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Lagebeziehung zwischen Kugeln und Geraden

Drei Kugeln und drei Geraden

Es wird die Lage einer Geraden gg bezüglich einer Kugel KK untersucht.

Dabei treten drei Fälle auf:

  • die Gerade schneidet die Kugel in zwei Punkten, d.h. die Gerade ist eine Sekante (linkes Bild)

  • die Gerade berührt die Kugel in genau einem Punkt, d.h. die Gerade ist eine Tangente (mittleres Bild)

  • die Gerade schneidet die Kugel nicht, d.h. die Gerade ist eine Passante (rechtes Bild)

Allgemeines Vorgehen

Gegeben sind eine Kugel KK mit dem Mittelpunkt M(m1m2m3)\textcolor{ff6600}{M(m_1|m_2|m_3)}, dem Radius r\textcolor{006400}{r} und eine Gerade g\textcolor{660099}{g}.

K:   (x(m1m2m3))2=r2K:\    \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2=\textcolor{006400}{r}^2; Gerade g: X=A+tug:\ \textcolor{660099}{\vec{X}=\vec{A}+t\cdot\vec{u}}

Zur Lageüberprüfung wird die Geradengleichung von gg für den Vektor x\vec x in die Kugelgleichung KKeingesetzt.

K:   ((a1a2a3)+t(u1u2u3)(m1m2m3))2\displaystyle K:\    \left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}}\right)^2==r2\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2

Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht.

(a1m1+tu1a2m2+tu2a3m3+tu3)2\displaystyle \begin{pmatrix}a_1-m_1+t\cdot u_1\\a_2-m_2+t\cdot u_2\\a_3-m_3+t\cdot u_3\end{pmatrix}^2==r2\displaystyle r^2

Berechne das Skalarprodukt.

(a1m1+tu1)2+(a2m2+tu2)2+(a3m3+tu3)2\displaystyle (a_1-m_1+t\cdot u_1)^2+(a_2-m_2+t\cdot u_2)^2+(a_3-m_3+t\cdot u_3)^2==r2\displaystyle r^2

Rechne die Quadrate aus und fasse zusammen. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten tt erhalten. Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Je nach Anzahl der erhaltenen Lösungen tritt einer der oben genannten 33 Fälle ein:

  • gibt es zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante

  • gibt es genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente

  • gibt es keine Lösung, dann ist die Gerade eine Passante

Musterbeispiel

Gegeben ist eine Kugel KK mit dem Mittelpunkt M(324)\textcolor{ff6600}{ M(3|2|4)} und dem Radius r=10\textcolor{006400}{ r=\sqrt{10}}.

Untersuche die Lage der Geraden g:  X=(138)+t(513)g:\ \textcolor{660099}{  \vec X=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}} bezüglich der Kugel KK. Gib gegebenenfalls die Koordinaten aller Schnittpunkte an.

Lösung:

Stelle die Kugelgleichung auf.

K:   (x(324))2\displaystyle K:\    \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}}\right)^2==(10)2\displaystyle (\textcolor{006400}{ \sqrt{10}})^2

vereinfache

K:   (x(324))2\displaystyle K:\    \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}}\right)^2==10\displaystyle 10

Setze für x\vec x die Gleichung der Geraden gg ein.

  ( (138)+t(513)(324))2\displaystyle    \left(\textcolor{660099}{  \begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}}\right)^2==10\displaystyle 10

Die linke Seite der Gleichung wird vereinfacht.

(2+5t1t43t)2\displaystyle \begin{pmatrix}-2+5\cdot t \\1-t\\4-3\cdot t \end{pmatrix}^2==10\displaystyle 10

Berechne auf der linken Seite das Skalarprodukt.

(2+5t)2+(1t)2+(43t)2\displaystyle (-2+5t)^2+(1-t)^2+(4-3t)^2==10\displaystyle 10

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.

420t+25t2+12t+t2+1624t+9t2\displaystyle 4-20t+25t^2+1-2t+t^2+16-24t+9t^2==10\displaystyle 10

Fasse zusammen.

35t246t+21\displaystyle 35t^2-46t+21==10\displaystyle 1010\displaystyle -10
35t246t+11\displaystyle 35t^2-46t+11==0\displaystyle 0

Du hast die quadratische Gleichung 35t246t+11=035t^2-46t+11=0 mit der Unbekannten tt erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies dazu die Werte für aabb und cc ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

 a=35a=35b=46b=−46c=11c=11

t1,2\displaystyle t_{1{,}2}==b±b24ac2a\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Setze a=35a=35, b=46b=-46 und c=11c=11 ein.

==(46)±(46)243511235\displaystyle \dfrac{-(-46)\pm\sqrt{(-46)^2-4\cdot35\cdot11}}{2\cdot35}

vereinfache

==46±2116154070\displaystyle \dfrac{46\pm\sqrt{2116-1540}}{70}
==46±57670\displaystyle \dfrac{46\pm\sqrt{576}}{70}
==46±2470\displaystyle \dfrac{46\pm24}{70}
t1\displaystyle t_1==1135\displaystyle \dfrac{11}{35}
t2\displaystyle t_2==1\displaystyle 1

Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge L={1135;1}\mathbb{L}=\{\dfrac{11}{35};1\}. Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade gg die Kugel KK in zwei Punkten. Die Gerade gg ist eine Sekante.

Schnittpunkte berechnen

Setze die zwei gefundenen Parameter t1t_1​ und t2t_2​ in die Geradengleichung

g:  X=(138)+t(513)g:\   \vec X=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix} ein.

t1=1135t_1=\dfrac{11}{35}

XS1=(138)+1135(513)=(1+55353113583335)=(9035943524735)\vec X_{S_1}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+\dfrac{11}{35}\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\dfrac{55}{35}\\[2ex]3-\dfrac{11}{35}\\[2ex]8-\dfrac{33}{35}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{90}{35}\\[2ex]\dfrac{94}{35}\\[2ex]\dfrac{247}{35}\end{pmatrix}

t2=1t_2=1

XS2=(138)+1(513)=(625)\vec X_{S_2}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix}

Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten S1(9035943524735)S_1\left(\dfrac{90}{35}\Big\vert\dfrac{94}{35}\Big\vert\dfrac{247}{35}\right) und S2(625)S_2(6|2|5).

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Kreisen und Kugeln

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