Geradengleichung in der analytischen Geometrie

Wenn man beispielsweise zwei Punkte $P$ und $Q$ auf der Geraden gegeben hat, dann berechnet man den Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$, indem man die zugehörigen Ortsvektoren $p$ und $q$ voneinander subtrahiert:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}$

Geraden in der Ebene

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Gerade in der Ebene durch eine Gleichung zu beschreiben. Hier werden die Parameterform (man nennt sie auch Punkt-Richtungs-Form) und die Normalenform erklärt.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform ist von der Vorstellung her eine einfache Form. Man nimmt einen beliebigen Punkt $P$, der auf der gesuchten Geraden $g$ liegt. Diesen Punkt nennt man Aufpunkt. An den Aufpunkt setzt man einen Vektor $\overrightarrow{u}$ an, der in die Richtung der Geraden zeigt.

Der Endpunkt dieses Vektors liegt dann auch auf der Geraden. Diesen Punkt berechnet man, indem man zum Ortsvektor $p$ von $P$ den Vektor $u$ addiert. So erhält man den Ortsvektor dieses Punktes.

Aber nicht nur dieser Punkt liegt auf der Geraden, sondern auch alle Punkte, zu denen man kommt, wenn man vom Punkt $P$ aus ein beliebiges Vielfaches des Vektors $u$ anträgt.

Man erhält also alle Ortsvektoren $\overrightarrow{x}$, indem man zu $p$ alle Vielfachen $\lambda \cdot \overrightarrow{u}$ addiert. Die Variable $\lambda$ heißt Parameter. Für $\lambda$ kann man alle reellen Zahlen einsetzen. Weil $\lambda$ auch negativ sein kann, erhält man auch die Punkte auf der Geraden, die in der entgegengesetzten Richtung liegen.

Deshalb gilt:

Beispiel

Man kennt die Koordinaten des Punktes $P(2|3)$, der auf der Geraden $g$ liegt. Sein Ortsvektor ist $\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$. Für die Gerade soll gelten, dass sie eine Steigung von $m=\frac{2}{5}$ hat. Darauf erhält man als Richtungsvektor den Vektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$.

Die Koordinaten des Richtungsvektors können einfach aus der Steigung gelesen werden, wobei beachtet werden muss, dass für die Steigung die Gleichung $m=\frac{y}{x}$ gilt, und für Vektoren $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Nun setzt man die Vektoren noch in die allgemeine Gleichung $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\lambda \cdot \overrightarrow{u}$ ein und erhält:

Normalform (Normalenform)

Hat man den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, also den senkrecht zur Geraden stehenden Vektor, kann man die Gerade mithilfe der Normalenform darstellen.

Die allgemeine Form der Normalengleichung ist:

Hierbei bezeichnet der Kringel $\circ$ das Skalarprodukt. Den Wert der Konstanten $c$ erhält man, indem man einen beliebigen Punkt $P$ auf der Geraden wählt und seinen Ortsvektor $p$ in die Gleichung einsetzt:

$c=\overrightarrow{p}\circ \overrightarrow{n}$

Wenn nicht der Normalenvektor, sondern der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ gegeben ist, dann muss man zuerst aus dem Richtungsvektor den Normalenvektor bestimmen. Wie das geht, wird im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel

Man kennt wieder die Koordinaten des Punktes $P(2|3)$, der auf der Geraden $g$ liegt. Sein Ortsvektor ist also $\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$. Die Steigung sei wieder $m=\frac{2}{5}$ und daraus erhält man als Richtungsvektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$. Nun braucht man aber den Normalenvektor zu diesem. Man kann diesen mithilfe des Skalarprodukts bestimmen. Da zwei rechtwinklig zueinander stehende Vektoren das Skalarprodukt null haben, erhält man die Gleichung

$0=\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\end{array}\right)=5\cdot n_x+2\cdot n_y$

Eine mögliche Lösung ist $n_x=-2$ und $n_y=5$, also $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)$. Nun setzen wir die beiden Vektoren ein und berechnen $c$:

$c=\overrightarrow{p}\circ \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)=2\cdot (-2)+3\cdot 5=(-4)+15=11$

Also erhalten wir als Normalform

$g:\overrightarrow{x}\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)=11$

Geraden im Raum

Auch für Geraden im Raum gibt es die Parameterform bzw. Punkt-Richtungs-Form der Geradengleichung. Es gibt aber keine Normalenform.

Parameterform (Punkt-Richtungs-Form)

Die Parameterform ist sehr ähnlich zur Parameterform in der Ebene, nur dass die Vektoren nun eine Dimension mehr haben.  Für die Vorstellung verändert sich dadurch kaum etwas.

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+\lambda \cdot \overrightarrow{u}$

Beispiel

$\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)$  ist der Ortsvektor des Aufpunkts und  $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ ist ein Richtungsvektor, so erhalten wir die Parameterform

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$