Vektor

Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung und wird durch jeden Pfeil repräsentiert, der

gleiche Länge
und gleiche Richtung

wie die betreffende Verschiebung hat.

Vektoren werden meistens mit einem Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benannt. Typische Vektorennamen sind also $\sf \vec{a}, \vec{v}, \vec{w}\dots$

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Die einzelnen Pfeile bezeichnet man als Repräsentanten dieses Vektors. Sie sind alle parallel zueinander.

Hier sieht man einige Repräsentanten des Vektors $\sf \overrightarrow{a}$ .

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in den Vektorbegriff (Vektoren in der Ebene I).

Video zur Einführung des Vektorbegriffs

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Repräsentanten untersuchen

Im Applet kannst du die Punkte A und B sowie den Vektorpfeil $\sf \vec{v}$ selbst verschieben und erforschen, wann sich der zugehörige Vektor verändert.

Vektoren in Ebene und Raum

Der Vektor $\sf {\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} \sf 2 \\ \sf 3\end{pmatrix}}$ liegt in der x-y-Ebene

Der Vektor $\sf {\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} \sf 2 \\ \sf 3 \\ \sf 5\end{pmatrix}}$ liegt im Raum

Die Koordinaten eines Vektors $\sf \vec v$ werden mit verschiedenen Schreibweisen bezeichnet. Beispiele sind:

\displaystyle \sf \vec v = \begin{pmatrix} \sf x_v \\ \sf y_v\end{pmatrix}

\displaystyle \sf \vec v = \begin{pmatrix} \sf x_v \\ \sf y_v\end{pmatrix}

\displaystyle \sf \vec v = \begin{pmatrix} \sf x_v \\ \sf y_v\end{pmatrix}

Länge eines Vektors

Die Länge oder der Betrag eines Vektors $\sf \vec{a}$ wird mit $\sf |\vec{a}|$ (oder auch oft $\sf \|\vec{a}\|$ ) bezeichnet und berechnet sich wie folgt:

$\sf \|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ , falls $\sf \vec{a}$ in der Ebene liegt

$\sf \|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ , falls $\sf \vec{a}$ im dreidimensionalen Raum liegt.

Im Artikel Länge eines Vektors findet man mehr Informationen dazu.

Beziehungen zwischen zwei Vektoren

Parallelität

Zwei Vektoren $\sf \vec{v}$ und $\sf \vec{w}$ sind zueinander parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist:

\displaystyle \sf \vec v = \begin{pmatrix} \sf x_v \\ \sf y_v\end{pmatrix}

Orthogonalität

Zwei Vektoren $\sf \vec{a}$ und $\sf \vec{b}$ sind zueinander orthogonal (= senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt $\sf \vec{a}\circ\vec{b}$ gleich 0 ist.

Ein Vektor $\sf \vec{n}$ , der orthogonal

zu einem anderen Vektor $\sf \vec{v}$ oder
zu einer Geraden $\sf g$ oder
zu einer Ebene $\sf E$

steht, nennt man Normalvektor (oder auch Normalenvektor) von $\sf \vec{v}$ , $\sf g$ oder $\sf E$ .

Vor allem Ebenen, aber auch Geraden, werden mit Normalvektoren in einer Normalform sehr einfach dargestellt.

Rechnungen mit Vektoren

Mit Vektoren lässt sich ähnlich wie bei Zahlen rechnen. Man kann also:

Vektoren addieren und subtrahieren,
Vektoren mit einer Zahl skalarmultiplizieren (= strecken oder stauchen),
zwei Vektoren miteinander multiplizieren.

Wichtig: Es gibt mehr als eine Art Vektoren miteinander zu multiplizieren. Beim Skalarprodukt ist das Ergebnis eine Zahl (= ein Skalar), während beim Kreuzprodukt ein weiterer Vektor rauskommt.

Eine weitere wichtige Rechnung, die man mit Vektoren machen kann, ist die sogenannte Matrix-Vektor Multiplikation.

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