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Abstand zweier Ebenen bestimmen

Wenn zwei Ebenen identisch sind, oder eine Schnittgerade haben (sich schneiden), ist der Abstand zwischen den Ebenen 0.

Der einzige Fall, bei dem der Abstand nicht Null und somit sinnvoll ist, ist, wenn die beiden Ebenen echt parallel sind. In diesem Fall haben sie überall den gleichen Abstand.

Allgemeine Berechnung

Im Folgenden werden zwei verschiedene Wege zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Ebenen vorgestellt. Beide Methoden sind nur sinnvoll, wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel sind. Es muss also erst die Lagebeziehung der beiden Ebenen geprüft werden.

Berechnung mit der Hesse-Normalform

Gegeben sind zwei parallele Ebenen E1 und E2 in Parameter- bzw. Koordinatenform.

  1. Hesse-Normalform von einer der Ebenen bestimmen (z. B. von E1).

  2. Einen beliebigen Punkt auf E2 wählen.

  3. Punkt in die Hesse-Normalform von E1 einsetzen und so den Abstand des Punktes zu E1 berechnen.

Der so berechnete Abstand entspricht dem Abstand der beiden Ebenen, da bei parallelen Ebenen jeder Punkt auf der einen Ebene den gleichen Abstand zur anderen Ebene hat.

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Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen E1: 2x1x22x3=6 und E2:x1+0,5x2+x3=6 in Koordinatenform.

Bestimmung des Abstandes mit der Hesse-Normalform

  1. Hesse-Normalform bestimmen: n=(212), |n|=22+(1)2+(2)2=9=3 HNF E1:2x1x22x363=0

  2. Punkt auf E2 wählen: P=(006)

  3. Punkt in Hesse-Normalform einsetzen: d(E1,E2)=|2002663|=|6|=6

Berechnung mit einer Hilfsgerade

Gegeben sind die zwei parallele Ebenen

E: n[xa1]=0 und F: x=a2+ru+sv.

Es muss also eine Ebene in Normalenform gegeben sein, oder in diese umgeformt werden.

  1. Hilfsgerade h bestimmen, die durch den Punkt A2 (Stützpunkt von F) und senkrecht zur Ebene E liegt.  h:x=a2+rn

  2. Schnittpunkt S der Hilfsgeraden h mit der Ebene E bestimmen.

  3. Abstand von S und A2 berechnen.

Auch hier entspricht dieser Abstand dem Abstand der beiden Ebenen.

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Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen E1:(236)[x(012)]=0 und E2:x=(142)+r(320)+s(021).

Bestimmung des Abstandes mit einer Hilfsgeraden

  1. Hilfsgerade bestimmen: h:x=(142)+r(236)

  2. Schnittpunkt S bestimmen: (236)[(142)+r(236)(012)]=0 (236)[(12r3+3r6r)]=0 (Berechne das Skalarprodukt)

    (2)(12r)+3(3+3r)+66r=0

    49r+7=0

    r=17 S=(142)+(17)(236)=(9725787)

  3. Abstand von S und A berechnen: SA=(9725787)(142)=(273767)

    d=(SA)2=174+9+36=1

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