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Lagebeziehung zwischen Kugeln und Geraden

Drei Kugeln und drei Geraden

Es wird die Lage einer Geraden g bezüglich einer Kugel K untersucht.

Dabei treten drei Fälle auf:

  • die Gerade schneidet die Kugel in zwei Punkten, d.h. die Gerade ist eine Sekante (linkes Bild)

  • die Gerade berührt die Kugel in genau einem Punkt, d.h. die Gerade ist eine Tangente (mittleres Bild)

  • die Gerade schneidet die Kugel nicht, d.h. die Gerade ist eine Passante (rechtes Bild)

Allgemeines Vorgehen

Gegeben sind eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(m1|m2|m3), dem Radius r und eine Gerade g.

K: (x(m1m2m3))2=r2; Gerade g: X=A+tu

Zur Lageüberprüfung wird die Geradengleichung von g für den Vektor x in die Kugelgleichung Keingesetzt.

K: ((a1a2a3)+t(u1u2u3)(m1m2m3))2=r2

Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht.

(a1m1+tu1a2m2+tu2a3m3+tu3)2=r2

Berechne das Skalarprodukt.

(a1m1+tu1)2+(a2m2+tu2)2+(a3m3+tu3)2=r2

Rechne die Quadrate aus und fasse zusammen. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten t erhalten. Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Je nach Anzahl der erhaltenen Lösungen tritt einer der oben genannten 3 Fälle ein:

  • gibt es zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante

  • gibt es genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente

  • gibt es keine Lösung, dann ist die Gerade eine Passante

Musterbeispiel

Gegeben ist eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3|2|4) und dem Radius r=10.

Untersuche die Lage der Geraden g: X=(138)+t(513) bezüglich der Kugel K. Gib gegebenenfalls die Koordinaten aller Schnittpunkte an.

Lösung:

Stelle die Kugelgleichung auf.

K: (x(324))2=(10)2

vereinfache

K: (x(324))2=10

Setze für x die Gleichung der Geraden g ein.

((138)+t(513)(324))2=10

Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht.

(2+5t1t43t)2=10

Berechne auf der linken Seite das Skalarprodukt.

(2+5t)2+(1t)2+(43t)2=10

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

420t+25t2+12t+t2+1624t+9t2=10

Fasse zusammen.

35t246t+21=1010
35t246t+11=0

Du hast die quadratische Gleichung 35t246t+11=0 mit der Unbekannten t erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies dazu die Werte für ab und c ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

 a=35b=46c=11

t1,2=b±b24ac2a

Setze a=35, b=46 und c=11 ein.

=(46)±(46)243511235

vereinfache

=46±2116154070
=46±57670
=46±2470
t1=1135
t2=1

Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge 𝕃={1135;1}. Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade g die Kugel K in zwei Punkten. Die Gerade g ist eine Sekante.

Schnittpunkte berechnen

Setze die zwei gefundenen Parameter t1​ und t2​ in die Geradengleichung

g: X=(138)+t(513) ein.

t1=1135

XS1=(138)+1135(513)=(1+55353113583335)=(9035943524735)

t2=1

XS2=(138)+1(513)=(625)

Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten S1(9035|9435|24735) und S2(6|2|5).

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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