Aufgaben zur Addition und Subtraktion von Vektoren

Übe hier die Addition und Subtraktion von Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem.

1
Addiere die Vektoren:
1. $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  Um die beiden Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 2 + 5 \\ 3 + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array})$
  Zusatz: Skizze der Vektoren
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2. $(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  Um die beiden Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \end{array})$
  $= (\begin{array}{c} 1 + 3 \\ 5 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array})$
  Zusatz: Skizze der Vektoren
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3. $(\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  Um die drei Vektoren zu addieren, addierst du einfach ihre Koordinaten.
  $(\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array})$
  $= (\begin{array}{c} - 2 - 1 + 4 \\ 7 + 5 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 9 \end{array})$
  Zusatz: Skizze der Vektoren
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2
Subtrahiere die Vektoren.
1. $(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  Komponentenweise Subtraktion:
  $(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - 2 \\ 2 - 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array})$
  Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.
  Graphische Subtraktion:
  Den Lösungsvektor erhältst du, indem du den Gegenvektor des zweiten an die Spitze des ersten Vektors zeichnest.
  Du siehst links auch, dass du den gleichen Vektor erhältst, wenn du die Spitzen der beiden Vektoren verbindest. Bei dieser Methode musst du allerdings aufpassen, in welche Richtung der Lösungsvektor zeigt.
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2. $(\begin{array}{c} 2 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  Komponentenweise Subtraktion:
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - 3 - (- 4) \\ 7 - (- 3) - 9 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})$
  Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.
  Graphische Subtraktion:
  Den Lösungsvektor erhältst du, indem du den Gegenvektor des zweiten an die Spitze des ersten und den Gegenvektor des dritten an die Spitze dieses Vektors zeichnest.
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3. $((\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 5 \end{array})) - ((\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \end{array}))$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  Komponentenweise Subtraktion:
  $((\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 5 \end{array})) - ((\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 5 \\ - 4 \end{array})) = (\begin{array}{c} 7 - 4 \\ 1 - (- 5) \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 - (- 5) \\ 2 - (- 4) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 3 \\ 6 - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$
  Du subtrahierst die Vektoren voneinander, indem du ihre Koordinaten subtrahierst.
  Graphische Subtraktion:
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3
Addiere die Vektoren.
1. $(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \end{array}) \end{array}$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 3 + 2 \\ 1 + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array})$
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2. $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 1 + 1 \\ 2 + 2 \\ 3 + 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array})$
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3. $(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4,5 \\ 1,5 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4,5 \\ 1,5 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) \end{array}$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $(\begin{array}{c} 2 + 4,5 - 2 \\ 0 + 1,5 + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 2,5 \end{array})$
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4. $(\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - 3 + 3 \\ 3 - 3 \\ - 3 + 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \end{array}$
  Da der erste Vektor das negative des zweiten Vektors ist, addieren sie sich zum Nullvektor.
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5. $((\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 16 \\ 32 \end{array}) + (\begin{array}{c} 5 \\ 8 \\ - 10 \\ 7 \end{array})) + ((\begin{array}{c} - 5 \\ - 8 \\ 10 \\ - 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 111 \\ 90 \\ - 45 \end{array}))$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren
  $\begin{array}{l} ((\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 16 \\ 32 \end{array}) + (\begin{array}{c} 5 \\ 8 \\ - 10 \\ 7 \end{array})) + ((\begin{array}{c} - 5 \\ - 8 \\ 10 \\ - 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 111 \\ 90 \\ - 45 \end{array})) \end{array}$
  Addiere zuerst die Vektoren in den Klammern komponentenweise.
  $\begin{array}{l} = (\begin{array}{c} 4 + 5 \\ 8 + 8 \\ 16 - 10 \\ 32 + 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 5 + 6 \\ - 8 + 111 \\ 10 + 90 \\ - 7 - 45 \end{array}) \end{array}$
  $= (\begin{array}{c} 9 \\ 16 \\ 6 \\ 39 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ 103 \\ 100 \\ - 52 \end{array})$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 10 \\ 119 \\ 106 \\ - 13 \end{array})$
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4
Subtrahiere die Vektoren.
1. $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}) =$
  Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 1 - 2 \\ 2 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array})$
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2. $(\begin{array}{c} 67 \\ 44 \\ - 91 \end{array}) - (\begin{array}{c} 101 \\ 50 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  $(\begin{array}{c} 67 \\ 44 \\ - 91 \end{array}) - (\begin{array}{c} 101 \\ 50 \\ 3 \end{array})$
  Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 67 - 101 \\ 44 - 50 \\ - 91 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 34 \\ - 6 \\ - 94 \end{array})$
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3. $(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  $(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$
  Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 5 - 4 - (- 1) \\ 7 - 3 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array})$
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4. $((\begin{array}{c} 34 \\ 85 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 66 \\ - 72 \end{array})) - (\begin{array}{c} 31 \\ 19 \\ 73 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  $((\begin{array}{c} 34 \\ 85 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 66 \\ - 72 \end{array})) - (\begin{array}{c} 31 \\ 19 \\ 73 \end{array})$
  Subtrahiere die Vektoren komponentenweise in der Klammer.
  $= (\begin{array}{c} 34 - 3 \\ 85 - 66 \\ 1 - (- 72) \end{array}) - (\begin{array}{c} 31 \\ 19 \\ 73 \end{array})$
  Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 34 - 3 - 31 \\ 85 - 66 - 19 \\ 1 - (- 72) - 73 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
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5. $((\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array})) - ((\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \end{array}))$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren subtrahieren
  $((\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array})) - ((\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \end{array}))$
  Subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 5 - 3 \\ 1 - (- 3) \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 - (- 2) \\ - 2 - (- 1) \end{array})$
  Vereinfache und subtrahiere die Vektoren wieder komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - 4 \\ 4 - (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 5 \end{array})$
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