Abstand zweier Ebenen bestimmen

Wenn zwei Ebenen identisch sind, oder eine Schnittgerade haben (sich schneiden), ist der Abstand zwischen den Ebenen $0$ .

Der einzige Fall, bei dem der Abstand nicht Null und somit sinnvoll ist, ist, wenn die beiden Ebenen echt parallel sind. In diesem Fall haben sie überall den gleichen Abstand.

Allgemeine Berechnung

Im Folgenden werden zwei verschiedene Wege zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Ebenen vorgestellt. Beide Methoden sind nur sinnvoll, wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel sind. Es muss also erst die Lagebeziehung der beiden Ebenen geprüft werden.

Berechnung mit der Hesse-Normalform

Gegeben sind zwei parallele Ebenen $E_1$ und $E_2$ in Parameter- bzw. Koordinatenform.

Hesse-Normalform von einer der Ebenen bestimmen (z. B. von $E_1$ ).
Einen beliebigen Punkt auf $E_2$ wählen.
Punkt in die Hesse-Normalform von $E_1$ einsetzen und so den Abstand des Punktes zu $E_1$ berechnen.

Der so berechnete Abstand entspricht dem Abstand der beiden Ebenen, da bei parallelen Ebenen jeder Punkt auf der einen Ebene den gleichen Abstand zur anderen Ebene hat.

Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen $E_1\colon \ 2{ x}_1-{ x}_2-2{ x}_3=6$ und ${ E}_2:\;-{ x}_1+0{,}5{ x}_2+{ x}_3=6$ in Koordinatenform.

Bestimmung des Abstandes mit der Hesse-Normalform

Hesse-Normalform bestimmen: $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ , $\left|\vec n\right|=\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt9=3$ $\Rightarrow\;\;\mathrm{HNF}\ E_1\colon\;\;\dfrac{2 x_1- x_2-2 x_3-6}3=0$
Punkt auf ${\mathrm E}_2$ wählen: $\vec P=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}$
Punkt in Hesse-Normalform einsetzen: $d\left(E_1,E_2\right)=\left|\dfrac{2\cdot0-0-2\cdot6-6}{3}\right|=\left|-6\right|=6$

Berechnung mit einer Hilfsgerade

Gegeben sind die zwei parallele Ebenen

$E\colon\ \vec n\cdot\left[\vec x-\vec a_1\right]=0$ und $F\colon \ \vec x=\vec a_2 + r\cdot\vec u + s\cdot\vec v$ .

Es muss also eine Ebene in Normalenform gegeben sein, oder in diese umgeformt werden.

Hilfsgerade $h$ bestimmen, die durch den Punkt $A_2$ (Stützpunkt von $F$ ) und senkrecht zur Ebene $E$ liegt. $\Rightarrow\ h\colon\;\vec x = \vec a_2 + r\cdot\vec n$
Schnittpunkt $\mathrm S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $\mathrm E$ bestimmen.
Abstand von $S$ und $A_2$ berechnen.

Auch hier entspricht dieser Abstand dem Abstand der beiden Ebenen.

Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen $E_1\colon\;\;\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$ und $E_2\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$ .

Bestimmung des Abstandes mit einer Hilfsgeraden

Hilfsgerade bestimmen: $h:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}$
Schnittpunkt $S$ bestimmen: $\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0$ $\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1-2r\\3+3r\\6r\end{pmatrix}\right]=0$ (Berechne das Skalarprodukt)
$\Rightarrow\;\;(-2)\cdot(1-2r)+3\cdot(3+3r)+6\cdot6r=0$
$\Rightarrow\;\;49\cdot r +7=0$
$\Rightarrow\;\; r=-\frac17$ $\Rightarrow\;\vec S=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\left(-\frac17\right)\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac97\\\frac{25}7\\\frac87\end{pmatrix}$
Abstand von S und A berechnen: $\vec S-\vec A=\begin{pmatrix}\frac97\\[1ex]\frac{25}7\\[1ex]\frac87\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac27\\[1ex]-\frac37\\[1ex]-\frac{6}7\end{pmatrix}$
$d=\sqrt{\left(\vec S-\vec A\right)^2}=\frac{1}7 \sqrt{4+9+36} =1$

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