Es wird die Lage einer Geraden g g g Kugel K K K
Dabei treten drei Fälle auf:
die Gerade schneidet die Kugel in zwei Punkten, d.h. die Gerade ist eine Sekante (linkes Bild)
die Gerade berührt die Kugel in genau einem Punkt, d.h. die Gerade ist eine Tangente (mittleres Bild)
die Gerade schneidet die Kugel nicht, d.h. die Gerade ist eine Passante (rechtes Bild)
Allgemeines Vorgehen Gegeben sind eine Kugel K K K M ( m 1 ∣ m 2 ∣ m 3 ) \textcolor{ff6600}{M(m_1|m_2|m_3)} M ( m 1 ∣ m 2 ∣ m 3 ) r \textcolor{006400}{r} r g \textcolor{660099}{g} g
K : ( x ⃗ − ( m 1 m 2 m 3 ) ) 2 = r 2 K:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2=\textcolor{006400}{r}^2 K : x − m 1 m 2 m 3 2 = r 2 g : X ⃗ = A ⃗ + t ⋅ u ⃗ g:\ \textcolor{660099}{\vec{X}=\vec{A}+t\cdot\vec{u}} g : X = A + t ⋅ u
Zur Lageüberprüfung wird die Geradengleichung von g g g x ⃗ \vec x x K K K
K : ( ( a 1 a 2 a 3 ) + t ⋅ ( u 1 u 2 u 3 ) − ( m 1 m 2 m 3 ) ) 2 \displaystyle K:\ \left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2 K : a 1 a 2 a 3 + t ⋅ u 1 u 2 u 3 − m 1 m 2 m 3 2 = = = r 2 \displaystyle \textcolor{006400}{r}^2 r 2 ↓ Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht.
( a 1 − m 1 + t ⋅ u 1 a 2 − m 2 + t ⋅ u 2 a 3 − m 3 + t ⋅ u 3 ) 2 \displaystyle \begin{pmatrix}a_1-m_1+t\cdot u_1\\a_2-m_2+t\cdot u_2\\a_3-m_3+t\cdot u_3\end{pmatrix}^2 a 1 − m 1 + t ⋅ u 1 a 2 − m 2 + t ⋅ u 2 a 3 − m 3 + t ⋅ u 3 2 = = = r 2 \displaystyle r^2 r 2 ↓ Berechne das Skalarprodukt .
( a 1 − m 1 + t ⋅ u 1 ) 2 + ( a 2 − m 2 + t ⋅ u 2 ) 2 + ( a 3 − m 3 + t ⋅ u 3 ) 2 \displaystyle (a_1-m_1+t\cdot u_1)^2+(a_2-m_2+t\cdot u_2)^2+(a_3-m_3+t\cdot u_3)^2 ( a 1 − m 1 + t ⋅ u 1 ) 2 + ( a 2 − m 2 + t ⋅ u 2 ) 2 + ( a 3 − m 3 + t ⋅ u 3 ) 2 = = = r 2 \displaystyle r^2 r 2 ↓ Rechne die Quadrate aus und fasse zusammen. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten t t t Mitternachtsformel (abc-Formel ) oder pq-Formel lösen.
Je nach Anzahl der erhaltenen Lösungen tritt einer der oben genannten 3 3 3
gibt es zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante
gibt es genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente
gibt es keine Lösung, dann ist die Gerade eine Passante
Musterbeispiel Gegeben ist eine Kugel K K K M ( 3 ∣ 2 ∣ 4 ) \textcolor{ff6600}{ M(3|2|4)} M ( 3∣2∣4 ) r = 10 \textcolor{006400}{ r=\sqrt{10}} r = 10
Untersuche die Lage der Geraden g : X ⃗ = ( 1 3 8 ) + t ⋅ ( 5 − 1 − 3 ) g:\ \textcolor{660099}{ \vec X=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}} g : X = 1 3 8 + t ⋅ 5 − 1 − 3 K K K
Lösung: Stelle die Kugelgleichung auf.
↓ K : ( x ⃗ − ( 3 2 4 ) ) 2 \displaystyle K:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}}\right)^2 K : x − 3 2 4 2 = = = ( 10 ) 2 \displaystyle (\textcolor{006400}{ \sqrt{10}})^2 ( 10 ) 2 ↓ vereinfache
K : ( x ⃗ − ( 3 2 4 ) ) 2 \displaystyle K:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}}\right)^2 K : x − 3 2 4 2 = = = 10 \displaystyle 10 10 ↓ Setze für x ⃗ \vec x x g g g
( ( 1 3 8 ) + t ⋅ ( 5 − 1 − 3 ) − ( 3 2 4 ) ) 2 \displaystyle \left(\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}}\right)^2 1 3 8 + t ⋅ 5 − 1 − 3 − 3 2 4 2 = = = 10 \displaystyle 10 10 ↓ Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht.
( − 2 + 5 ⋅ t 1 − t 4 − 3 ⋅ t ) 2 \displaystyle \begin{pmatrix}-2+5\cdot t \\1-t\\4-3\cdot t \end{pmatrix}^2 − 2 + 5 ⋅ t 1 − t 4 − 3 ⋅ t 2 = = = 10 \displaystyle 10 10 ↓ Berechne auf der linken Seite das Skalarprodukt .
