Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen
Hier findest du Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem. Lerne, die Gleichungen rechnerisch zu bestimmen.
- 1
Gegeben sind eine Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius sowie eine Ebene .
1) Zeige, dass die Ebene und die Kugel mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises.
2) Berechne anschließend so, dass auf der Kugeloberfläche liegt.
3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene , welche die Kugel im Punkt berührt, in der Koordinatenform.
4) Bestimme die Gleichung einer zu parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
Teilaufgabe 1
Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel
Wandle die Parameterform der Ebene in eine Koordinatenform um.
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein und multipliziere das Skalarprodukt aus:
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Um die Hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors . Der Normalenvektor wurde oben mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnet. Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:
Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene beträgt und ist somit kleiner als der Kugelradius Die Ebene schneidet somit die Kugel in einem Schnittkreis.
Antwort: Damit ist gezeigt, dass die Ebene und die Kugel mehr als einen Punkt gemeinsam haben.
Berechnung des Mittelpunktes des Schnittkreises
Stelle die Gleichung der Lotgeraden von auf die Ebene auf, indem du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene verwendest.
Schneide mit der Ebene :
Setze in die Geradengleichung ein und du erhältst den Vektor zum Mittelpunkt des Schnittkreises.
Antwort: Der Mittelpunktes des Schnittkreises hat folgende Koordinaten:
Bestimmung des Radius des Schnittkreises
Den Radius des Schnittkreises berechnest du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. (Anmerkung: In der Abbildung wird der Radius mit bezeichnet.)
Antwort: Der Radius des Schnittkreises beträgt etwa 2,98.
Zusätzliche Zeichnung zur Veranschaulichung
Teilaufgabe 2
Setze die Koordinaten von in die Kugelgleichung ein und berechne .
Die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius hat folgende Gleichung:
Setze die Koordinaten von und den Radius ein:
Wenn der Punkt auf der Kugeloberfläche liegen soll, müssen seine Koordinaten die Kugelgleichung erfüllen. Setze die Koordinaten ein und löse nach auf.
Da aber sein soll, gibt es nur die Lösung .
Antwort: Der Punkt mit den Koordinaten liegt auf der Kugeloberfläche.
Teilaufgabe 3
Die Gleichung für eine Tangentialebene im Punkt der Kugel mit dem Mittelpunkt lautet:
Setze und in ein:
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Antwort: Die obige Gleichung ist die Gleichung der Tangentialebene in Koordinatenform, die die Kugel im Punkt berührt.
Teilaufgabe 4
Eine zu T parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor wie die Ebene . Die rechte Seite der Ebenengleichung ist allerdings verschieden.
Eine zu parallele Ebene hat somit folgende Gleichung:
Die Unbekannte kannst du über die Bedingung, dass der Schnittkreisradius sein soll, bestimmen.
Wiederum gilt der Satz von Pythagoras: .
Mit und folgt:
Da der Abstand positiv sein soll gilt: .
Die Tangentialebene muss also den Abstand vom Kugelmittelpunkt haben.
Erstelle von die Hessesche Normalenform:
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die von ein und verlange, dass der Abstand sein soll.
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus folgt:
Aus folgt:
Somit hast du zwei Lösungen gefunden.
Antwort: Es gibt zwei Ebenen die zu parallel sind und deren Schnittkreisradius mit der Kugel beträgt.
Zusätzliche Visualisierung
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
Strategie zu Teilaufgabe 1
Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Dazu benötigst du die Hessesche Normalenform. Wandle dazu die Parameterform der Ebene in eine Koordinatenform um. Aus der Koordinatenform erhältst du die Hessesche Normalenform. Setze den Kugelmittelpunkt in die Hessesche Normalenform ein und du erhältst den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Hier kannst du dann drei Fälle unterscheiden; die Ebene schneidet die Kugel, die Ebene berührt die Kugel oder es gibt keine gemeinsamen Punkte zwischen der Kugel und der Ebene.
Den Mittelpunkt des Schnittkreises berechnest du indem du die Lotgerade von auf die Ebene mit der Ebene schneidest.
