Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die Kugeln in einem Schnittkreis mit dem Mittelpunkt M ′ M' M ′ r ′ r' r ′
Der Schnittkreis liegt in der Ebene E S E_{S} E S
Schnittbedingung:
∣ r 1 − r 2 ∣ < d ( M 1 , M 2 ) < r 1 + r 2 |r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2 ∣ r 1 − r 2 ∣ < d ( M 1 , M 2 ) < r 1 + r 2
Gesucht sind die Gleichung der Schnittebene E S E_S E S M ′ M' M ′ r ′ r' r ′
Allgemeines Vorgehen Die Kugel K 1 K_1 K 1 M 1 M_1 M 1 r 1 r_1 r 1
Die Kugel K 2 K_2 K 2 M 2 M_2 M 2 r 2 r_2 r 2
Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt über die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2
Berechne den Vektor M 1 M 2 → \overrightarrow{M_1M_2} M 1 M 2
d ( M 1 M 2 ) = ∣ M 1 M 2 → ∣ d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert d ( M 1 M 2 ) = M 1 M 2
Vergleiche d ( M 1 M 2 ) d(M_1M_2) d ( M 1 M 2 )
Wenn die Bedingung ∣ r 1 − r 2 ∣ < d ( M 1 , M 2 ) < r 1 + r 2 |r_1-r_2|<d(M_1,M_2)<r_1+r_2 ∣ r 1 − r 2 ∣ < d ( M 1 , M 2 ) < r 1 + r 2
Berechnung der Schnittkreisebene Wandle von beiden Kugeln die Vektorgleichung in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Koordinatengleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene E S E_S E S
Berechnung des Mittelpunkt M ′ M' M ′ Erstelle die Gleichung der Lotgeraden g L o t g_{Lot} g L o t M 1 M_1 M 1 E S E_S E S
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M 1 M_1 M 1 Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene E S E_S E S
g L o t : X ⃗ = O M 1 → + t ⋅ n ⃗ E g_{Lot}:\;\vec X=\overrightarrow{OM_1}+t\cdot\vec n_E g L o t : X = O M 1 + t ⋅ n E
Berechne den Mittelpunkt M ′ M' M ′ g L o t g_{Lot} g L o t E S E_S E S
Berechnung des Schnittkreisradius r ′ r' r ′ (In der Abbildung ist nur die Kugel K 1 K_1 K 1
Den Schnittkreisradius r ′ r' r ′ Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand d d d E S E_S E S M 1 M_1 M 1 Betrag des Vektors M 1 M ′ → \overrightarrow{M_1M'} M 1 M ′ K 1 K_1 K 1 r r r
Es gilt dann: r ′ = r 2 − d 2 r'=\sqrt{r^2-d^2} r ′ = r 2 − d 2
Beispiel Gegeben sind die Kugeln K 1 : ( x ⃗ − ( 4 0 0 ) ) 2 = 9 K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2=9 K 1 : x − 4 0 0 2 = 9 K 2 : ( x ⃗ − ( − 1 3 − 2 ) ) 2 = 16 K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2=16 K 2 : x − − 1 3 − 2 2 = 16
Zeige, dass die beiden Kugeln sich schneiden und gib die Gleichung der Schnittebene E S E_S E S M ′ M' M ′ r ′ r' r ′
Lagebeziehung der beiden Kugeln Gegeben sind die beiden Kugelradien: r 1 = 9 = 3 r_1=\sqrt{9}=3 r 1 = 9 = 3 r 2 = 16 = 4 r_2=\sqrt{16}=4 r 2 = 16 = 4
Berechne:
∣ r 1 − r 2 ∣ = ∣ 3 − 4 ∣ = ∣ − 1 ∣ = 1 |r_1-r_2|=|3-4|=|-1|=1 ∣ r 1 − r 2 ∣ = ∣3 − 4∣ = ∣ − 1∣ = 1
d ( M 1 M 2 ) = ∣ M 1 M 2 → ∣ d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert d ( M 1 M 2 ) = M 1 M 2
r 1 + r 2 = 3 + 4 = 7 r_1+r_2=3+4=7 r 1 + r 2 = 3 + 4 = 7
Zu 2. Berechne den Vektor M 1 M 2 → = ( − 1 3 − 2 ) − ( 4 0 0 ) = ( − 5 3 − 2 ) \overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\3 \\ -2 \end{pmatrix} M 1 M 2 = − 1 3 − 2 − 4 0 0 = − 5 3 − 2
Berechne d ( M 1 M 2 ) = ∣ M 1 M 2 → ∣ = ( − 5 ) 2 + 3 2 + ( − 2 ) 2 = 38 ≈ 6 , d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{(-5)^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{38}\approx6{,} d ( M 1 M 2 ) = M 1 M 2 = ( − 5 ) 2 + 3 2 + ( − 2 ) 2 = 38 ≈ 6 ,
Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:
∣ r 1 − r 2 ∣ < d ( M 1 M 2 ) < r 1 + r 2 ⇒ 1 < 6 , 2 < 7 |r_1-r_2|<d(M_1M_2)<r_1+r_2\;\;\Rightarrow\;\;1<6{,}2<7 ∣ r 1 − r 2 ∣ < d ( M 1 M 2 ) < r 1 + r 2 ⇒ 1 < 6 , 2 < 7
Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.
