Tangentialebene an eine Kugel

Eine Tangentialebene ist eine Ebene, die eine Kugel in einem Punkt "berührt". Die Kugel und die Tangentialebene haben genau diesen Punkt gemeinsam. Der gemeinsame Punkt heißt Berührpunkt und wird hier mit BB bezeichnet. ETE_T ist die Bezeichnung für die Tangentialebene.

Der Vektor MB\overrightarrow{MB} vom Mittelpunkt der Kugel MM zum Berührpunkt BB ist der Normalenvektor der Tangentialebene ETE_T, d.h. er steht senkrecht auf ihr.

Der Vektor BX\overrightarrow{BX} zeigt vom Berührpunkt BB zu einem beliebigen Punkt XX in der Ebene ETE_T.

Der Vektor BX\overrightarrow{BX} steht senkrecht auf dem Vektor MB\overrightarrow{MB}, d.h. MXMB=0\overrightarrow{MX}\circ \overrightarrow{MB}=0.

Schreibt man die beiden Verbindungsvektoren als Differenz, so erhält man für die Tangentialebene ETE_T die Gleichung ET: (xb)(bm)=0E_T:\ \left(\vec{x}-\vec{b}\right)\circ\left(\vec{b}-\vec{m}\right)=0

Die Gleichung einer Tangentialebene ETE_T an eine Kugel KK mit dem Mittelpunkt MM, dem Radius rr und einem Punkt BB auf der Kugel lautet:

Musterbeispiel

Gegeben sind von einer Kugel KK der Kugelmittelpunkt M(122)\textcolor{ff6600}{ M(1|2|2)} und der Kugelradius r=6r=6. Wie lautet die Gleichung einer Tangentialebene ETE_T in Koordinatenform, die die Kugel im Punkt B(366)\textcolor{660099}{B(3|6|6)} berührt?

Lösung:

Setze in die Tangentialebenengleichung für den Vektor b\vec b die Koordinaten des Berührpunktes BB und für m\vec m die Koordinaten des Mittelpunktes MM ein. Der Vektor x \vec x bleibt dabei als Variable erhalten. (Der Kugelradius spielt bei der Lösung dieser Aufgabe keine Rolle!)

ET: (xb)(bm)\displaystyle E_T:\ \left(\vec{x}-\vec{\textcolor{660099}{b}}\right)\circ\left(\vec{\textcolor{660099}{b}}-\vec{\textcolor{ff6600}{m}}\right)==0\displaystyle 0

Setze B\textcolor{660099}{B} und M\textcolor{ff6600}{M} ein.

(x(366))((366)(122))\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}}\right)\circ \left(\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}\right)==0\displaystyle 0

Vereinfache.

(x(366))(244)\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.

((x1x2x3)(366))(244)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Fasse zusammen.

(x13x26x36)(244)\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-3\\x_2-6\\x_3-6\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.

(x13)2+(x26)4+(x36)4\displaystyle (x_1-3)\cdot2+(x_2-6)\cdot4+(x_3-6)\cdot4==0\displaystyle 0

Löse die Klammern auf.

2x16+4x224+4x324\displaystyle 2x_1-6+4x_2-24+4x_3-24==0\displaystyle 0

Vereinfache.

2x1+4x2+4x354\displaystyle 2x_1+4x_2+4x_3-54==0\displaystyle 0:2\displaystyle :2

Vereinfache.

x1+2x2+2x327\displaystyle x_1+2x_2+2x_3-27==0\displaystyle 0

Antwort: Die Gleichung der Tangentialebene lautet

ET: x1+2x2+2x3=27E_T:\ x_1+2x_2+2x_3=27.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreisen und Kugeln


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