Geradengleichung in der analytischen Geometrie

In der analytischen Geometrie werden Geraden mithilfe von Vektoren dargestellt. Dies gilt für die Ebene wie für den Raum.

Die allgemeine Geradengleichung in Parameterform ist:

Wenn man beispielsweise zwei Punkte $P$ und $Q$ auf der Geraden gegeben hat, dann berechnet man den Richtungsvektor $\vec u$, indem man die zugehörigen Ortsvektoren $p$ und $q$ von einander subtrahiert:

Geraden in der Ebene

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Gerade in der Ebene durch eine Gleichung zu beschreiben. Hier werden die Parameterform (man nennt sie auch Punkt-Richtungs-Form) und die Normalenform erklärt.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform ist von der Vorstellung her eine einfache Form. Man nimmt einen beliebigen Punkt $P$, der auf der gesuchten Geraden $g$ liegt. Diesen Punkt nennt man Aufpunkt.An den Aufpunkt setzt man einen Vektor $\vec u$ an, der in die Richtung der Geraden zeigt. Der Endpunkt dieses Vektors liegt dann auch auf der Geraden. Diesen Punkt berechnet man, indem man zum Ortsvektor $p$ von $P$ den Vektor $u$ addiert. Dann erhält man den Ortsvektor dieses Punkts. Aber nicht nur dieser Punkt liegt auf der Geraden, sondern auch alle Punkte, zu denen man kommt, wenn man vom Punkt $P$ aus ein beliebiges Vielfaches des Vektors $u$ anträgt.

Man erhält also alle Ortsvektoren $\vec x$, indem man zu $p$ alle Vielfachen $\lambda \cdot \vec u$ addiert. Die Variable $\lambda$ heißt Parameter. Für $\lambda$ kann man alle reellen Zahlen einsetzen. Weil $\lambda$ auch negativ sein kann, erhält man auch die Punkte auf der Geraden, die in der entgegengesetzten Richtung liegen.

Man kann die Gerade $g$ deshalb durch Gleichung

beschreiben.

Beispiel

Man kennt die Koordinaten des Punktes $P(2|3)$, der auf der Geraden $g$ liegt. Sein Ortsvektor ist $\vec p = \begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$. Für die Gerade soll gelten, dass sie eine Steigung von $m=\frac25$ hat. Darauf erhält man als Richtungsvektor den Vektor $\vec u=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$. Die Koordinaten des Richtungsvektors können einfach aus der Steigung gelesen werden, wobei beachtet werden muss, dass für die Steigung die Gleichung $m=\frac{y}{x}$ gilt, und für Vektoren $\vec u =\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ . Nun setzt man die Vektoren noch in die allgemeine Gleichung $\vec x = \vec p + \lambda \cdot \vec{u}$ ein und erhält:

Normalform (Normalenform)

Hat man den Normalenvektor $\vec{n}$ , also den senkrecht zur Gerade stehenden Vektor, kann man die Gerade mithilfe der Normalenform darstellen.

Die allgemein Form der Normalengleichung ist:

Hierbei bezeichnet der Kringel $\circ$ das Skalarprodukt. Den Wert der Konstanten $c$ erhält man, indem man einen beliebigen Punkt $P$ auf der Geraden wählt und seinen Ortsvektor $p$ in die Gleichung einsetzt:

Wenn nicht der Normalenvektor, sondern der Richtungsvektor $\vec u$ gegeben ist, dann muss man zuerst aus dem Richtungsvektor den Normalenvektor bestimmen. Wie das geht, wird im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel

Man kennt wieder die Koordinaten des Punktes $P(2|3)$, der auf der Geraden $g$ liegt. Sein Ortsvektor ist also $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$. Die Steigung sei wieder $m=\frac25$ und daraus erhält man als Richtungsvektor $\vec u =\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$ . Nun braucht man aber den Normalenvektor zu diesem. Man kann diesen mithilfe Skalarprodukts bestimmen. Da zwei rechtwinklig zueinander stehende Vektoren das Skalarprodukt Null haben, erhält man die Gleichung

Eine mögliche Lösung ist $n_x = -2$ und $n_y = 5$, also $\vec n = \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$. Nun setzen wir die beiden Vektoren ein und berechnen $c$:

Also erhalten wir als Normalform

Geraden im Raum

Auch für Geraden im Raum gibt es die Parameterform bzw. Punkt-Richtungs-Form der Geradengleichung. Es gibt aber keine Normalenform.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform sehr ähnlich zur Parameterform in der Ebene, nur dass die Vektoren nun eine Dimension mehr haben.  Für die Vorstellung verändert sich dadurch kaum etwas.

Beispiel

$\vec p = \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$  ist der Ortsvektor des Aufpunkts und  $\vec u =\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$ ist ein Richtungsvektor, so erhalten wir die Parameterform