Zwei Kugeln mit gemeinsamen inneren Berührpunkt

Allgemeines Vorgehen

Berechnung von $B$

Die Kugel $K_1$ hat den Mittelpunkt $M_1$ und den Radius $r_1$. Die Kugel $K_2$ hat den Mittelpunkt $M_2$ und den Radius $r_2$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$.

Berechnung von $E_T$

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors $\vec n_0$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von $\vec n_0$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

Beispiel:

Gegeben sind die Kugeln $K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\right)^2=100$ und $K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}\right)^2=25$

Berechne den gemeinsamen Berührpunkt $B$ und die Koordinatengleichung der Tangentialebene $E_T$.

Haben die beiden Kugeln einen gemeinsamen inneren Berührpunkt?

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$.

$\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$

$d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

$r_1=\sqrt{100}=10$ und $r_2=\sqrt{25}=5\;\;\Rightarrow\; |r_1-r_2|=|10-5|=5$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $5$ und die Differenz der beiden Kugelradien beträgt auch $5$.

$d(M_1M_2)=|r_1-r_2|=5\;\;\Rightarrow\;\;$ Die beiden Kugeln berühren sich innen.

Berechnung von $B$

Berechne den Vektor $\overrightarrow{OB}$:

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

Dabei ist $r_1 =10$ , $\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=5$ und der Einheitsvektor ist $\vec n_0=\dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+10\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+6\\1+0\\-3+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\1\\5\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B(8|1|5)$.

Berechnung von $E_T$

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors $\vec n_0$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von $\vec n_0$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_T$ lautet: $\dfrac{1}{5}\cdot(3x_1+4x_3-44)=0$ bzw. Tangentialebene $E_T$ als Koordinatengleichung: $3x_1+4x_3=44$