Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen
Hier findest du Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem. Lerne, die Gleichungen rechnerisch zu bestimmen.
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Gegeben sind eine Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius sowie eine Ebene .
1) Zeige, dass die Ebene und die Kugel mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises.
2) Berechne anschließend so, dass auf der Kugeloberfläche liegt.
3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene , welche die Kugel im Punkt berührt, in der Koordinatenform.
4) Bestimme die Gleichung einer zu parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius hat.
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Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung und die Ebene .
1) Zeige, dass Tangentialebene an ist und berechne den Berührpunkt .
2) Durch wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel und die Ebene
gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von ein Schnittkreis mit Radius entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.
3) Der Punkt liegt auf . Stelle die Gleichung der Tangentialebene in in Koordinatenform auf.
4) Die Ebenen und bilden eine Rinne für die Kugel , in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden an, auf der sich der Mittelpunkt der Kugel bewegt.
5) Die Ebene steht senkrecht zu und . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel vom Startpunkt aus zurücklegt, bis diese von gestoppt wird.
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Untersuche, welche Lage die Ebene zur Kugel hat. Berechne dazu den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene .
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Zeige, dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius ist. Berechne auch den Berührpunkt .
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Eine Kugel hat den Mittelpunkt und den Radius . Der Kugelmittelpunkt liegt auf einer Geraden mit der Gleichung . Die Ebene berührt die Kugel .
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Mittelpunktes der Kugel.
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Gegeben sind eine Kugel mit Mittelpunkt , Radius und eine Gerade
.
Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.
Gib für die beiden Schnittpunkte und jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.
Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen und schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.
Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?
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Gegeben ist eine Kugel mit , und ein Punkt mit auf der Kugel.
Berechne die Koordinate und gib die Gleichung der Tangentialebene im Punkt an.
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Gegeben ist eine Kugel .
Die Ebene enthält den Punkt . Gib eine Bedingung an, so dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel ist.
Die gesuchte Bedingung enthält den Normaleneinheitsvektor der Ebene .
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Gegeben sind eine Kugel und eine Ebene .
Bestimme den Parameter so, dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel ist. Gib mögliche Berührpunkte an.
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