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Lagebeziehungen zwischen Kugeln und Punkten

Kugel mit 3 Punkten

Es wird die Lage eines Punktes bezüglich einer Kugel KK untersucht.

Dabei treten drei Fälle auf:

  • der Punkt liegt innerhalb von KK

  • der Punkt liegt auf KK

  • der Punkt liegt außerhalb von KK

In der Abbildung liegt der Punkt QQ innerhalb der Kugel, der Punkt PP auf der Kugel und der Punkt RR außerhalb der Kugel.

Allgemeines Vorgehen

Gegeben sind eine Kugel KK mit dem Mittelpunkt M(m1m2m3)\textcolor{ff6600}{M(m_1|m_2|m_3)}, dem Radius r\textcolor{006400}{r} und ein Punkt A(a1a2a3)\textcolor{660099}{A(a_1|a_2|a_3)}. Welche Lage hat der Punkt AA bezüglich der Kugel KK?

Stelle die Kugelgleichung auf.

K:   (x(m1m2m3))2\displaystyle K:\    \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2==r2\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2

Setze die Punktkoordinaten von A\textcolor{660099}{A} für den Vektor x\vec x in KK ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.

((a1a2a3)(m1m2m3))2\displaystyle \left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2==r2\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2

Vereinfache die linke Seite.

(a1m1a2m2a3m3)2\displaystyle \begin{pmatrix}a_1-m_1\\a_2-m_2\\a_3-m_3\end{pmatrix}^2==r2\displaystyle r^2

Berechne das Skalarprodukt.

(a1m1)2+(a1m1)2+(a1m1)2\displaystyle (a_1-m_1) ^2+(a_1-m_1) ^2+(a_1-m_1) ^2==r2\displaystyle r^2

Nun sind drei Fälle möglich:

  • die linke Seite der Gleichung ist <r2    < r^2\;\;\Rightarrow der Punkt liegt innerhalb von KK

  • die linke Seite der Gleichung ist =r2    = r^2\;\;\Rightarrow der Punkt liegt auf KK

  • die linke Seite der Gleichung ist >r2    > r^2\;\;\Rightarrow der Punkt liegt außerhalb von KK

BeispielPunkt innerhalb einer Kugel

Gegeben ist eine Kugel KK mit dem Mittelpunkt M(315)\textcolor{ff6600}{ M(3|1|5) } und dem Radius r=4 \textcolor{006400}{r=4}. Untersuche die Lage des Punktes A(345)\textcolor{660099}{ A(3|4|5)} bezüglich der Kugel KK.

Lösung:

Stelle die Kugelgleichung auf:
K:   (x(315))2=42=16K:\    \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}}\right)^2=\textcolor{006400}{4}^2=16
Setze die Punktkoordinaten von A\textcolor{660099}{A} für den Vektor x\vec x in KK ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt ist.
((345)(315))2\displaystyle \left(\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}}\right)^2==16\displaystyle 16

Vereinfache die linke Seite.

(030)2\displaystyle \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}^2==16\displaystyle 16

Berechne das Skalarprodukt.

0+32+0\displaystyle 0+3 ^2+0==16\displaystyle 16
9\displaystyle 9<<16\displaystyle 16

Antwort: Der Punkt AA erfüllt die Kugelgleichung nicht. Da 9<169<16 ist, liegt der Punkt AA innerhalb der Kugel KK.

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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