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Lagebeziehung zwischen Kugeln und Ebenen

Es wird die Lage einer Ebene E bezüglich einer Kugel K untersucht.

Dabei treten drei Fälle auf:

  • die Ebene schneidet die Kugel nicht (oberes Bild)

  • die Ebene berührt die Kugel in genau einem Punkt, die Ebene ist eine Tangentialebene (mittleres Bild)

  • die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis (unteres Bild)

Schnitt einer Kugel mit einer Ebene, 3 Varianten

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M(m1|m2|m3) und den Radius r. Die Ebene E liegt in der Koordinatenform vor.

E:ax1+bx2+cx3=d

Die Ermittlung der Lage von Ebene zu Kugel erfolgt über die Berechnung des Abstandes des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E. Stelle dazu die Hessesche Normalenform der Ebene E auf.

EHNF:ax1+bx2+cx3da2+b2+c2=0

Setze die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ein:

d(M,E)=|am1+bm2+cm3da2+b2+c2|

Nun sind drei Fälle möglich:

  • d(M,E)>r; die Ebene schneidet die Kugel nicht

  • d(M,E)=r; die Ebene ist eine Tangentialebene

  • d(M,E)<r; die Ebene schneidet die Kugel in einem Kreis

Wenn du bei deiner Rechnung festgestellt hast, dass d(M,E)>r ist, dann gibt es nichts weiter zu rechnen. Die Ebene schneidet die Kugel nicht.

Ist dagegen d(M,E)=r, so kannst du noch den Berührpunkt zwischen der Ebene und der Kugel berechnen. (Beispiel 1)

Ist dagegen d(M,E)<r, so kannst du die Koordinaten des Schnittkreismittelpunktes M und den Schnittkreisradius r berechnen. (Beispiel 2)

Beispiel 1

Zeige, dass die Ebene E:2x1+2x2x3=26 eine Tangentialebene an die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(2|2|1) und dem Radius r=9 ist. Berechne auch den Berührpunkt B.

Lösung:

Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene E auf.

EHNF:2x1+2x2x326(2)2+22+12=0

Berechne die Wurzel.

EHNF:2x1+2x2x3263=0

Berechne den Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene E, indem du die Koordinaten von M in die Hessesche Normalenform einsetzt.

d(M,E)=|22+2211263|

vereinfache

=|273|

Berechne den Betrag

=9

Der Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene E ist d=9. Der Kugelradius ist r=9. Da d=r ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.

Berechnung des Berührpunktes

Stelle die Gleichung der Lotgeraden gLot durch den Mittelpunkt auf die Ebene E auf.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene E.

gLot:X=(221)+t(221)

oder

gLot:X=(x1x2x3)=(22t2+2t1t)

Kugel mit Ebene und Lotgerade

Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade gLot mit der Ebene E schneidest.

gLotE

E:2x1+2x2x3=26

Setze x1=22t, x2=2+2t, x3=1t in E ein.

2(22t)+2(2+2t)1(1t)=26

Löse die Klammern auf.

4+4t+4+4t1+t=26

Vereinfache die linke Seite.

9t1=26+1

Löse nach t auf.

9t=27:9
t=3

Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du t=3 in die Gleichung der Lotgeraden ein.

XB=(221)+3(221)=(262+613)=(482)

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(4|8|2).

Beispiel 2

Zeige, dass die Ebene E:x1+2x2+2x3=2 die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3|0|1) und dem Radius r=5 schneidet. Berechne auch den Schnittkreismittelpunkt M und den Schnittkreisradius r.

Lösung:

Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene E auf.

EHNF:x1+2x2+2x3212+22+22=0

Berechne die Wurzel.

EHNF:x1+2x2+2x323=0

Berechne den Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene E, indem du die Koordinaten von M in die Hessesche Normalenform einsetzt.

d(M,E)=|13+20+2123|

vereinfache

=|33|

Berechne den Betrag

=1

Der Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene E ist d=1. Der Kugelradius ist r=5. Da d<r ist, wird die Kugel in einem Kreis geschnitten.

Berechnung des Schnittkreismittelpunktes M

Den Mittelpunkt M des Schnittkreises berechnest du, indem du die Lotgerade von M auf die Ebene E mit der Ebene E schneidest.

Schnittkreisradius

Berechne die Gleichung der Lotgeraden gLot durch den Mittelpunkt auf die Ebene E. Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene E.

gLot:X=(301)+t(122)=(3+t2t1+2t)

Schneide die Lotgerade mit der Ebene: gLotE

E:x1+2x2+2x3=2

Setze g in E ein.

1(3+t)+2(2t)+2(1+2t)=2

Löse die Klammern auf.

3+t+4t+2+4t=2

Vereinfache die linke Seite.

9t+5=25

Löse nach t auf.

9t=3:9
t=39

Kürze den Bruch.

t=13

Zur Berechnung des Schnittpunktes M setzt du t=13 in die Gleichung der Lotgeraden ein.

XM=(301)13(122)=(313023123)=(832313)

Antwort: Der Mittelpunkt M des Schnittkreises hat die Koordinaten:

M(83|23|13).

Berechnung des Schnittkreisradius r

Den Schnittkreisradius r kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen (siehe obige Abbildung). Der Abstand der Ebene E vom Mittelpunkt M ist d=1 (wurde am Anfang berechnet) und der Kugelradius ist r=5.

r2=d2+r2

Nach r auflösen.

r=r2d2

Setze r=5 und d=1 ein.

=5212

vereinfache

=24
4,9

Antwort: Der Radius r des Schnittkreises beträgt 244,9LE.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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