Berechnung der Schnittkreisebene Wandle die Kugelgleichung K 1 K_1 K 1
K 1 : ( x ⃗ − ( 4 0 0 ) ) 2 \displaystyle K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2 K 1 : x − 4 0 0 2 = = = 9 \displaystyle 9 9 ( ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 4 0 0 ) ) 2 \displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)^2 x 1 x 2 x 3 − 4 0 0 2 = = = 9 \displaystyle 9 9 ( x 1 − 4 x 2 x 3 ) 2 \displaystyle \begin{pmatrix}x_1-4\\x_2\\x_3\end{pmatrix}^2 x 1 − 4 x 2 x 3 2 = = = 9 \displaystyle 9 9 ↓
Rechne das Skalarprodukt aus.
( x 1 − 4 ) 2 + x 2 2 + x 3 2 \displaystyle (x_1-4)^2+x_2^2+x_3^2 ( x 1 − 4 ) 2 + x 2 2 + x 3 2 = = = 9 \displaystyle 9 9 ↓
Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
x 1 2 − 8 x 1 + 16 + x 2 2 + x 3 2 \displaystyle x_1^2-8x_1+16+x_2^2+x_3^2 x 1 2 − 8 x 1 + 16 + x 2 2 + x 3 2 = = = 9 \displaystyle 9 9 − 16 \displaystyle -16 − 16 ↓
Vereinfache
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 8 x 1 \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 8 x 1 = = = − 7 \displaystyle -7 − 7
Die Kugel K 1 K_1 K 1 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 8 x 1 = − 7 x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1=-7 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 8 x 1 = − 7
Wandle die Kugelgleichung K 2 K_2 K 2
K 2 : ( x ⃗ − ( − 1 3 − 2 ) ) 2 \displaystyle K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2 K 2 : x − − 1 3 − 2 2 = = = 16 \displaystyle 16 16 ( ( x 1 x 2 x 3 ) − ( − 1 3 − 2 ) ) 2 \displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\right)^2 x 1 x 2 x 3 − − 1 3 − 2 2 = = = 16 \displaystyle 16 16 ( x 1 + 1 x 2 − 3 x 3 + 2 ) 2 \displaystyle \begin{pmatrix}x_1+1\\x_2-3\\x_3+2\end{pmatrix}^2 x 1 + 1 x 2 − 3 x 3 + 2 2 = = = 16 \displaystyle 16 16 ↓
Rechne das Skalarprodukt aus.
( x 1 + 1 ) 2 + ( x 2 − 3 ) 2 + ( x 3 + 2 ) 2 \displaystyle (x_1+1)^2+(x_2-3)^2+(x_3+2)^2 ( x 1 + 1 ) 2 + ( x 2 − 3 ) 2 + ( x 3 + 2 ) 2 = = = 16 \displaystyle 16 16 ↓
Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
x 1 2 + 2 x 1 + 1 + x 2 2 − 6 x 2 + 9 + x 3 2 + 4 x 3 + 4 \displaystyle x_1^2+2x_1+1+x_2^2-6x_2+9+x_3^2+4x_3+4 x 1 2 + 2 x 1 + 1 + x 2 2 − 6 x 2 + 9 + x 3 2 + 4 x 3 + 4 = = = 16 \displaystyle 16 16 ↓
Fasse zusammen.
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 2 x 1 − 6 x 2 + 4 x 3 + 14 \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3+14 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 2 x 1 − 6 x 2 + 4 x 3 + 14 = = = 16 \displaystyle 16 16 − 14 \displaystyle -14 − 14 ↓
Vereinfache
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 2 x 1 − 6 x 2 + 4 x 3 \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 2 x 1 − 6 x 2 + 4 x 3 = = = 2 \displaystyle 2 2
Die Kugel K 2 K_2 K 2 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 2 x 1 − 6 x 2 + 4 x 3 = 2 x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1-6x_2+4x_3=2 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 2 x 1 − 6 x 2 + 4 x 3 = 2
Schnitt der beiden Kugeln berechnen Die Kugel 1 1 1 ( I ) \mathrm{(I)} ( I ) 2 2 2 ( I I ) \mathrm{(II)} ( II )
Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.
( I ) : x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 8 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = − 7 − ( I I ) : x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 2 x 1 − 6 x 2 + 4 x 3 = 2 0 + 0 + 0 − 10 x 1 + 6 x 2 − 4 x 3 = − 9 ‾ \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &-&8x_1&+&0x_2&+&0x_3& = & -7 & \\-\mathrm{(II)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &+&2x_1&-&6x_2&+&4x_3& = &\ \;\;\;2 &\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;\;-\;10x_1\;\;\;+\;\;\;6x_2\;\;-\;\;\;4x_3\;\;\;\;=\;\;-9}
( I ) : − ( II ) : x 1 2 x 1 2 + + x 2 2 x 2 2 + + x 3 2 x 3 2 − + 8 x 1 2 x 1 + − 0 x 2 6 x 2 + + 0 x 3 4 x 3 = = − 7 2 0 + 0 + 0 − 10 x 1 + 6 x 2 − 4 x 3 = − 9
Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet E S : − 10 x 1 + 6 x 2 − 4 x 3 = − 9 E_S:\; -10x_1+6x_2-4x_3=-9 E S : − 10 x 1 + 6 x 2 − 4 x 3 = − 9
Berechnung des Mittelpunkt M ′ M' M ′ Erstelle die Gleichung der Lotgeraden g L o t g_{Lot} g L o t M 1 M_1 M 1 E S E_S E S
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M 1 M_1 M 1 Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene E S E_S E S
n ⃗ E = ( − 10 6 − 4 ) \vec n_E=\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix} n E = − 10 6 − 4
g L o t : X ⃗ = ( 4 0 0 ) + t ⋅ ( − 10 6 − 4 ) g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix} g L o t : X = 4 0 0 + t ⋅ − 10 6 − 4
g L o t : X ⃗ = ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 4 − 10 t 6 t − 4 t ) g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix} \textcolor{006400}{x_1}\\\textcolor{ff6600}{x_2}\\\textcolor{660099}{x_3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \textcolor{006400}{4-10t}\\\textcolor{ff6600}{6t}\\\textcolor{660099}{-4t}\end{pmatrix} g L o t : X = x 1 x 2 x 3 = 4 − 10 t 6 t − 4 t
Berechne den Mittelpunkt M ′ M' M ′ g L o t g_{Lot} g L o t E S E_S E S
E : − 10 x 1 + 6 x 2 − 4 x 3 \displaystyle E:\; -10\textcolor{006400}{x_1}+6\textcolor{ff6600}{x_2}-4\textcolor{660099}{x_3} E : − 10 x 1 + 6 x 2 − 4 x 3 = = = − 9 \displaystyle -9 − 9 ↓
Setze 4 − 10 t \textcolor{006400}{4-10t} 4 − 10 t 6 t \textcolor{ff6600}{6t} 6 t − 4 t \textcolor{660099}{-4t} − 4 t
− 10 ⋅ ( 4 − 10 t ) + 6 ⋅ 6 t − 4 ⋅ ( − 4 t ) \displaystyle -10\cdot\textcolor{006400}{(4-10t)}+6\cdot\textcolor{ff6600}{6t}-4\cdot\textcolor{660099}{(-4t)} − 10 ⋅ ( 4 − 10 t ) + 6 ⋅ 6 t − 4 ⋅ ( − 4 t ) = = = − 9 \displaystyle -9 − 9 ↓
Löse die Klammern auf.
− 40 + 100 t + 36 t + 16 t \displaystyle -40+100t+36t+16t − 40 + 100 t + 36 t + 16 t = = = − 9 \displaystyle -9 − 9 ↓
Vereinfache.
152 t − 40 \displaystyle 152t-40 152 t − 40 = = = − 9 \displaystyle -9 − 9 + 40 \displaystyle +40 + 40 ↓
Löse nach t t t
152 t \displaystyle 152t 152 t = = = 31 \displaystyle 31 31 t \displaystyle t t = = = 31 152 \displaystyle \dfrac{31}{152} 152 31
Zur Berechnung des Schnittpunktes M ′ M' M ′ t = 31 152 t=\dfrac{31}{152} t = 152 31
X ⃗ M ′ = ( 4 0 0 ) + 31 152 ⋅ ( − 10 6 − 4 ) = ( 4 − 310 152 0 + 186 152 0 − 124 152 ) = ( 149 76 93 76 − 62 76 ) \vec X_{M'}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+\dfrac{31}{152}\cdot\begin{pmatrix}-10\\6\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-\dfrac{310}{152}\\[2ex]0+\dfrac{186}{152}\\[2ex]0-\dfrac{124}{152}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{149}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix} X M ′ = 4 0 0 + 152 31 ⋅ − 10 6 − 4 = 4 − 152 310 0 + 152 186 0 − 152 124 = 76 149 76 93 − 76 62
Antwort: Der Mittelpunkt M ′ M' M ′ M ′ ( 149 76 ∣ 93 76 ∣ − 62 76 ) M'\left(\dfrac{149}{76}\Big\vert\dfrac{93}{76}\Big\vert-\dfrac{62}{76}\right) M ′ ( 76 149 76 93 − 76 62 )
Berechnung des Schnittkreisradius r ′ r' r ′ Den Schnittkreisradius r ′ r' r ′ Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand d d d E S E_S E S M 1 M_1 M 1 Betrag des Vektors M 1 M ′ → \overrightarrow{M_1M'} M 1 M ′ K 1 K_1 K 1 r = 3 r=3 r = 3 r ′ = r 2 − d 2 r'=\sqrt{r^2-d^2} r ′ = r 2 − d 2
Berechne zuerst den Vektor M 1 M ′ → \overrightarrow{M_1M'} M 1 M ′
M 1 M ′ → = ( 149 76 93 76 − 62 76 ) − ( 4 0 0 ) = ( − 155 76 93 76 − 62 76 ) \overrightarrow{M_1M'}=\begin{pmatrix}\dfrac{149}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\[2ex]0\\[2ex]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{155}{76}\\[2ex]\dfrac{93}{76}\\[2ex]-\dfrac{62}{76}\end{pmatrix} M 1 M ′ = 76 149 76 93 − 76 62 − 4 0 0 = − 76 155 76 93 − 76 62
d = ∣ M 1 M ′ → ∣ = ( − 155 76 ) 2 + ( 93 76 ) 2 + ( − 62 76 ) 2 = 961 152 ≈ 2 , 51 d=\Big\vert\overrightarrow{M_1M'}\Big\vert=\sqrt{\left(-\dfrac{155}{76}\right)^2+\left(\dfrac{93}{76}\right)^2+\left(-\dfrac{62}{76}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{961}{152}}\approx2{,}51 d = M 1 M ′ = ( − 76 155 ) 2 + ( 76 93 ) 2 + ( − 76 62 ) 2 = 152 961 ≈ 2 , 51
r ′ \displaystyle r' r ′ = = = r 2 − d 2 \displaystyle \sqrt{r^2-d^2} r 2 − d 2 ↓
Setze r = 3 r=3 r = 3 d = 961 152 d=\sqrt{\dfrac{961}{152}} d = 152 961
= = = 3 2 − ( 961 152 ) 2 \displaystyle \sqrt{3^2-\left(\sqrt{\dfrac{961}{152}}\right)^2} 3 2 − ( 152 961 ) 2 ↓
Vereinfache.
= = = 9 − 961 152 \displaystyle \sqrt{9-\dfrac{961}{152}} 9 − 152 961 ↓
Vereinfache.
= = = 407 152 \displaystyle \sqrt{\dfrac{407}{152}} 152 407 ≈ ≈ ≈ 1 , 64 \displaystyle 1{,}64 1 , 64
Antwort: Der Radius r ′ r' r ′ 407 152 ≈ 1 , 64 LE \sqrt{\dfrac{407}{152}}\approx 1{,}64\; \text{LE} 152 407 ≈ 1 , 64 LE
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