Lagebeziehungen zwischen Kugeln und Punkten

Es wird die Lage eines Punktes bezüglich einer Kugel $K$ untersucht.

Dabei treten drei Fälle auf:

der Punkt liegt innerhalb von $K$
der Punkt liegt auf $K$
der Punkt liegt außerhalb von $K$

In der Abbildung liegt der Punkt $Q$ innerhalb der Kugel, der Punkt $P$ auf der Kugel und der Punkt $R$ außerhalb der Kugel.

Allgemeines Vorgehen

Gegeben sind eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $\textcolor{ff6600}{M(m_1|m_2|m_3)}$ , dem Radius $\textcolor{006400}{r}$ und ein Punkt $\textcolor{660099}{A(a_1|a_2|a_3)}$ . Welche Lage hat der Punkt $A$ bezüglich der Kugel $K$ ?

Stelle die Kugelgleichung auf.
	↓
$\displaystyle K:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2$
	↓	Setze die Punktkoordinaten von $\textcolor{660099}{A}$ für den Vektor $\vec x$ in $K$ ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.
$\displaystyle \left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2$
	↓	Vereinfache die linke Seite.
$\displaystyle \begin{pmatrix}a_1-m_1\\a_2-m_2\\a_3-m_3\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (a_1-m_1) ^2+(a_1-m_1) ^2+(a_1-m_1) ^2$	$=$	$\displaystyle r^2$

Nun sind drei Fälle möglich:

die linke Seite der Gleichung ist $< r^2\;\;\Rightarrow$ der Punkt liegt innerhalb von $K$
die linke Seite der Gleichung ist $= r^2\;\;\Rightarrow$ der Punkt liegt auf $K$
die linke Seite der Gleichung ist $> r^2\;\;\Rightarrow$ der Punkt liegt außerhalb von $K$

BeispielPunkt innerhalb einer Kugel

Gegeben ist eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $\textcolor{ff6600}{ M(3|1|5) }$ und dem Radius $\textcolor{006400}{r=4}$ . Untersuche die Lage des Punktes $\textcolor{660099}{ A(3|4|5)}$ bezüglich der Kugel $K$ .

Lösung:

Stelle die Kugelgleichung auf:

$K:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}}\right)^2=\textcolor{006400}{4}^2=16$

Setze die Punktkoordinaten von $\textcolor{660099}{A}$ für den Vektor $\vec x$ in $K$ ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.

$\displaystyle \left(\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Vereinfache die linke Seite.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 0+3 ^2+0$	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle 9$	$<$	$\displaystyle 16$

Antwort: Der Punkt $A$ erfüllt die Kugelgleichung nicht. Da $9<16$ ist, liegt der Punkt $A$ innerhalb der Kugel $K$ .

Übungsaufgaben

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