🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Hier findest du Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem. Lerne, die Gleichungen rechnerisch zu bestimmen.

  1. 1

    Gegeben sind eine Kugel K mit dem Mittelpunkt  M(8|8|6)  und dem Radius  r=7  sowie eine Ebene  E:x=(353)+r(110)+s(122).

    1) Zeige, dass die Ebene E und die Kugel K mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt M und den Radius  r1 des Schnittkreises.

    2) Berechne anschließend  z>8  so, dass  P(6|z|2)  auf der Kugeloberfläche liegt.

    3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene T, welche die Kugel K im Punkt P berührt, in der Koordinatenform.

    4) Bestimme die Gleichung einer zu T parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius  r2=3  hat.

  2. 2

    Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung  K:[x(221)][x(221)]=36  und die Ebene  E1:4x1+4x2+2x3=22 .

    1) Zeige, dass  E1  Tangentialebene an K ist und berechne den Berührpunkt B.

    2) Durch  Fa:2x1+4x2+6x3=a  wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel K und die Ebene  Fa

    gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von a ein Schnittkreis mit Radius r=2,2  entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.

    3) Der Punkt  A(8|2|1)  liegt auf K. Stelle die Gleichung der Tangentialebene  E2  in A in Koordinatenform auf.

    4) Die Ebenen  E1  und  E2  bilden eine Rinne für die Kugel K, in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden g an, auf der sich der Mittelpunkt M der Kugel bewegt.

    5) Die Ebene  E3:2x24x3=96  steht senkrecht zu  E1  und  E2 . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel K vom Startpunkt aus zurücklegt, bis diese von E3gestoppt wird.

  3. 3

    Untersuche, welche Lage die Ebene E zur Kugel K hat. Berechne dazu den Abstand des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E.

    E:3x1+4x2+5x3=2;M(2|1|3);r=3

  4. 4

    Zeige, dass die Ebene E:3x1+x22x3=16 eine Tangentialebene an die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(4|0|5) und dem Radius r=14 ist. Berechne auch den Berührpunkt B.

  5. 5

    Eine Kugel K hat den Mittelpunkt M und den Radius r=4. Der Kugelmittelpunkt liegt auf einer Geraden mit der Gleichung g:X=(261)+t(040). Die Ebene E:x2=6 berührt die Kugel K.

    Bestimme die Koordinaten eines möglichen Mittelpunktes M der Kugel.

  6. 6

    Gegeben sind eine Kugel K mit Mittelpunkt M(3|1|2), Radius r=11 und eine Gerade

    g:X=(205)+t(244).

    1. Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.

    2. Gib für die beiden Schnittpunkte S1 und S2 jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.

    3. Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen ET1 und ET2 schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.

    4. Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?

  7. 7

    Gegeben ist eine Kugel K mit M(2|3|5), r=9 und ein Punkt B(2|2|z) mit z>0 auf der Kugel.

    Berechne die Koordinate z und gib die Gleichung der Tangentialebene ET im Punkt B an.

  8. 8

    Gegeben ist eine Kugel K:(x12)2+(x23)2+(x31)2=16.

    Die Ebene E enthält den Punkt P(2|5|3). Gib eine Bedingung an, so dass die Ebene E eine Tangentialebene an die Kugel K ist.

    Die gesuchte Bedingung enthält den Normaleneinheitsvektor n0 der Ebene E.

  9. 9

    Gegeben sind eine Kugel K und eine Ebene E.

    K:(x14)2+(x22)2+(x3+1)2=16undE:2x12x2+x3=u

    Bestimme den Parameter u so, dass die Ebene E eine Tangentialebene an die Kugel K ist. Gib mögliche Berührpunkte an.


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?