Kugel und Tangentialkegel

Beispiel für die Erstellung der Ebenengleichung $E$

Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$, Kugelradius $r=4$ und ein Punkt $P(7|5|1)$ außerhalb der Kugel. Vom Punkt $P$ aus werden Tangenten an die Kugel $K$ gelegt. Alle Berührpunkte der Tangenten mit der Kugel liegen auf einem Kreis, den die Ebene $E$ aus der Kugel $K$ ausschneidet. Bestimme die Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform.

Benutze die Ebenengleichung $E:(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m})\circ (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{m})=r^2$ und setze die gegebenen Werte ein.

Antwort: Die Gleichung der Ebene $E$ lautet $E:4x_1+4x_2-x_3=30$.

Der Tangentenkegel

Berechnung des Schnittkreismittelpunktes $M^{\prime }$

Beispiel für die Berechnung des Schnittkreismittelpunktes $M^{\prime }$

Gegeben sind die Schnittkreisebene $E:4x_1+4x_2-x_3=30$ und der Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$. Gesucht ist $M^{\prime }$.

Berechne die Gleichung der Lotgeraden $g_{Lot}$ durch den Mittelpunkt $M$ auf die Ebene $E$.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M(3|1|2)$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)$der Ebene $E$.

$g_{Lot}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+4t\\ 1+4t\\ 2-t\end{array}\right)$

Schneide die Lotgerade $g_{Lot}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}3+4t\\ 1+4t\\ 2-t\end{array}\right)$ mit der Ebene $E:4x_1+4x_2-x_3=30$

Zur Berechnung des Schnittpunktes $M^{\prime }$ setzt du $t={\displaystyle \frac{16}{33}}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

${\overrightarrow{X}}_{M^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{16}{33}}\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+{\displaystyle \frac{64}{33}}\\ 1+{\displaystyle \frac{64}{33}}\\ 2-{\displaystyle \frac{16}{33}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{163}{33}}\\ {\displaystyle \frac{97}{33}}\\ {\displaystyle \frac{50}{33}}\end{array}\right)$

Antwort: Der Mittelpunkt $M^{\prime }$ des Schnittkreises hat die Koordinaten

$M^{\prime }\left({\displaystyle \frac{163}{33}}\right|{\displaystyle \frac{97}{33}}\left|{\displaystyle \frac{50}{33}}\right)$.

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{\prime }$

Beispiel für die Berechnung des Schnittkreisradius $r^{\prime }$

Gegeben sind der Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$ , der Mittelpunkt des Schnittkreises $M^{\prime }\left({\displaystyle \frac{163}{33}}\right|{\displaystyle \frac{97}{33}}\left|{\displaystyle \frac{50}{33}}\right)$ und der Kugelradius $r=4$. Gesucht ist $r^{\prime }$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ und dann dessen Betrag $d=|\overrightarrow{M{M}^{\prime }}|$.

$\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{163}{33}}\\ {\displaystyle \frac{97}{33}}\\ {\displaystyle \frac{50}{33}}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{163}{33}}-3\\ {\displaystyle \frac{97}{33}}-1\\ {\displaystyle \frac{50}{33}}-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{64}{33}}\\ {\displaystyle \frac{64}{33}}\\ -{\displaystyle \frac{16}{33}}\end{array}\right)$

$d=|\overrightarrow{M{M}^{\prime }}|=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{64}{33}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{64}{33}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{16}{33}})}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{256}{33}}}$

Antwort: Der Schnittkreisradius beträgt $r^{\prime }=\sqrt{{\displaystyle \frac{272}{33}}}\approx \mathrm{2,87}\text{LE}$.

Berechnung des Öffnungswinkels $\alpha$ des Tangentialkegels

Beispiel für die Berechnung des Öffnungswinkels $\alpha$ des Tangentialkegels

Gegeben sind der Kugelmittelpunkt $M(3|1|2)$, der Kugelradius $r=4$ und der Punkt $P(7|5|1)$. Gesucht ist der Öffnungswinkel $\alpha$.

Für den halben Öffnungswinkel gilt:

$\sin \left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)={\displaystyle \frac{r}{\left|\overrightarrow{MP}\right|}}$

Berechne den Vektor $\overrightarrow{MP}$ und dann dessen Betrag.

$\overrightarrow{MP}=\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 1\end{array}\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{4^2+4^2+1^2}=\sqrt{33}$

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\arcsin \left({\displaystyle \frac{r}{\left|\overrightarrow{MP}\right|}}\right)=\arcsin \left({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{33}}}\right)\approx {\mathrm{44,13}}^{\circ }$

$\alpha \approx 2\cdot {\mathrm{44,13}}^{\circ }={\mathrm{88,26}}^{\circ }$

Antwort: Der Öffnungswinkel des Tangentialkegels beträgt etwa ${\mathrm{88,3}}^{\circ }$.

Volumenberechnung des Tangentialkegels

Beispiel für die Berechnung des Tangentialkegelvolumens

Gegeben sind der Mittelpunkt des Schnittkreises $M^{\prime }\left({\displaystyle \frac{163}{33}}\right|{\displaystyle \frac{97}{33}}\left|{\displaystyle \frac{50}{33}}\right)$, der Punkt $P(7|5|1)$ und der Schnittkreisradius $r^{\prime }=\mathrm{2,87}$. Gesucht ist $V$.

Der Kegelradius $r$ ist gleich dem Schnittkreisradius $r^{\prime }=\mathrm{2,87}$ und die Kegelhöhe $h$ ist die Länge der Strecke $[M^{\prime }P]$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M^{\prime }P}$ und dann dessen Betrag.

$\overrightarrow{M^{\prime }P}=\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{163}{33}}\\ {\displaystyle \frac{97}{33}}\\ {\displaystyle \frac{50}{33}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{68}{33}}\\ {\displaystyle \frac{68}{33}}\\ -{\displaystyle \frac{17}{33}}\end{array}\right)\Rightarrow$

$h=\left|\overrightarrow{M^{\prime }P}\right|=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{68}{33}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{68}{33}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{17}{33}})}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{289}{33}}}\approx \mathrm{2,96}$

Berechne nun das Volumen des Kegels:$$

Antwort: Das Volumen des Tangentialkegels beträgt etwa $\mathrm{25,5}\text{VE}$.