( − 2 + 5 t ) 2 + ( 1 − t ) 2 + ( 4 − 3 t ) 2 \displaystyle (-2+5t)^2+(1-t)^2+(4-3t)^2 ( − 2 + 5 t ) 2 + ( 1 − t ) 2 + ( 4 − 3 t ) 2 = = = 10 \displaystyle 10 10 ↓ Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
4 − 20 t + 25 t 2 + 1 − 2 t + t 2 + 16 − 24 t + 9 t 2 \displaystyle 4-20t+25t^2+1-2t+t^2+16-24t+9t^2 4 − 20 t + 25 t 2 + 1 − 2 t + t 2 + 16 − 24 t + 9 t 2 = = = 10 \displaystyle 10 10 ↓ Fasse zusammen.
35 t 2 − 46 t + 21 \displaystyle 35t^2-46t+21 35 t 2 − 46 t + 21 = = = 10 \displaystyle 10 10 − 10 \displaystyle -10 − 10 35 t 2 − 46 t + 11 \displaystyle 35t^2-46t+11 35 t 2 − 46 t + 11 = = = 0 \displaystyle 0 0
Du hast die quadratische Gleichung 35 t 2 − 46 t + 11 = 0 35t^2-46t+11=0 35 t 2 − 46 t + 11 = 0 t t t Mitternachtsformel (abc-Formel ) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies dazu die Werte für a a a b b b c c c
a = 35 a=35 a = 35 b = − 46 b=−46 b = − 46 c = 11 c=11 c = 11
t 1 , 2 \displaystyle t_{1{,}2} t 1 , 2 = = = − b ± b 2 − 4 a c 2 a \displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 2 a − b ± b 2 − 4 a c ↓ Setze a = 35 a=35 a = 35 b = − 46 b=-46 b = − 46 c = 11 c=11 c = 11
= = = − ( − 46 ) ± ( − 46 ) 2 − 4 ⋅ 35 ⋅ 11 2 ⋅ 35 \displaystyle \dfrac{-(-46)\pm\sqrt{(-46)^2-4\cdot35\cdot11}}{2\cdot35} 2 ⋅ 35 − ( − 46 ) ± ( − 46 ) 2 − 4 ⋅ 35 ⋅ 11 ↓ vereinfache
= = = 46 ± 2116 − 1540 70 \displaystyle \dfrac{46\pm\sqrt{2116-1540}}{70} 70 46 ± 2116 − 1540 = = = 46 ± 576 70 \displaystyle \dfrac{46\pm\sqrt{576}}{70} 70 46 ± 576 = = = 46 ± 24 70 \displaystyle \dfrac{46\pm24}{70} 70 46 ± 24 t 1 \displaystyle t_1 t 1 = = = 11 35 \displaystyle \dfrac{11}{35} 35 11 t 2 \displaystyle t_2 t 2 = = = 1 \displaystyle 1 1
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge L = { 11 35 ; 1 } \mathbb{L}=\{\dfrac{11}{35};1\} L = { 35 11 ; 1 } g g g K K K g g g Sekante .
Schnittpunkte berechnen Setze die zwei gefundenen Parameter t 1 t_1 t 1 t 2 t_2 t 2
g : X ⃗ = ( 1 3 8 ) + t ⋅ ( 5 − 1 − 3 ) g:\ \vec X=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix} g : X = 1 3 8 + t ⋅ 5 − 1 − 3
t 1 = 11 35 t_1=\dfrac{11}{35} t 1 = 35 11
X ⃗ S 1 = ( 1 3 8 ) + 11 35 ⋅ ( 5 − 1 − 3 ) = ( 1 + 55 35 3 − 11 35 8 − 33 35 ) = ( 90 35 94 35 247 35 ) \vec X_{S_1}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+\dfrac{11}{35}\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\dfrac{55}{35}\\[2ex]3-\dfrac{11}{35}\\[2ex]8-\dfrac{33}{35}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{90}{35}\\[2ex]\dfrac{94}{35}\\[2ex]\dfrac{247}{35}\end{pmatrix}
X S 1 = 1 3 8 + 35 11 ⋅ 5 − 1 − 3 = 1 + 35 55 3 − 35 11 8 − 35 33 = 35 90 35 94 35 247
t 2 = 1 t_2=1 t 2 = 1
X ⃗ S 2 = ( 1 3 8 ) + 1 ⋅ ( 5 − 1 − 3 ) = ( 6 2 5 ) \vec X_{S_2}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix} X S 2 = 1 3 8 + 1 ⋅ 5 − 1 − 3 = 6 2 5
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten S 1 ( 90 35 ∣ 94 35 ∣ 247 35 ) S_1\left(\dfrac{90}{35}\Big\vert\dfrac{94}{35}\Big\vert\dfrac{247}{35}\right) S 1 ( 35 90 35 94 35 247 ) S 2 ( 6 ∣ 2 ∣ 5 ) S_2(6|2|5) S 2 ( 6∣2∣5 )
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