In der analytischen Geometrie werden Geraden mithilfe von Vektoren dargestellt. Dies gilt für die Ebene wie für den Raum.
Die allgemeine Geradengleichung in Parameterform ist:
$$g \colon \quad \vec x = \vec p + \lambda \vec u$$
Dabei ist %%\vec p%% der Ortsvektor zu einem Punkt %%P%% auf der Geraden (dem Aufpunkt) und %%\vec u%% der Richtungsvektor, der auf der Geraden verläuft.
Wenn man beispielsweise zwei Punkte %%P%% und %%Q%% auf der Geraden gegeben hat, dann berechnet man den Richtungsvektor %%\vec u%%, indem man die zugehörigen Ortsvektoren %%p%% und %%q%% von einander subtrahiert:
%%\vec u = \vec q - \vec p%%
Geraden in der Ebene
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Gerade in der Ebene durch eine Gleichung zu beschreiben. Hier werden die Parameterform (man nennt sie auch Punkt-Richtungs-Form) und die Normalenform erklärt.
Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)
Die Parameterform ist von der Vorstellung her eine einfache Form. Man nimmt einen beliebigen Punkt %%P%%, der auf der gesuchten Geraden %%g%% liegt. Diesen Punkt nennt man Aufpunkt. An den Aufpunkt setzt man einen Vektor %%\vec u%% an, der in die Richtung der Geraden zeigt. Der Endpunkt dieses Vektors liegt dann auch auf der Geraden. Diesen Punkt berechnet man, indem man zum Ortsvektor %%p%% von %%P%% den Vektor %%u%% addiert. Dann erhält man den Ortsvektor dieses Punkts. Aber nicht nur dieser Punkt liegt auf der Geraden, sondern auch alle Punkte, zu denen man kommt, wenn man vom Punkt %%P%% aus ein beliebiges Vielfaches des Vektors %%u%% anträgt.
Man erhält also alle Ortsvektoren %%\vec x%%, indem man zu %%p%% alle Vielfachen %%\lambda \cdot \vec u%% addiert. Die Variable %%\lambda%% heißt Parameter. Für %%\lambda%% kann man alle reellen Zahlen einsetzen. Weil %%\lambda%% auch negativ sein kann, erhält man auch die Punkte auf der Geraden, die in der entgegengesetzten Richtung liegen.
Man kann die Gerade %%g%% deshalb durch Gleichung
$$\vec x = \vec p + \lambda \cdot \vec{u}$$
beschreiben.
Beispiel
Man kennt die Koordinaten des Punktes %%P(2|3)%%, der auf der Geraden %%g%% liegt. Sein Ortsvektor ist %%\vec p = \pmatrix{2\\3}%%. Für die Gerade soll gelten, dass sie eine Steigung von %%m=\frac25%% hat. Darauf erhält man als Richtungsvektor den Vektor %%\vec u=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}%%. Die Koordinaten des Richtungsvektors können einfach aus der Steigung gelesen werden, wobei beachtet werden muss, dass für die Steigung die Gleichung %%m=\frac{y}{x}%% gilt, und für Vektoren %%\vec u =\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}%% . Nun setzt man die Vektoren noch in die allgemeine Gleichung %%\vec x = \vec p + \lambda \cdot \vec{u}%% ein und erhält:
$$g \colon\quad \vec x = \pmatrix{2\\3} + \lambda \cdot \pmatrix{5\\2}$$
Normalform (Normalenform)
Hat man den Normalenvektor %%\vec{n}%% , also den senkrecht zur Gerade stehenden Vektor, kann man die Gerade mithilfe der Normalenform darstellen.
Die allgemein Form der Normalengleichung ist:
$$\vec x \circ \vec n = c$$
Hierbei bezeichnet der Kringel %%\circ%% das Skalarprodukt. Den Wert der Konstanten %%c%% erhält man, indem man einen beliebigen Punkt %%P%% auf der Geraden wählt und seinen Ortsvektor %%p%% in die Gleichung einsetzt:
%%c = \vec{p} \circ \vec{n}%%
Wenn nicht der Normalenvektor, sondern der Richtungsvektor %%\vec u%% gegeben ist, dann muss man zuerst aus dem Richtungsvektor den Normalenvektor bestimmen. Wie das geht, wird im folgenden Beispiel gezeigt.
Beispiel
Man kennt wieder die Koordinaten des Punktes %%P(2|3)%%, der auf der Geraden %%g%% liegt. Sein Ortsvektor ist also %%\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}%%. Die Steigung sei wieder %%m=\frac25%% und daraus erhält man als Richtungsvektor %%\vec u =\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}%% . Nun braucht man aber den Normalenvektor zu diesem. Man kann diesen mithilfe Skalarprodukts bestimmen. Da zwei rechtwinklig zueinander stehende Vektoren das Skalarprodukt Null haben, erhält man die Gleichung
%%0 = \vec u \circ \vec n = \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}n_x\\n_y\end{pmatrix} = 5 \cdot n_x + 2 \cdot n_y%%
Eine mögliche Lösung ist %%n_x = -2%% und %%n_y = 5%%, also %%\vec n = \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}%%. Nun setzen wir die beiden Vektoren ein und berechnen %%c%%:
%%c=\vec p\circ \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}=2\cdot(-2)+3\cdot5=(-4)+15=11%%
Also erhalten wir als Normalform
%%g\colon \quad \vec x \circ \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}=11%%
Geraden im Raum
Auch für Geraden im Raum gibt es die Parameterform bzw. Punkt-Richtungs-Form der Geradengleichung. Es gibt aber keine Normalenform.
Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)
Die Parameterform sehr ähnlich zur Parameterform in der Ebene, nur dass die Vektoren nun eine Dimension mehr haben. Für die Vorstellung verändert sich dadurch kaum etwas.
%%\vec{x}=\vec{p}+\lambda \cdot \vec{u}%%
Beispiel
%%\vec p = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}%% ist der Ortsvektor des Aufpunkts und %%\vec u =\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}%% ist ein Richtungsvektor, so erhalten wir die Parameterform
%%\vec x = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}%%