Den Radius des Schnittkreises berechnest du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
Strategie zu Teilaufgabe 2
Setze die Koordinaten von in die Kugelgleichung ein und berechne . Beachte, dass sein soll.
Strategie zu Teilaufgabe 3
Setze den berechneten Punkt in die Tangentialebenengleichung ein.
Strategie zu Teilaufgabe 4
Stelle die Gleichung einer zu parallelen Ebene mit unbekannter rechten Seite auf. Der Radius des Schnittkreises soll betragen. Das liefert die Bedingung für den Abstand des Kugelmittelpunktes zu . Aus dem berechneten Abstand und der der Ebene kannst du die unbekannte rechte Seite der parallelen Ebene berechnen.
- 2
Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung und die Ebene .
1) Zeige, dass Tangentialebene an ist und berechne den Berührpunkt .
2) Durch wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel und die Ebene
gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von ein Schnittkreis mit Radius entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.
3) Der Punkt liegt auf . Stelle die Gleichung der Tangentialebene in in Koordinatenform auf.
4) Die Ebenen und bilden eine Rinne für die Kugel , in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden an, auf der sich der Mittelpunkt der Kugel bewegt.
5) Die Ebene steht senkrecht zu und . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel vom Startpunkt aus zurücklegt, bis diese von gestoppt wird.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
Teilaufgabe 1
Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel
Um die hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors . Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:
Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene beträgt und ist somit gleich dem Kugelradius
Antwort: Die Ebene ist eine Tangentialebene.
Berechnung des Berührpunktes
Stelle die Gleichung der Lotgeraden von auf die Ebene auf, indem Du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene verwendest.
Schneide mit der Ebene :
Setze in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Berührpunkt .
Antwort: Der Berührpunkt zwischen der Kugel und der Ebene hat folgende Koordinaten:
Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel , die Ebene und der Berührpunkt .
Teilaufgabe 2
Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar
Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebenenschar:
Die Ebenengleichung in Koordinatenform wird durch den Betrag des Normalenvektors geteilt und Du erhältst die hessesche Normalenform.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein und verlange, dass der berechnete Abstand kleiner als der Kugelradius ist :
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus folgt:
Aus folgt:
Antwort: Wenn der Parameter größer als oder kleiner als ist, haben die Ebene und die Kugel gemeinsame Punkte, d.h. es gibt einen Schnittkreis.
Bestimmung des Parameter , so dass der Schnittkreisradius beträgt
Den Abstand des Mittelpunktes vom Mittelpunkt berechnest Du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein.
(Diesen Rechenschritt hast Du schon zu Beginn der Teilaufgabe 2 gelöst.)
Verlange, dass der berechnete Abstand gleich ist. Du erhältst folgende Gleichung:
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus folgt:
Aus folgt:
Antwort: Du hast zwei Parameter erhalten. Für bzw. haben die Ebenen einen Schnittkreisradius von .
Bestimmung des Mittelpunktes des Schnittkreises
Du berechnest die Lotgerade von auf die Ebene . Dazu verwendest Du den Vektor zum Kugelmittelpunkt als Stützvektor und als Richtungsvektor nimmst Du den Normalenvektor der Ebene .
Schneide mit der Ebene :
Für gibt es zwei Werte, so dass sich zwei Parameterwerte für ergeben:
Setze in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt :
Setze in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt :
Antwort: Für die Schnittkreismittelpunkte ergeben sich die gerundeten Koordinaten und .
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel , die Ebenen (türkisfarbig), (orangefarbig) und die Schnittkreismittelpunkte bzw. .
(Der deutlich sichtbare Punkt ist .)
Teilaufgabe 3
Berechnung der Tangentialebenengleichung
Die Gleichung für eine Tangentialebene im Punkt der Kugel mit dem Mittelpunkt lautet:
Setze und in ein:
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Antwort: Die Gleichung für die Tangentialebene im Punkt der Kugel lautet:
Teilaufgabe 4
Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen und
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Setze in ein und löse nach auf:
Du hast nun in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet somit:
Erstelle nun die Geradengleichung auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt. Dazu liefert Dir die Geradengleichung den Richtungsvektor der Geraden . Der Stützvektor der Geraden ist der Vektor zum Kugelmittelpunkt.
