Vektoren addieren und subtrahieren

Um Vektoren zu addieren (oder subtrahieren), addierst (oder subtrahierst) du komponentenweise.

Beispiele

  1. (79)+(14)=(7+19+4)=(813)\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{7}\\\textcolor{green}{9}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{1}\\\textcolor{green}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{7+1}\\\textcolor{green}{9+4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{8}\\\textcolor{green}{13}\end{pmatrix}

  2. (123)+(456)=(1+42+53+6)=(579)\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{1}\\\textcolor{green}{2}\\\textcolor{purple}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{4}\\\textcolor{green}{5}\\\textcolor{purple}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{1+4}\\\textcolor{green}{2+5}\\\textcolor{purple}{3+6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{5}\\\textcolor{green}{7}\\\textcolor{purple}{9}\end{pmatrix}

  3. (654)(321)=(635241)=(933)\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-6}\\\textcolor{green}{5}\\\textcolor{purple}{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{3}\\\textcolor{green}{2}\\\textcolor{purple}{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-6-3}\\\textcolor{green}{5-2}\\\textcolor{purple}{4-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-9}\\\textcolor{green}{3}\\\textcolor{purple}{3}\end{pmatrix}

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Beispiel: v=(31)\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} bedeutet: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben.

Addierst du Vektoren "führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus".

Beispiel: v=(31)\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} und u=(12)\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}

v+u=(31)+(12)\textcolor{green}{\vec v}+\textcolor{1794c1}{\vec u}=\textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}} bedeutet: Gehe erst 3 nach rechts und 1 nach oben und danach 1 nach links und 2 nach oben.

Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kannst du aber auch gleich 2 nach rechts und 3 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

v+u=(31)+(12)=(3+(1)1+2)=(23)\textcolor{green}{\vec v}+\textcolor{1794c1}{\vec u}=\textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}3&+&(-1)\\1&+&2\end{pmatrix}=\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}

Zeichenanleitung

Vektoren sind nicht an einem bestimmten Punkt verankert, sondern sind frei im Raum liegende Pfeile.

  • Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

  • Zeichne den Vektor v\vec{v}, indem du vom Startpunkt aus 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben gehst.

  • Die Spitze Q des Vektors v\vec{v} ist der Startpunkt des Vektors u\vec{u}. Zeichne u\vec{u}, indem du von Q aus 1 Einheit nach links und 2 Einheiten nach oben gehst.

  • Den Ergebnisvektor der Addition erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

Um v=(31)\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} und u=(12)\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix} zu addieren, muss man nur die x-Werte und die y-Wert zusammen addieren:

v+u=(31)+(12)=(3+(1)1+2)=(23)\vec v+\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&+&(-1)\\1&+&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Wie bei der Addition von Vektoren lässt sich die Subtraktion durch die Ausführung mehrerer Wegbeschreibungen vorstellen. Berechnest du für die Vektoren u\vec u und v\vec v die Differenz vu\vec v-\vec u, so gehst du erst den Weg v\vec{v} und dann u\vec u rückwärts.

Beispiel: v=(31)\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} und u=(12)\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}

vu=(31)(12)\vec v-\vec u = \textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}-\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben und danach statt 1 nach links, 1 nach rechts und statt 2 nach oben, 2 nach unten.

"u\vec u rückwärts zu gehen" entspricht auch einer Addition des Gegenvektors von u\vec u: u =(12)\textcolor{1794c1}{-\vec{u}}\ =\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}

Zeichenanleitung

Starte genau so wie bei der Addition:

  • Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.

  • Zeichne den Vektor v\vec{v} genauso wie bei der Addition.

  • Zeichne den Gegenvektor von u\vec{u} an die Spitze Q, indem du sowohl das Vorzeichen vom x-Wert als auch vom y-Wert umdrehst.

  • Den Ergebnisvektor der Subtraktion erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

vu=(31)(12)=(3(1)12)=(41)\vec v-\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-&(-1)\\1&-&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}

Übungsaufgaben

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Aufgaben zur Addition und Subtraktion von Vektoren

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