Vektoren addieren und subtrahieren

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Beispiel: $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ bedeutet: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben.

Addierst du Vektoren, "führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus".

Beispiel: $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$ bedeutet: Gehe erst 3 nach rechts und 1 nach oben und danach 1 nach links und 2 nach oben.

Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kannst du aber auch gleich 2 nach rechts und 3 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& +& (-1)\\ 1& +& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$

Zeichenanleitung

Vektoren sind nicht an einem bestimmten Punkt verankert, sondern sind frei im Raum liegende Pfeile.

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

• Zeichne den Vektor $\overrightarrow{v}$, indem du vom Startpunkt aus 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben gehst.

• Die Spitze Q des Vektors $\overrightarrow{v}$ ist der Startpunkt des Vektors $\overrightarrow{u}$. Zeichne $\overrightarrow{u}$, indem du von Q aus 1 Einheit nach links und 2 Einheiten nach oben gehst.

• Den Ergebnisvektor der Addition erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

Um $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$ zu addieren, muss man nur die x-Werte und die y-Werte zusammen addieren:

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& +& (-1)\\ 1& +& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Wie bei der Addition von Vektoren lässt sich die Subtraktion durch die Ausführung mehrerer Wegbeschreibungen vorstellen. Berechnest du für die Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ die Differenz $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$, so gehst du erst den Weg $\overrightarrow{v}$ und dann $\overrightarrow{u}$ rückwärts.

Beispiel: $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben und danach statt 1 nach links, 1 nach rechts und statt 2 nach oben, 2 nach unten.

"$\overrightarrow{u}$ rückwärtszugehen" entspricht auch einer Addition des Gegenvektors von $\overrightarrow{u}$: $-\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$

Zeichenanleitung

Starte genauso wie bei der Addition:

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

• Zeichne den Vektor $\overrightarrow{v}$ genauso wie bei der Addition.

• Zeichne den Gegenvektor von $\overrightarrow{u}$ an die Spitze Q, indem du sowohl das Vorzeichen vom x-Wert als auch vom y-Wert umdrehst.

• Den Ergebnisvektor der Subtraktion erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

$\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -& (-1)\\ 1& -& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right)$