
Es wird die Lage einer Geraden bezüglich einer Kugel untersucht.
Dabei treten drei Fälle auf:
Allgemeines Vorgehen
Gegeben sind eine Kugel mit dem Mittelpunkt , dem Radius und eine Gerade .
; Gerade
Zur Lageüberprüfung wird die Geradengleichung von für den Vektor in die Kugelgleichung eingesetzt.
↓ | Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht. | ||
↓ | Berechne das Skalarprodukt. | ||
↓ | Rechne die Quadrate aus und fasse zusammen. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden. |
Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Je nach Anzahl der erhaltenen Lösungen tritt einer der oben genannten Fälle ein:
gibt es zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante
gibt es genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente
gibt es keine Lösung, dann ist die Gerade eine Passante
Musterbeispiel
Gegeben ist eine Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
Untersuche die Lage der Geraden bezüglich der Kugel . Gib gegebenenfalls die Koordinaten aller Schnittpunkte an.
Lösung:
Stelle die Kugelgleichung auf. | |||
↓ | |||
↓ | vereinfache | ||
↓ | Setze für die Gleichung der Geraden ein. | ||
↓ | Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht. | ||
↓ | Berechne auf der linken Seite das Skalarprodukt. | ||
↓ | Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden. | ||
↓ | Fasse zusammen. | ||
Du hast die quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, ,
↓ | Setze , und ein. | ||
↓ | vereinfache | ||
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge . Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade ist eine Sekante.
Schnittpunkte berechnen
Setze die zwei gefundenen Parameter und in die Geradengleichung
ein.
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten und .
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