Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)

Mit Hilfe der sogenannten "Mitternachtsformel" (auch "Lösungsformel", abc-Formel oder "Quadratische Lösungsformel" genannt) lassen sich quadratische Gleichungen lösen und so Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen. Quadratische Gleichungen lassen sich auch mit Hilfe der pq-Formel, einer Alternative zur Mitternachtsformel, lösen.

Die Mitternachtsformel

Die Lösungen einer quadratische Gleichung ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 lauten:

Anzahl der möglichen Lösungen

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung von der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ist abhängig von der Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac.

Die Diskriminante ist genau der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht.

Eine quadratische Gleichung hat:

  • zwei Lösungen, falls D>0D>0

  • genau eine Lösung, falls D=0D=0

  • gar keine Lösung, falls D<0D<0.

Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel

Um eine quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel zu lösen, muss man aus der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 die Koeffizienten aa, bb und cc entnehmen und dann in die Mitternachtsformel einsetzen.

Vorgehen am Beispiel

Gleichung

Koeffizienten ablesen

In Formel einsetzen

a=2a=2, b=3b=3, c=5c=-5

a=1a=1, b=2b=-2, c=1c=1

a=3a=3, b=4b=4, c=5c=5

Koeffizienten finden in komplizierteren Fällen

Oft ist die quadratische Gleichung nicht bereits in der Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 gegeben. Um auf diese Form zu gelangen geht man typischerweise folgendermaßen vor:

Allgemeines Vorgehen

Vorgehen am Beispiel

1. Gleichung umformen: Die quadratische Gleichung muss zunächst so umgeformt werden, dass auf einer der beiden Seiten 0 steht.

2. Gleichartige Terme zusammenfassen: Alle quadratischen Terme (Summanden mit x2x^2), alle linearen Terme (alle Summanden mit xx) und alle konstanten Terme (reelle Zahlen) zusammenfassen.

3. Koeffizienten ablesen:

  • a ist der Faktor vor x2\boldsymbol x^\mathbf2

  • b ist der Faktor vor x\boldsymbol x

  • die restliche Summanden, die kein x enthalten, werden zu c zusammengefasst.

a=1a=1, b=2b=2, c=7c=-7

4. In Mitternachtsformel einsetzen: Nun muss man die Werte (wie oben schon gezeigt) noch in die Mitternachtsformel einsetzen.

Die Koeffizienten müssen nicht immer Zahlen sein, sie können auch Parameter enthalten. Mehr dazu findest du im Artikel Parameter in quadratischen Gleichungen .

Herleitung der Mitternachtsformel

Um die Mitternachtsformel herzuleiten, löst man die allgemeine quadratische Gleichung

mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

Zuerst bringen wir cc auf die rechte Seite, indem wir cc subtrahieren.

Dann dividieren wir die Gleichung durch aa

Jetzt folgt die quadratische Ergänzung: Wir addieren auf beiden Seiten (b2a)2(\frac{b}{2a})^2:

und wenden die 1. binomische Formel an, um die linke Seite als Quadrat zu schreiben:

Jetzt können wir nach xx auflösen, indem wir zuerst die Wurzel ziehen

und dann b2a\frac{b}{2a} auf die andere Seite bringen

Im Prinzip sind wir fertig, wir haben eine Lösungsformel. Allerdings sieht die noch nicht ganz so aus wie gewünscht. Dazu formen wir den Term in der Wurzel um

und erhalten für die rechte Seite insgesamt

Damit haben wir die Mitternachtsformel

hergeleitet.

Die pq-Formel

Die pq-Formel wird in Teilen Deutschlands alternativ zur Mitternachtsformel benutzt. Auch sie dient der Lösung einer quadratischen Gleichung und ist etwas einfacher zu merken. Eine Voraussetzung ist jedoch, dass der Vorfaktor des quadratischen Summanden a=1a=1 sein muss. Dazu sind eventuell Umformungen nötig.


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