Lagebeziehung zwischen Kugeln und Ebenen

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel ist gegeben durch ihren Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ und den Radius $r$. Die Ebene $E$ liegt in der Koordinatenform vor.

Die Ermittlung der Lage von Ebene zu Kugel erfolgt über die Berechnung des Abstandes des Kugelmittelpunktes $M$ von der Ebene $E$. Stelle dazu die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

Setze die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ein:

Nun sind drei Fälle möglich:

• $d(M,E)>r$; die Ebene schneidet die Kugel nicht

• $d(M,E)=r$; die Ebene ist eine Tangentialebene

• $d(M,E)<r$; die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis

Wenn du bei deiner Rechnung festgestellt hast, dass $d(M,E)>r$ ist, dann gibt es nichts weiter zu rechnen. Die Ebene schneidet die Kugel nicht.

Ist dagegen $d(M,E)=r$, so kannst du noch den Berührpunkt zwischen der Ebene und der Kugel berechnen. (Beispiel $1$)

Ist dagegen $d(M,E)<r$, so kannst du die Koordinaten des Schnittkreismittelpunktes $M'$ und den Schnittkreisradius $r'$ berechnen. (Beispiel $2$)

Beispiel 1

Zeige, dass die Ebene $E:\; -2x_1+2x_2-x_3=26$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M(2|2|1)$ und dem Radius $r=9$ ist. Berechne auch den Berührpunkt $B$.

Lösung:

Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

Berechne den Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$, indem du die Koordinaten von $M$ in die Hessesche Normalenform einsetzt.

Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ ist $d=9$. Der Kugelradius ist $r=9$. Da $d=r$ ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.

Berechnung des Berührpunktes

Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade $g_{Lot}$ mit der Ebene $E$ schneidest.

Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du $t=3$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

$\vec X_B=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} -2 \\2 \\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-6\\2+6\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\8\\-2\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B(-4|8|-2)$.

Beispiel 2

Zeige, dass die Ebene $E:\; x_1+2x_2+2x_3=2$ die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M(3|0|1)$ und dem Radius $r=5$ schneidet. Berechne auch den Schnittkreismittelpunkt $M'$ und den Schnittkreisradius $r'$.

Lösung:

Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ auf.

Berechne den Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$, indem du die Koordinaten von $M$ in die Hessesche Normalenform einsetzt.

Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ ist $d=1$. Der Kugelradius ist $r=5$. Da $d<r$ ist, wird die Kugel in einem Kreis geschnitten.

Berechnung des Schnittkreismittelpunktes $M'$

Berechne die Gleichung der Lotgeraden $g_{Lot}$ durch den Mittelpunkt auf die Ebene $E$. Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$.

$g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\2 \\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{ 3+t} \\\textcolor{ff6600}{ 2t} \\\textcolor{660099}{1+2t} \end{pmatrix}$

Schneide die Lotgerade mit der Ebene: $g_{Lot}\cap E$

Zur Berechnung des Schnittpunktes $M'$ setzt du $t=-\dfrac{1}{3}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

$\vec X_{M'}=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}-\dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\2 \\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-\dfrac{1}{3}\\[2ex]0-\dfrac{2}{3}\\[2ex]1-\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{8}{3}\\[2ex]-\dfrac{2}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises hat die Koordinaten:

$M'\left(\dfrac{8}{3}\Big\vert-\dfrac{2}{3}\Big\vert\dfrac{1}{3}\right)$.

Berechnung des Schnittkreisradius $r'$

Den Schnittkreisradius $r'$ kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen (siehe obige Abbildung). Der Abstand der Ebene $E$ vom Mittelpunkt $M$ ist $d=1$ (wurde am Anfang berechnet) und der Kugelradius ist $r=5$.

Antwort: Der Radius $r'$ des Schnittkreises beträgt $\sqrt{24}\approx 4{,}9\; \text{LE}$.