Antwort: Die Gleichung der Geraden auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt lautet:
Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel , die Ebenen und , die Schnittgerade der beiden Ebenen (in grün) und die Gerade g auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt (in rot).
Teilaufgabe 5
Berechnung der Länge der Strecke, die die Kugel vom Startpunkt aus zurücklegt
Die nebenstehende Skizze zeigt Dir wie Du den zurückgelegten Weg berechnen kannst. Du berechnest den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Den zurückgelegten Weg findest Du als Differenz von und dem Kugelradius .
Für die Abstandsberechnung benötigst Du wieder die hessesche Normalenform der Ebene .
Der Normalenvektor der Ebene lautet:
Die Ebenengleichung in Koordinatenform wird durch den Betrag des Normalenvektors geteilt und Du erhältst die hessesche Normalenform.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:
Für den zurückgelegten Weg gilt:
Antwort: Die Länge der Strecke , die die Kugel vom Startpunkt aus zurückgelegt hat, beträgt etwa 17,26.
Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel am Startpunkt und am Ende der zurückgelegten Strecke (in grün) , die Ebenen (orange), (lila) und (türkis) und die Schnittgerade (blau) der beiden Ebenen und .
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
Strategie zu Teilaufgabe 1
Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Dazu benötigst Du die hessesche Normalenform die Du aus der Koordinatenform der Ebene berechnen kannst. Setze den Kugelmittelpunkt in die hessesche Normalenform ein und Du erhältst den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Da Tangentialebene sein soll, muss der Abstand gleich dem Kugelradius sein. Den Berührpunkt berechnest Du, indem Du die Lotgerade von auf die Ebene mit der Ebene schneidest.
Strategie zu Teilaufgabe 2
Du benötigst die hessesche Normalenform der Ebene . Berechne dann den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Um einen Schnittkreis zu erhalten muss dieser Abstand kleiner als der Kugelradius sein.
Der Radius des Schnittkreises soll betragen. Der Satz von Pythagoras liefert die Bedingung für den Abstand des Kugelmittelpunktes zu . In die der Ebene setzt Du nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ein und verlangst, dass der berechnete Abstand gleich dem Abstand ist. Nun kannst Du den Parameter berechnen.
Den Mittelpunkt des Schnittkreises berechnest Du indem Du die Lotgerade von auf die Ebene mit der Ebene schneidest. Beachte dabei, dass Du die beiden vorher erhaltenen Werte für den Parameter benutzt um zwei Schnittkreismittelpunkte zu berechnen.
Strategie zu Teilaufgabe 3
Setze den gegebenen Punkt in die Tangentialebenengleichung ein und Du erhältst die Ebenengleichung .
Strategie zu Teilaufgabe 4
Schneide die Ebenen und um die Schnittgerade zu berechnen. Für die Gleichung der Geraden auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt wählst Du als Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Richtungsvektor der Schnittgeraden von und .
Strategie zu Teilaufgabe 5
Du benötigst die hessesche Normalenform der Ebene . Berechne dann den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Du berechnest die Länge der Strecke , die die Kugel vom Startpunkt aus zurückgelegt hat, als Differenz von und dem Kugelradius .
- 3
Untersuche, welche Lage die Ebene zur Kugel hat. Berechne dazu den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Wandle die Ebene E in die Hessesche Normalenform um:
Setze die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ein:
Antwort: Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene ist größer als der Kugelradius , d.h. die Ebene schneidet die Kugel nicht.
- 4
Zeige, dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius ist. Berechne auch den Berührpunkt .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Stelle die Hessesche Normalenform der Ebene auf.
↓ Berechne die Wurzel.
Berechne den Abstand des Mittelpunktes von der Ebene , indem du die Koordinaten von in die Hessesche Normalenform einsetzt.
↓ vereinfache
↓ Berechne den Betrag.
↓ Vereinfache weiter, indem du durch ersetzt.
↓ Kürze den Bruch.
