Vektor

Ein Vektor  bezeichnet eine Verschiebung und wird durch jeden Pfeil repräsentiert, der
gleiche Länge
und gleiche Richtung 
wie die betreffende Verschiebung hat.
Vektoren werden meistens mit einem Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benannt. Typische Vektorennamen sind also a⃗,v⃗,w⃗…\vec{a}, \vec{v}, \vec{w}\dotsa,v,w…﻿

Die einzelnen Pfeile bezeichnet man als Repräsentanten dieses Vektors.Sie sind alle parallel zueinander. 
Hier sieht man einige Repräsentanten des Vektors a→\overrightarrow{a}a.

Detaillierte EinführungEine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in den Vektorbegriff (Vektoren in der Ebene I).
Video zur Einführung des Vektorbegriffs

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Der Vektor a→=(23){\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}a=(23​) liegt in der x-y-Ebene

Der Vektor b→=(235){\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}}b=⎝⎛​235​⎠⎞​ liegt im Raum

Die Koordinaten eines Vektors v⃗\vec vv werden mit verschiedenen Schreibweisen bezeichnet. Beispiele sind:

v⃗=(xvyv)\displaystyle \vec v = \begin{pmatrix}x_v\\y_v\end{pmatrix}v=(xv​yv​​)

v⃗=(v1v2)\displaystyle \vec v = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}v=(v1​v2​​)

v⃗=(vxvy)\displaystyle \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}v=(vx​vy​​)

Video zum Einzeichnen von Vektoren

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Länge eines Vektors

Die Länge oder der Betrag eines Vektors a⃗\vec{a}a wird mit ∣a⃗∣|\vec{a}|∣a∣ (oder auch oft ∥a⃗∥\|\vec{a}\|∥a∥) bezeichnet und berechnet sich wie folgt: 
﻿∥a⃗∥=a12+a22\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}∥a∥=a12​+a22​​ , falls a⃗\vec{a}a in der Ebene liegt
﻿∥a⃗∥=a12+a22+a32\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}∥a∥=a12​+a22​+a32​​, falls a⃗\vec{a}a im dreidimensionalen Raum liegt. 
Im Artikel Länge eines Vektors findet man mehr Informationen dazu.

Übungsaufgaben

Berechne die Länge der folgenden Vektoren

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Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Länge eines Vektors.

Beziehungen zwischen zwei Vektoren

ParallelitätZwei Vektoren v⃗\vec{v}v und w⃗\vec{w}w sind zueinander parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist:
﻿v⃗=k⋅w⃗              k∈R\vec{v}=k\cdot\vec{w}\;\;\;\;\;\;\;k\in ℝv=k⋅wk∈R﻿

Übungsaufgaben

Lässt sich der Vektor w⃗\vec{w}w durch eine Streckung des Vektors v⃗\vec{v}v erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor kkk um den v⃗\vec{v}v gestreckt wurde.

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Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur skalaren Multiplikation und Vektorketten﻿

Orthogonalität

Zwei Vektoren a⃗\vec{a}a und b⃗\vec{b}b sind zueinander orthogonal ( = senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt a⃗∘b⃗\vec{a}\circ\vec{b}a∘b gleich 0 ist.
Ein Vektor n⃗\vec{n}n, der orthogonal 
zu einem anderen Vektor v⃗\vec{v}v, oder
zu einer Geraden ggg, oder
zu einer Ebene EEE 
steht, nennt man Normalvektor (oder auch Normalenvektor) von v⃗\vec{v}v, ggg, oder EEE.

Vor allem Ebenen, aber auch Geraden, werden mit Normalvektoren in einer Normalform sehr einfach dargestellt.

Rechnungen mit VektorenMit Vektoren lässt sich ähnlich wie bei Zahlen rechnen. Man kann also: 
Vektoren addieren und subtrahieren,
Vektoren mit einer Zahl  skalarmultiplizieren (= strecken oder stauchen),
zwei Vektoren miteinander multiplizieren. 
Wichtig: Es gibt mehr als eine Art Vektoren miteinander zu multiplizieren. Beim Skalarprodukt ist das Ergebnis eine Zahl ( = ein Skalar), während beim Kreuzprodukt ein weiterer Vektor rauskommt. 
Eine weitere wichtige Rechnung, die man mit Vektoren machen kann ist die sogenannte Matrix-Vektor Multiplikation.

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