Vektor- oder Kreuzprodukt

Mathematisch ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ definiert als

Der dadurch erhaltene Vektor $\vec c$ steht auf $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht ($\vec c\perp \vec a$ und $\vec c\perp \vec b$).

Er hat die Länge $\left|\vec{c}\right|=|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\varphi)$, wobei $\varphi$ der Winkel ist, den $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen. Der Wert $|\vec{c}|$ entspricht dem Flächeninhalt des von $\vec{a}$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms.

Beispiel

Für $\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ ist das Kreuzprodukt $\vec c=\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\cdot1-1\cdot4\\1\cdot2-1\cdot1\\1\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$

Wir können eine erste Probe dadurch machen, dass das Kreuzprodukt auf den Faktoren senkrecht stehen muss, das Skalarprodukt muss also Null sein:

$\vec{a}\circ\vec{c}=\begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\1\\0 \end{pmatrix}=-2+2+0=0 \;\checkmark$

$\vec{b}\circ\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\4\\1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\1\\0 \end{pmatrix}=-4+4+0=0\;\checkmark$

Schema zum Berechnen

Um nicht die ganze Formel auswendig lernen zu müssen, gibt es folgenden Trick:

1) Man schreibt die oberen zwei Zeilen noch einmal unter die Vektoren:

Eigenschaften

Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ!

Jedoch gelten folgende Gesetze:

• $\vec a\times(\vec b+\vec{c})=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c$

• $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$ (Distributivgesetze)

• $\vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a)$

• $( r\cdot\vec{a})\times\vec{ b}\;= r\cdot(\vec{ a}\times\vec{ b})=\vec{ a}\times( r\cdot\vec{ b})$