Der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene ist . Der Kugelradius ist . Da ist, handelt es sich um eine Tangentialebene.
Berechnung des Berührpunktes:
Stelle die Gleichung der Lotgeraden durch den Mittelpunkt auf die Ebene auf. Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene .
Berechne den Berührpunkt, indem du die Lotgerade mit der Ebene schneidest:
↓ Setze in ein.
↓ Löse die Klammern auf.
↓ Vereinfache die linke Seite.
↓ Löse nach auf.
Zur Berechnung des Berührpunktes setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein.
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene . Stelle dazu die Hessesche Normalenform der Ebene auf. Ist der berechnete Abstand gleich dem Kugelradius , dann ist eine Tangentialebene.
Für die Berechnung des Berührpunktes benötigst du die Gleichung der Lotgeraden durch den Punkt auf die Ebene . Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene . Schneide die Lotgerade mit der Ebene .
- 5
Eine Kugel hat den Mittelpunkt und den Radius . Der Kugelmittelpunkt liegt auf einer Geraden mit der Gleichung . Die Ebene berührt die Kugel .
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Mittelpunktes der Kugel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel und Geraden
Der Mittelpunkt liegt auf der Geraden . Setze ein.
Erstelle von der Ebene die Hessesche Normalenform:
Allgemein gilt:
Der Abstand des Punktes von der Ebene soll gleich dem Kugelradius sein.
Löse den Betrag auf:
Fall -
Fall +
Du hast zwei Lösungen für den Parameter erhalten. Demzufolge gibt es auch zwei Kugelmittelpunkte.
Setze in die Geradengleichung ein:
Setze in die Geradengleichung ein:
Antwort: Die beiden Kugeln mit den Mittelpunkten und und dem Radius liegen auf der Geraden und die Ebene ist eine Tangentialebene.
Der Mittelpunkt liegt auf der Geraden . Setze für in die Geradengleichung ein.
Erstelle von der gegebenen Ebenengleichung die Hessesche Normalenform. Der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene muss gleich dem Radius sein.
- 6
Gegeben sind eine Kugel mit Mittelpunkt , Radius und eine Gerade
.
Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor in die Kugelgleichung ein.
↓ Fasse zusammen.
↓ Vereinfache weiter.
↓ Rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
↓ Fasse die linke Seite zusammen.
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Zur Lösung dieser Gleichung kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.
Erster Faktor:
Zweiter Faktor:
Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge .
Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade g ist eine Sekante.
Schnittpunkte berechnen
Setze die zwei gefundenen Parameter und in die Geradengleichung
ein.
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Damit eine Sekante der Kugel ist, solltest du bei der Schnittpunktsberechnung zwei Lösungen erhalten.
Gib für die beiden Schnittpunkte und jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt
↓ Setze für die Koordinaten des ersten Schnittpunktes ein. Setze den Mittelpunkt ein.
↓ Vereinfache.
↓ Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
↓ Vereinfache
↓ Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf.
↓ Vereinfache.
Antwort: Die Tangentialebene hat die Gleichung .
Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt
↓ Setze für die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes ein. Setze den Mittelpunkt ein.
↓ Vereinfache.
↓ Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
↓ Vereinfache.
↓ Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf.
↓ Vereinfache.
Antwort: Die Tangentialebene hat die Gleichung .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze in die Gleichung der Tangentialebene für den Vektor einen der beiden Schnittpunkte ein und setze für den Vektor den Kugelmittelpunkt ein.
Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen und schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnitt von und
Die beiden Tangentialebenen und haben die beiden Normalenvektoren:
und .
Die Normalenvektoren sind nicht Vielfache voneinander. Die beiden Ebenen sind somit nicht parallel, d.h. sie schneiden sich.
Berechnung der Schnittgeraden
Die beiden Ebenengleichungen liegen in der Koordinatenform vor. Die Berechnung der Schnittgeraden erfolgt durch Lösen eines Gleichungssystems aus Gleichungen mit Unbekannten. Dabei gibt es mehrere Lösungswege z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt hier mit dem Additionsverfahren.
