $\vec{u}\backslash vec\; u$: $-\vec{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\backslash textcolor\{1794c1\}\{-\backslash vec\{u\}\}\backslash \; =\backslash textcolor\{1794c1\}\{\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}\}$

Zeichenanleitung

Starte genauso wie bei der Addition:

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

• Zeichne den Vektor $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ genauso wie bei der Addition.

• Zeichne den Gegenvektor von $\vec{u}\backslash vec\{u\}$ an die Spitze Q, indem du sowohl das Vorzeichen vom x-Wert als auch vom y-Wert umdrehst.

• Den Ergebnisvektor der Subtraktion erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung