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Zwei sich schneidende Kugeln

Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die Kugeln in einem Schnittkreis mit dem Mittelpunkt Mâ€Č und dem Radius râ€Č.

Der Schnittkreis liegt in der Ebene ES.

Schnittbedingung:

|r1−r2|<d(M1,M2)<r1+r2

Gesucht sind die Gleichung der Schnittebene ES, Mâ€Č und râ€Č.

Zwei sich schneidende Kugeln

Allgemeines Vorgehen

Die Kugel K1​ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M1​ und den Radius r1​.

Die Kugel K2​ ist gegeben durch ihren Mittelpunkt M2​ und den Radius r2​.

Die Ermittlung der Lage von zwei Kugeln erfolgt ĂŒber die Berechnung des Abstandes der beiden Kugelmittelpunkte M1​ und M2​.

Berechne den Vektor M1M2→ und dann seinen Betrag.

d(M1M2)=|M1M2→|

Vergleiche d(M1M2) mit dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien und der Summe der beiden Kugelradien.

Wenn die Bedingung |r1−r2|<d(M1,M2)<r1+r2 erfĂŒllt ist, dann schneiden sich die beiden Kugeln in einem Schnittkreis.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle von beiden Kugeln die Vektorgleichung in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Koordinatengleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene ES.

Berechnung des Mittelpunkt Mâ€Č

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden gLot durch den Mittelpunkt M1 auf die Ebene ES.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ES:

gLot:X→=OM1→+t⋅n→E

Berechne den Mittelpunkt Mâ€Č, indem du die Lotgerade gLot mit der Ebene ES schneidest.

Zwei Kugeln mit Schnittebene

Berechnung des Schnittkreisradius râ€Č

(In der Abbildung ist nur die Kugel K1 dargestellt.)

Den Schnittkreisradius râ€Č kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand d der Ebene ES vom Mittelpunkt M1 ist der Betrag des Vektors M1Mâ€Č→ und der Kugelradius von K1 ist r.

Es gilt dann: râ€Č=r2−d2

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Beispiel

Gegeben sind die Kugeln K1:(x→−(400))2=9 und K2:(x→−(−13−2))2=16

Zeige, dass die beiden Kugeln sich schneiden und gib die Gleichung der Schnittebene ES, den Mittelpunkt Mâ€Č des Schnittkreises und den Schnittkreisradius râ€Č an.

Lagebeziehung der beiden Kugeln

Gegeben sind die beiden Kugelradien: r1=9=3 und r2=16=4

Berechne:

  1. |r1−r2|=|3−4|=|−1|=1

  2. d(M1M2)=|M1M2→|

  3. r1+r2=3+4=7

Zu 2. Berechne den Vektor M1M2→=(−13−2)−(400)=(−53−2)​

Berechne d(M1M2)=|M1M2→|=(−5)2+32+(−2)2=38≈6,2

Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:

|r1−r2|<d(M1M2)<r1+r2⇒1<6,2<7

Die Schnittpunktsbedingung ist erfĂŒllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.

Berechnung der Schnittkreisebene

Wandle die Kugelgleichung K1 in eine Koordinatengleichung um:

K1:(x→−(400))2=9
((x1x2x3)−(400))2=9
(x1−4x2x3)2=9
↓

Rechne das Skalarprodukt aus.

(x1−4)2+x22+x32=9
↓

Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

x12−8x1+16+x22+x32=9−16
↓

Vereinfache

x12+x22+x32−8x1=−7

Die Kugel K1 hat die Koordinatengleichung: x12+x22+x32−8x1=−7

Wandle die Kugelgleichung K2 in eine Koordinatengleichung um:

K2:(x→−(−13−2))2=16
((x1x2x3)−(−13−2))2=16
(x1+1x2−3x3+2)2=16
↓

Rechne das Skalarprodukt aus.

(x1+1)2+(x2−3)2+(x3+2)2=16
↓

Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

x12+2x1+1+x22−6x2+9+x32+4x3+4=16
↓

Fasse zusammen.

x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3+14=16−14
↓

Vereinfache

x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3=2

Die Kugel K2 hat die Koordinatengleichung: x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3=2

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Die Kugel 1 ist Gleichung (I) und die Kugel 2 ist Gleichung (II). Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.

Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.

(I):x12+x22+x32−8x1+0x2+0x3=−7−(II):x12+x22+x32+2x1−6x2+4x3= 20+0+0−10x1+6x2−4x3=−9

Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet ES:−10x1+6x2−4x3=−9.

Berechnung des Mittelpunkt Mâ€Č

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden gLot durch den Mittelpunkt M1 auf die Ebene ES.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ES:

n→E=(−106−4)

Zwei Kugeln mit Schnittebene

gLot:X→=(400)+t⋅(−106−4)oder

gLot:X→=(x1x2x3)=(4−10t6t−4t)

Berechne den Mittelpunkt Mâ€Č, indem du die Lotgerade gLot mit der Ebene ES schneidest:

E:−10x1+6x2−4x3=−9
↓

Setze 4−10t, 6t und −4t ein.

−10⋅(4−10t)+6⋅6t−4⋅(−4t)=−9
↓

Löse die Klammern auf.

−40+100t+36t+16t=−9
↓

Vereinfache.

152t−40=−9+40
↓

Löse nach t auf.

152t=31
t=31152

Zur Berechnung des Schnittpunktes Mâ€Č setzt du t=31152 in die Gleichung der Lotgeraden ein.

X→Mâ€Č=(400)+31152⋅(−106−4)=(4−3101520+1861520−124152)=(149769376−6276)

Antwort: Der Mittelpunkt Mâ€Č hat die Koordinaten Mâ€Č(14976|9376|−6276).

Berechnung des Schnittkreisradius râ€Č

Den Schnittkreisradius râ€Č kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand d der Ebene ES vom Mittelpunkt M1 ist der Betrag des Vektors M1Mâ€Č→ und der Kugelradius von K1 ist r=3. Es gilt: râ€Č=r2−d2

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Berechne zuerst den Vektor M1Mâ€Č→ und dann dessen Betrag.

M1Mâ€Č→=(149769376−6276)−(400)=(−155769376−6276)

d=|M1Mâ€Č→|=(−15576)2+(9376)2+(−6276)2=961152≈2,51

râ€Č=r2−d2
↓

Setze r=3 und d=961152 ein.

=32−(961152)2
↓

Vereinfache.

=9−961152
↓

Vereinfache.

=407152
≈1,64

Antwort: Der Radius râ€Č des Schnittkreises betrĂ€gt 407152≈1,64LE.

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