Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

…

Gegeben sind eine Kugel $K$ und eine Ebene $E$ .

$K : (x_{1} - 4)^{2} + (x_{2} - 2)^{2} + (x_{3} + 1)^{2} = 16 und E : 2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = u$

Bestimme den Parameter $u$ so, dass die Ebene $E$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ ist. Gib mögliche Berührpunkte an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Parameterberechnung

Wenn die Ebene $E$ eine Tangentialebene an die Kugel $K$ sein soll, dann muss der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ gleich dem Kugelradius $r$ sein.

Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ und den Radius $r$ ab:

$M (4 | 2 | - 1)$ ; $r = \sqrt{16} = 4$

Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene $E$ :

$E_{H N F} : \frac{2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} - u}{\sqrt{2^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} - u}{\sqrt{9}} = \frac{2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} - u}{3} = 0$

Berechne den Abstand des Mittelpunktes $M (4 | 2 | - 1)$ von der Ebene $E$ :

$d (M, E) = | \frac{2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 1 - u}{3} | = | \frac{3 - u}{3} |$

Setze $d (M, E) = r \Rightarrow | \frac{3 - u}{3} | = 4 \Rightarrow | 3 - u | = 4 \cdot 3 = 12$

Fall +

$3 - u = 12 \Rightarrow u_{1} = - 9$

Fall -

$- 3 + u = 12 \Rightarrow u_{2} = 15$

Antwort: Es gibt zwei parallele Tangentialebenen an die Kugel $K$ :

$E_{T_{1}} : 2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = - 9$ und $E_{T_{2}} : 2 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 15$

Berührpunkte

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung entnehmen:

$\vec{O B_{2}} = \vec{O M} + \vec{M B_{2}}$

$\vec{O M} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$

$\vec{M B_{2}} = | \vec{M B_{2}} | \cdot {\vec{n}}_{0} = r \cdot {\vec{n}}_{0} = 4 \cdot {\vec{n}}_{0}$

Dabei ist ${\vec{n}}_{0}$ der Normaleneinheitsvektor der Ebene $E$ .

$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

$| \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3$

${\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$

Kugel zwei Tangentialebenen Vektorgleichung

$\vec{O B_{2}} = \vec{O M} + \vec{M B_{2}} = \vec{O M} + 4 \cdot {\vec{n}}_{0} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) + 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 + \frac{8}{3} \\ 2 - \frac{8}{3} \\ - 1 + \frac{4}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{20}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array})$

Entsprechend gilt:

$\vec{O B_{1}} = \vec{O M} + \vec{M B_{1}} = \vec{O M} + 4 \cdot (- {\vec{n}}_{0}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) + 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 - \frac{8}{3} \\ 2 + \frac{8}{3} \\ - 1 - \frac{4}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ \frac{14}{3} \\ - \frac{7}{3} \end{array})$

Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten $B_{1} (\frac{4}{3} | \frac{14}{3} | - \frac{7}{3})$ und $B_{2} (\frac{20}{3} | - \frac{2}{3} | \frac{1}{3})$ .

Bei einer Tangentialebene ist der Abstand des Kugelmittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ gleich dem Kugelradius $r$ . Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene $E$ und berechne den Abstand $d (M, E)$ . Die Berührpunkte kannst du über eine Vektorgleichung ermitteln: $\vec{O B} = \vec{O M} + \vec{M B}$

Dabei ist $\vec{M B} = | \vec{M B} | \cdot {\vec{n}}_{0} = r \cdot {\vec{n}}_{0}$ und ${\vec{n}}_{0}$ ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene $E$ .

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