Vektoren addieren und subtrahieren

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Beispiel: $\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ bedeutet: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben.

Addierst du Vektoren, "führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus".

Beispiel: $\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$

$\textcolor{green}{\vec v}+\textcolor{1794c1}{\vec u}=\textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$ bedeutet: Gehe erst 3 nach rechts und 1 nach oben und danach 1 nach links und 2 nach oben.

Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kannst du aber auch gleich 2 nach rechts und 3 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

$\textcolor{green}{\vec v}+\textcolor{1794c1}{\vec u}=\textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}3&+&(-1)\\1&+&2\end{pmatrix}=\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$

Zeichenanleitung

Vektoren sind nicht an einem bestimmten Punkt verankert, sondern sind frei im Raum liegende Pfeile.

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

• Zeichne den Vektor $\vec{v}$, indem du vom Startpunkt aus 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben gehst.

• Die Spitze Q des Vektors $\vec{v}$ ist der Startpunkt des Vektors $\vec{u}$. Zeichne $\vec{u}$, indem du von Q aus 1 Einheit nach links und 2 Einheiten nach oben gehst.

• Den Ergebnisvektor der Addition erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

Um $\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ zu addieren, muss man nur die x-Werte und die y-Werte zusammen addieren:

$\vec v+\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&+&(-1)\\1&+&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Wie bei der Addition von Vektoren lässt sich die Subtraktion durch die Ausführung mehrerer Wegbeschreibungen vorstellen. Berechnest du für die Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ die Differenz $\vec v-\vec u$, so gehst du erst den Weg $\vec{v}$ und dann $\vec u$ rückwärts.

Beispiel: $\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$

$\vec v-\vec u = \textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}-\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben und danach statt 1 nach links, 1 nach rechts und statt 2 nach oben, 2 nach unten.

"$\vec u$ rückwärtszugehen" entspricht auch einer Addition des Gegenvektors von $\vec u$: $\textcolor{1794c1}{-\vec{u}}\ =\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}$

Zeichenanleitung

Starte genauso wie bei der Addition:

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

• Zeichne den Vektor $\vec{v}$ genauso wie bei der Addition.

• Zeichne den Gegenvektor von $\vec{u}$ an die Spitze Q, indem du sowohl das Vorzeichen vom x-Wert als auch vom y-Wert umdrehst.

• Den Ergebnisvektor der Subtraktion erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

$\vec v-\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-&(-1)\\1&-&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$