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Abstand zweier Ebenen bestimmen

Wenn zwei Ebenen identisch sind, oder eine Schnittgerade haben (sich schneiden), ist der Abstand zwischen den Ebenen 00.

Der einzige Fall, bei dem der Abstand nicht Null und somit sinnvoll ist, ist, wenn die beiden Ebenen echt parallel sind. In diesem Fall haben sie überall den gleichen Abstand.

Allgemeine Berechnung

Im Folgenden werden zwei verschiedene Wege zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Ebenen vorgestellt. Beide Methoden sind nur sinnvoll, wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel sind. Es muss also erst die Lagebeziehung der beiden Ebenen geprüft werden.

Berechnung mit der Hesse-Normalform

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Gegeben sind zwei parallele Ebenen E1E_1 und E2E_2 in Parameter- bzw. Koordinatenform.

  1. Hesse-Normalform von einer der Ebenen bestimmen (z. B. von E1E_1).

  2. Einen beliebigen Punkt auf E2E_2 wählen.

  3. Punkt in die Hesse-Normalform von E1E_1 einsetzen und so den Abstand des Punktes zu E1E_1 berechnen.

Der so berechnete Abstand entspricht dem Abstand der beiden Ebenen, da bei parallelen Ebenen jeder Punkt auf der einen Ebene den gleichen Abstand zur anderen Ebene hat.

Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen E1 ⁣: 2x1x22x3=6E_1\colon \ 2{ x}_1-{ x}_2-2{ x}_3=6 und E2:  x1+0,5x2+x3=6{ E}_2:\;-{ x}_1+0{,}5{ x}_2+{ x}_3=6 in Koordinatenform.

Bestimmung des Abstandes mit der Hesse-Normalform

  1. Hesse-Normalform bestimmen: n=(212)\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}, n=22+(1)2+(2)2=9=3\left|\vec n\right|=\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt9=3     HNF E1 ⁣:    2x1x22x363=0\Rightarrow\;\;\mathrm{HNF}\ E_1\colon\;\;\dfrac{2 x_1- x_2-2 x_3-6}3=0

  2. Punkt auf E2{\mathrm E}_2 wählen: P=(006)\vec P=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}

  3. Punkt in Hesse-Normalform einsetzen: d(E1,E2)=2002663=6=6d\left(E_1,E_2\right)=\left|\dfrac{2\cdot0-0-2\cdot6-6}{3}\right|=\left|-6\right|=6

Berechnung mit einer Hilfsgerade

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Gegeben sind die zwei parallele Ebenen

E ⁣: n[xa1]=0E\colon\ \vec n\cdot\left[\vec x-\vec a_1\right]=0 und F ⁣: x=a2+ru+svF\colon \ \vec x=\vec a_2 + r\cdot\vec u + s\cdot\vec v.

Es muss also eine Ebene in Normalenform gegeben sein, oder in diese umgeformt werden.

  1. Hilfsgerade hh bestimmen, die durch den Punkt A2A_2 (Stützpunkt von FF) und senkrecht zur Ebene EE liegt.  h ⁣:  x=a2+rn\Rightarrow\ h\colon\;\vec x = \vec a_2 + r\cdot\vec n

  2. Schnittpunkt S\mathrm S der Hilfsgeraden hh mit der Ebene E\mathrm E bestimmen.

  3. Abstand von SS und A2A_2 berechnen.

Auch hier entspricht dieser Abstand dem Abstand der beiden Ebenen.

Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen E1 ⁣:    (236)[x(012)]=0E_1\colon\;\;\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0 und E2 ⁣:  x=(142)+r(320)+s(021)E_2\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}.

Bestimmung des Abstandes mit einer Hilfsgeraden

  1. Hilfsgerade bestimmen: h:  x=(142)+r(236)h:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}

  2. Schnittpunkt SS bestimmen: (236)[(142)+r(236)(012)]=0\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0 (236)[(12r3+3r6r)]=0\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}1-2r\\3+3r\\6r\end{pmatrix}\right]=0 (Berechne das Skalarprodukt)

        (2)(12r)+3(3+3r)+66r=0\Rightarrow\;\;(-2)\cdot(1-2r)+3\cdot(3+3r)+6\cdot6r=0

        49r+7=0\Rightarrow\;\;49\cdot r +7=0

        r=17\Rightarrow\;\; r=-\frac17   S=(142)+(17)(236)=(9725787)\Rightarrow\;\vec S=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\left(-\frac17\right)\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac97\\\frac{25}7\\\frac87\end{pmatrix}

  3. Abstand von S und A berechnen: SA=(9725787)(142)=(273767)\vec S-\vec A=\begin{pmatrix}\frac97\\[1ex]\frac{25}7\\[1ex]\frac87\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac27\\[1ex]-\frac37\\[1ex]-\frac{6}7\end{pmatrix}

    d=(SA)2=174+9+36=1d=\sqrt{\left(\vec S-\vec A\right)^2}=\frac{1}7 \sqrt{4+9+36} =1

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