Vektor

Vektoren werden meistens mit einem Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benannt. Typische Vektorennamen sind also $\vec{a}, \vec{v}, \vec{w}\dots$

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in den Vektorbegriff (Vektoren in der Ebene I).

Video zur Einführung des Vektorbegriffs

Repräsentanten untersuchen

Vektoren in Ebene und Raum

Der Vektor ${\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ liegt in der x-y-Ebene

Der Vektor ${\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}}$ liegt im Raum

Die Koordinaten eines Vektors $\vec v$ werden mit verschiedenen Schreibweisen bezeichnet. Beispiele sind:

Länge eines Vektors

Beziehungen zwischen zwei Vektoren

Parallelität

Zwei Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind zueinander parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist:

$\vec{v}=k\cdot\vec{w}\;\;\;\;\;\;\;k\in ℝ$

Orthogonalität

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind zueinander orthogonal (= senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt $\vec{a}\circ\vec{b}$ gleich 0 ist.

Ein Vektor $\vec{n}$, der orthogonal

• zu einem anderen Vektor $\vec{v}$ oder

• zu einer Geraden $g$ oder

• zu einer Ebene $E$

steht, nennt man Normalvektor (oder auch Normalenvektor) von $\vec{v}$, $g$ oder $E$.

Vor allem Ebenen, aber auch Geraden, werden mit Normalvektoren in einer Normalform sehr einfach dargestellt.

Rechnungen mit Vektoren

Mit Vektoren lässt sich ähnlich wie bei Zahlen rechnen. Man kann also:

• Vektoren addieren und subtrahieren,

• Vektoren mit einer Zahl skalar multiplizieren (= strecken oder stauchen),

• zwei Vektoren miteinander multiplizieren.

Wichtig: Es gibt mehr als eine Art, Vektoren miteinander zu multiplizieren. Beim Skalarprodukt ist das Ergebnis eine Zahl (= ein Skalar), während beim Kreuzprodukt ein weiterer Vektor entsteht.

Eine weitere wichtige Rechnung, die man mit Vektoren machen kann, ist die sogenannte Matrix-Vektor-Multiplikation.