Die Tangentialebene ist Gleichung und die Tangentialebene ist Gleichung .
Eliminiere eine Variable z.B. die Variable .
Rechne :
Du hast die Gleichung erhalten.
Bei Gleichungen mit Unbekannten ist eine Unbekannte frei wählbar. Wähle z.B. .
Somit lautet die Gleichung .
Setze die Gleichung und in Gleichung ein.
↓ Setze und ein.
↓ Löse die Klammer auf.
↓ Vereinfache.
Schreibe die drei erhaltenen Gleichungen für , und untereinander und sortiere entsprechend.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Tangentialebenen lautet:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zweier Ebenen
Für den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen gilt folgende Formel:
Im Zähler des Bruches steht der Betrag des Skalarproduktes der beiden Normalenvektoren und der beiden Tangentialebenen und . Im Nenner des Bruches steht das Produkt der Beträge der beiden Normalenvektoren.
Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:
und
Für den Betrag von gilt:
Für den Betrag von gilt:
Setze in die oben genannte Formel ein:
↓ Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Berechne den Betrag.
Du hast die Gleichung erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel berechnen.
Hinweis: Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion .
Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangentialebenen beträgt rund .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab und setze sie in die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ein.
- 7
Gegeben ist eine Kugel mit , und ein Punkt mit auf der Kugel.
Berechne die Koordinate und gib die Gleichung der Tangentialebene im Punkt an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Aufstellen der Kugelgleichung
Kugel :
;
↓ Setze den Mittelpunkt und ein.
Setze den Punkt nun in die Kugelgleichung ein:
↓ Vereinfache.
↓ Berechne das Skalarprodukt.
↓ Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
↓ Fasse die linke Seite zusammen.
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für und ab und setze sie in die Formel ein: und
↓ Setze und ein.
↓ Vereinfache.
Fall -
. Diese Lösung entfällt wegen .
Fall +
Setze in ein.
Antwort: Der Punkt hat die Koordinaten .
Tangentialebene
Setze und in die Gleichung der Tangentialebene ein.
↓ Setze und ein.
↓ Vereinfache.
↓ Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
↓ Vereinfache.
↓ Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf.
↓ Fasse zusammen.
Antwort: Die Gleichung der Tangentialebene lautet:
Erstelle die Kugelgleichung und setze für den Punkt ein. Berechne . Mit dem Punkt und dem Kugelmittelpunkt kannst du die Tangentialebene aufstellen.
- 8
Gegeben ist eine Kugel .
Die Ebene enthält den Punkt . Gib eine Bedingung an, so dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel ist.
Die gesuchte Bedingung enthält den Normaleneinheitsvektor der Ebene .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren und ist gleich der Länge der Projektion des Vektors auf den Einheitsvektor .
Die Länge der Projektion ist in diesem Fall gleich dem Radius . Es gilt also:
Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius ab:
und .
Berechne den Vektor .
Dann folgt für die gesuchte Bedingung:
Antwort: Erfüllt der Normaleneinheitsvektor der Ebene die folgende Bedingung , dann ist die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel und enthält den Punkt .
Das Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einem Einheitsvektor ist gleich der Länge der Projektion des Vektors auf den Einheitsvektor . Die Länge dieser Projektion muss gleich dem Kugelradius sein.
- 9
Gegeben sind eine Kugel und eine Ebene .
Bestimme den Parameter so, dass die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel ist. Gib mögliche Berührpunkte an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Parameterberechnung
Wenn die Ebene eine Tangentialebene an die Kugel sein soll, dann muss der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene gleich dem Kugelradius sein.
Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius ab:
;
Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene :
Berechne den Abstand des Mittelpunktes von der Ebene :
Setze
Fall +
Fall -
Antwort: Es gibt zwei parallele Tangentialebenen an die Kugel :
und
Berührpunkte
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung entnehmen:
Dabei ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene .
Entsprechend gilt:
Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten und .
Bei einer Tangentialebene ist der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene gleich dem Kugelradius . Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene und berechne den Abstand . Die Berührpunkte kannst du über eine Vektorgleichung ermitteln:
Dabei ist und ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene .
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?