Gegeben sind eine Kugel K und eine Ebene E.
K:(x1−4)2+(x2−2)2+(x3+1)2=16undE:2x1−2x2+x3=u
Bestimme den Parameter u so, dass die Ebene E eine Tangentialebene an die Kugel K ist. Gib mögliche Berührpunkte an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Parameterberechnung
Wenn die Ebene E eine Tangentialebene an die Kugel K sein soll, dann muss der Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene E gleich dem Kugelradius r sein.
Lies aus der gegebenen Kugelgleichung die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r ab:
M(4∣2∣−1); r=16=4
Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene E:
EHNF:22+(−2)2+122x1−2x2+x3−u=92x1−2x2+x3−u=32x1−2x2+x3−u=0
Berechne den Abstand des Mittelpunktes M(4∣2∣−1) von der Ebene E:
d(M,E)=32⋅4−2⋅2−1−u=33−u
Setze d(M,E)=r⇒33−u=4⇒∣3−u∣=4⋅3=12
Fall +
3−u=12⇒u1=−9
Fall -
−3+u=12⇒u2=15
Antwort: Es gibt zwei parallele Tangentialebenen an die Kugel K:
ET1:2x1−2x2+x3=−9 und ET2:2x1−2x2+x3=15
Berührpunkte
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung entnehmen:
OB2=OM+MB2
OM=42−1
MB2=∣MB2∣⋅n0=r⋅n0=4⋅n0
Dabei ist n0 der Normaleneinheitsvektor der Ebene E.
n=2−21
∣n∣=22+(−2)2+12=9=3
n0=∣n∣n=31⋅2−21
OB2=OM+MB2=OM+4⋅n0=42−1+4⋅31⋅2−21=4+382−38−1+34=320−3231
Entsprechend gilt:
OB1=OM+MB1=OM+4⋅(−n0)=42−1+4⋅31⋅−22−1=4−382+38−1−34=34314−37
Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten B1(34314−37) und B2(320−3231).
Bei einer Tangentialebene ist der Abstand des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E gleich dem Kugelradius r. Erstelle eine Hessesche Normalenform der Ebene E und berechne den Abstand d(M,E). Die Berührpunkte kannst du über eine Vektorgleichung ermitteln: OB=OM+MB
Dabei ist MB=∣MB∣⋅n0=r⋅n0 und n0 ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene E.
