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Zwei sich schneidende Kugeln

Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die Kugeln in einem Schnittkreis mit dem Mittelpunkt M′M' und dem Radius r′r'.

Der Schnittkreis liegt in der Ebene ESE_{S}.

Schnittbedingung:

∣r1−r2∣<d(M1,M2)<r1+r2|r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2

Gesucht sind die Gleichung der Schnittebene ESE_S, M′M' und r′r' .

Zwei sich schneidende Kugeln

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel K1K_1​ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1M_1​ und den Radius r1r_1​.

Die Kugel K2​K_2​ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2M_2​ und den Radius r2r_2​.

Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt über die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte M1M_1​ und M2M_2​.

Berechne den Vektor M1M2→\overrightarrow{M_1M_2} und dann seinen Betrag.

d(M1M2)=∣M1M2→∣d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert

Vergleiche d(M1M2)d(M_1M_2) mit dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien und der Summe der beiden Kugelradien.

Wenn die Bedingung ∣r1−r2∣<d(M1,M2)<r1+r2|r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2 erfüllt ist, dann schneiden sich die beiden Kugeln in einem Schnittkreis.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle von beiden Kugeln die Vektorgleichung in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Koordinatengleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene ESE_S.

Berechnung des Mittelpunkt M′M'

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden gLotg_{Lot} durch den Mittelpunkt M1M_1 auf die Ebene ESE_S.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1M_1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ESE_S:

gLot:  X⃗=OM1→+t⋅n⃗Eg_{Lot}:\;\vec X=\overrightarrow{OM_1}+t\cdot\vec n_E

Berechne den Mittelpunkt M′M', indem du die Lotgerade gLotg_{Lot} mit der Ebene ESE_S schneidest.

Zwei Kugeln mit Schnittebene

Berechnung des Schnittkreisradius r′r'

(In der Abbildung ist nur die Kugel K1K_1 dargestellt.)

Den Schnittkreisradius r′r' kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand dd der Ebene ESE_S vom Mittelpunkt M1M_1 ist der Betrag des Vektors M1M′→\overrightarrow{M_1M'} und der Kugelradius von K1K_1 ist rr.

Es gilt dann: r′=r2−d2r'=\sqrt{r^2-d^2}

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Beispiel

Gegeben sind die Kugeln K1:(x⃗−(400))2=9K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2=9 und K2:(x⃗−(−13−2))2=16K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2=16

Zeige, dass die beiden Kugeln sich schneiden und gib die Gleichung der Schnittebene ESE_S, den Mittelpunkt M′M' des Schnittkreises und den Schnittkreisradius r′r' an.

Lagebeziehung der beiden Kugeln

Gegeben sind die beiden Kugelradien: r1=9=3r_1=\sqrt{9}=3 und r2=16=4r_2=\sqrt{16}=4

Berechne:

  1. ∣r1−r2∣=∣3−4∣=∣−1∣=1|r_1-r_2|=|3-4|=|-1|=1

  2. d(M1M2)=∣M1M2→∣d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert

  3. r1+r2=3+4=7r_1+r_2=3+4=7

Zu 2. Berechne den Vektor M1M2→=(−13−2)−(400)=(−53−2)​\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\3 \\ -2 \end{pmatrix}​

Berechne d(M1M2)=∣M1M2→∣=(−5)2+32+(−2)2=38≈6,d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{(-5)^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{38}\approx6{,}2

Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:

∣r1−r2∣<d(M1M2)<r1+r2    ⇒    1<6,2<7|r_1-r_2|<d(M_1M_2)<r_1+r_2\;\;\Rightarrow\;\;1<6{,}2<7

Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle die Kugelgleichung K1K_1 in eine Koordinatengleichung um:

K1:(x⃗−(400))2\displaystyle K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2==9\displaystyle 9
((x1x2x3)−(400))2\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2==9\displaystyle 9
(x1−4x2x3)2\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-4\\x_2\\x_3\end{pmatrix}^2==9\displaystyle 9
↓

Rechne das Skalarprodukt aus.

(x1−4)2+x22+x32\displaystyle (x_1-4)^2+x_2^2+x_3^2==9\displaystyle 9
↓

Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

x12−8x1+16+x22+x32\displaystyle x_1^2-8x_1+16+x_2^2+x_3^2==9\displaystyle 9−16\displaystyle -16
↓

Vereinfache

x12+x22+x32−8x1\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1==−7\displaystyle -7

Die Kugel K1K_1 hat die Koordinatengleichung: x12+x22+x32−8x1=−7x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1=-7

Wandle die Kugelgleichung K2K_2 in eine Koordinatengleichung um:

K2:(x⃗−(−13−2))2\displaystyle K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2==16\displaystyle 16
((x1x2x3)−(−13−2))2\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2==16\displaystyle 16
(x1+1x2−3x3+2)2\displaystyle \begin{pmatrix}x_1+1\\x_2-3\\x_3+2\end{pmatrix}^2==16\displaystyle 16
↓

Rechne das Skalarprodukt aus.

(x1+1)2+(x2−3)2+(x3+2)2\displaystyle (x_1+1)^2+(x_2-3)^2+(x_3+2)^2==16\displaystyle 16
↓

Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

x12+2x1+1+x22−6x2+9+x32+4x3+4\displaystyle x_1^2+2x_1+1+x_2^2-6x_2+9+x_3^2+4x_3+4==16\displaystyle 16
↓

Fasse zusammen.

x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3+14\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3+14==16\displaystyle 16−14\displaystyle -14
↓

Vereinfache

x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3==2\displaystyle 2

Die Kugel K2K_2 hat die Koordinatengleichung: x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3=2

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Die Kugel 11 ist Gleichung (I)\mathrm{(I)} und die Kugel 22 ist Gleichung (II)\mathrm{(II)}. Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.

Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.

(I):x12+x22+x32−8x1+0x2+0x3=−7−(II):x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3=       2                                  0      +        0      +        0        −  10x1      +      6x2    −      4x3        =    −9‾\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &-&8x_1&+&0x_2&+&0x_3& = & -7 & \\-\mathrm{(II)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &+&2x_1&-&6x_2&+&4x_3& = &\ \;\;\;2 &\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;\;-\;10x_1\;\;\;+\;\;\;6x_2\;\;-\;\;\;4x_3\;\;\;\;=\;\;-9}

Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet ES:  −10x1+6x2−4x3=−9 E_S:\; -10x_1+6x_2-4x_3=-9.

Berechnung des Mittelpunkt M′M'

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden gLotg_{Lot} durch den Mittelpunkt M1M_1 auf die Ebene ESE_S.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1M_1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ESE_S:

n⃗E=(−106−4)\vec n_E=\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix}

Zwei Kugeln mit Schnittebene

gLot:  X⃗=(400)+t⋅(−106−4)g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix}oder

gLot:  X⃗=(x1x2x3)=(4−10t6t−4t)g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix} \textcolor{006400}{x_1}\\\textcolor{ff6600}{x_2}\\\textcolor{660099}{x_3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \textcolor{006400}{4-10t}\\\textcolor{ff6600}{6t}\\\textcolor{660099}{-4t}\end{pmatrix}

Berechne den Mittelpunkt M′M', indem du die Lotgerade gLotg_{Lot} mit der Ebene ESE_S schneidest:

E:  −10x1+6x2−4x3\displaystyle E:\; -10\textcolor{006400}{x_1}+6\textcolor{ff6600}{x_2}-4\textcolor{660099}{x_3}==−9\displaystyle -9
↓

Setze 4−10t\textcolor{006400}{4-10t} , 6t\textcolor{ff6600}{6t} und −4t\textcolor{660099}{-4t} ein.

−10⋅(4−10t)+6⋅6t−4⋅(−4t)\displaystyle -10\cdot\textcolor{006400}{(4-10t)}+6\cdot\textcolor{ff6600}{6t}-4\cdot\textcolor{660099}{(-4t)}==−9\displaystyle -9
↓

Löse die Klammern auf.

−40+100t+36t+16t\displaystyle -40+100t+36t+16t==−9\displaystyle -9
↓

Vereinfache.

152t−40\displaystyle 152t-40==−9\displaystyle -9+40\displaystyle +40
↓

Löse nach tt auf.

152t\displaystyle 152t==31\displaystyle 31
t\displaystyle t==31152\displaystyle \dfrac{31}{152}

Zur Berechnung des Schnittpunktes M′ M' setzt du t=31152t=\dfrac{31}{152} in die Gleichung der Lotgeraden ein.

X⃗M′=(400)+31152⋅(−106−4)=(4−3101520+1861520−124152)=(149769376−6276)\vec X_{M'}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+\dfrac{31}{152}\cdot\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-\dfrac{310}{152}\\[2ex]0+\dfrac{186}{152}\\[2ex]0-\dfrac{124}{152}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{149}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix}

Antwort: Der Mittelpunkt M′M' hat die Koordinaten M′(14976∣9376∣−6276)M'\left(\dfrac{149}{76}\Big\vert\dfrac{93}{76}\Big\vert-\dfrac{62}{76}\right).

Berechnung des Schnittkreisradius r′r'

Den Schnittkreisradius r′r' kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand dd der Ebene ESE_S vom Mittelpunkt M1M_1 ist der Betrag des Vektors M1M′→\overrightarrow{M_1M'} und der Kugelradius von K1K_1 ist r=3r=3. Es gilt: r′=r2−d2r'=\sqrt{r^2-d^2}

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Berechne zuerst den Vektor M1M′→\overrightarrow{M_1M'} und dann dessen Betrag.

M1M′→=(149769376−6276)−(400)=(−155769376−6276)\overrightarrow{M_1M'}=\begin{pmatrix}\dfrac{149}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\[2ex]0\\[2ex]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{155}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix}

d=∣M1M′→∣=(−15576)2+(9376)2+(−6276)2=961152≈2,51d=\Big\vert\overrightarrow{M_1M'}\Big\vert=\sqrt{\left(-\dfrac{155}{76}\right)^2+\left(\dfrac{93}{76}\right)^2+\left(-\dfrac{62}{76}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{961}{152}}\approx2{,}51

r′\displaystyle r'==r2−d2\displaystyle \sqrt{r^2-d^2}
↓

Setze r=3r=3 und d=961152d=\sqrt{\dfrac{961}{152}} ein.

==32−(961152)2\displaystyle \sqrt{3^2-\left(\sqrt{\dfrac{961}{152}}\right)^2}
↓

Vereinfache.

==9−961152\displaystyle \sqrt{9-\dfrac{961}{152}}
↓

Vereinfache.

==407152\displaystyle \sqrt{\dfrac{407}{152}}
≈≈1,64\displaystyle 1{,}64

Antwort: Der Radius r′r' des Schnittkreises beträgt 407152≈1,64  LE\sqrt{\dfrac{407}{152}}\approx 1{,}64\; \text{LE}.

Übungsaufgaben: Zwei sich schneidende Kugeln

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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