Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Hier findest du Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem. Lerne, die Gleichungen rechnerisch zu bestimmen.

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Gegeben sind eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $\mathrm{M}(8|8|6)$ und dem Radius $\mathrm r=7$ sowie eine Ebene $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\5\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ .
1) Zeige, dass die Ebene $E$ und die Kugel $K$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt $M'$ und den Radius ${\mathrm r_1'}$ des Schnittkreises.
2) Berechne anschließend $\mathrm z>8$ so, dass $\mathrm{P}(6|\mathrm{z}|2)$ auf der Kugeloberfläche liegt.
3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene $T$ , welche die Kugel $K$ im Punkt $P$ berührt, in der Koordinatenform.
4) Bestimme die Gleichung einer zu $T$ parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius $\mathrm r_2'=3$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
Teilaufgabe 1
Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel
Wandle die Parameterform der Ebene $E$ in eine Koordinatenform um.
Berechne den Normalenvektor der Ebene $E$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec {a}=\begin{pmatrix}3\\5\\3\end{pmatrix}$
Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein und multipliziere das Skalarprodukt aus:
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Um die Hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors $\left|\vec {n}\right|$ . Der Normalenvektor wurde oben mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnet. Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:
Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E$ beträgt $\dfrac{19}{3}$ und ist somit kleiner als der Kugelradius $r =7.$ Die Ebene $E$ schneidet somit die Kugel in einem Schnittkreis.
Antwort: Damit ist gezeigt, dass die Ebene $E$ und die Kugel $K$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben.
Berechnung des Mittelpunktes $M'$ des Schnittkreises
Stelle die Gleichung der Lotgeraden von $M$ auf die Ebene $E$ auf, indem du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ verwendest.
Schneide $g_{Lot}$ mit der Ebene $E$ :

Setze $t=-\dfrac{19}{9}$ in die Geradengleichung ein und du erhältst den Vektor zum Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises.
$\overrightarrow{\mathrm x_{M'}}=\begin{pmatrix}8\\8\\6\end{pmatrix}+\left(-\dfrac{19}{9}\right)\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{34}{9}\\[2ex]\dfrac{34}{9}\\[2ex]\dfrac{35}{9}\end{pmatrix}\\\Rightarrow\;\;\mathrm {M'}\left(\dfrac{34}{9}\Big\vert \dfrac{34}{9}\Big\vert \dfrac{35}{9}\right)$
Antwort: Der Mittelpunktes $M'$ des Schnittkreises hat folgende Koordinaten:
Bestimmung des Radius des Schnittkreises
Den Radius des Schnittkreises berechnest du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. (Anmerkung: In der Abbildung wird der Radius $r_1'$ mit $r'$ bezeichnet.)
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\mathrm {r_1'}&=&\sqrt{r^2-d^2}\\\\&=&\sqrt{(7^2-(\dfrac{19}{3})^2)}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{80}{9}}\\\\&\approx& 2{,}98 \end{array}$
Antwort: Der Radius des Schnittkreises beträgt etwa 2,98.
Zusätzliche Zeichnung zur Veranschaulichung
Teilaufgabe 2
Setze die Koordinaten von $P$ in die Kugelgleichung ein und berechne $z$ .
Die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $\mathrm M(m_1\vert m_2\vert m_3)$ und dem Radius $\mathrm r$ hat folgende Gleichung:
Setze die Koordinaten von $\mathrm M(8\vert8\vert6)$ und den Radius $r=7$ ein:
Wenn der Punkt $\mathrm P(6\vert\mathrm z\vert2)$ auf der Kugeloberfläche liegen soll, müssen seine Koordinaten die Kugelgleichung erfüllen. Setze die Koordinaten ein und löse nach $z$ auf.
Da aber $z>8$ sein soll, gibt es nur die Lösung $z=8+\sqrt{29}$ .
Antwort: Der Punkt $P$ mit den Koordinaten $\left(6\Big\vert8+\sqrt{29}\Big\vert2\right)$ liegt auf der Kugeloberfläche.
Teilaufgabe 3
Die Gleichung für eine Tangentialebene $T$ im Punkt $P$ der Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $\mathrm M(m_1\vert m_2\vert m_3)$ lautet:
Setze $P$ und $M$ in $T$ ein:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrccl}\mathrm{T}:&\;\;\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}6\\8+\sqrt{29}\\2\end{pmatrix}\right)&\circ\left(\begin{pmatrix}6\\8+\sqrt{29}\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\8\\6\end{pmatrix}\right)&=&0\\\\&\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}6\\8+\sqrt{29}\\2\end{pmatrix}\right)&\circ\begin{pmatrix}-2\\\sqrt{29}\\-4\end{pmatrix}&=&0\end{array}$
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Antwort: Die obige Gleichung $T$ ist die Gleichung der Tangentialebene in Koordinatenform, die die Kugel $K$ im Punkt $P$ berührt.
Teilaufgabe 4
Eine zu T parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor wie die Ebene $T$ . Die rechte Seite der Ebenengleichung ist allerdings verschieden.
Eine zu $T$ parallele Ebene $T_1$ hat somit folgende Gleichung:
Die Unbekannte $a$ kannst du über die Bedingung, dass der Schnittkreisradius $r_2' = 3$ sein soll, bestimmen.
Wiederum gilt der Satz von Pythagoras: $r_2'^2=r^2-d^2\;\Rightarrow \;d^2=r^2-r_2'^2$ .
Mit $r_2' = 3$ und $r=7$ folgt: $d^2=7^2-3^2=40\;\;\Rightarrow \;d = \pm\sqrt{40}$
Da der Abstand positiv sein soll gilt: $d = \sqrt{40}$ .
Die Tangentialebene $T_1$ muss also den Abstand $d_{T_1} = \sqrt{40}$ vom Kugelmittelpunkt haben.
Erstelle von $T_1$ die Hessesche Normalenform:
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die $HNF$ von $T_1$ ein und verlange, dass der Abstand $d_{T_1} = \sqrt{40}$ sein soll.
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus $\mathrm{I}$ folgt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}&7\cdot\sqrt{40}&=&8\cdot\sqrt{29}-40-a\\\Rightarrow& a_1&=&8\cdot\sqrt{29}-7\cdot\sqrt{40}-40\end{array}$
Aus $\mathrm{II}$ folgt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}&7\cdot\sqrt{40}&=&-(8\cdot\sqrt{29}-40-a)=-8\cdot\sqrt{29}+40+a\\ \Rightarrow &a_2&=&8\cdot\sqrt{29}+7\cdot\sqrt{40}-40\end{array}$
Somit hast du zwei Lösungen gefunden.
Antwort: Es gibt zwei Ebenen die zu $T$ parallel sind und deren Schnittkreisradius mit der Kugel $r_2'=3$ beträgt.
Zusätzliche Visualisierung
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
Strategie zu Teilaufgabe 1
Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E$ . Dazu benötigst du die Hessesche Normalenform. Wandle dazu die Parameterform der Ebene $E$ in eine Koordinatenform um. Aus der Koordinatenform erhältst du die Hessesche Normalenform. Setze den Kugelmittelpunkt in die Hessesche Normalenform ein und du erhältst den Abstand $d$ des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E$ . Hier kannst du dann drei Fälle unterscheiden; die Ebene schneidet die Kugel, die Ebene berührt die Kugel oder es gibt keine gemeinsamen Punkte zwischen der Kugel und der Ebene.
Den Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises berechnest du indem du die Lotgerade von $M$ auf die Ebene $E$ mit der Ebene $E$ schneidest.
Den Radius des Schnittkreises berechnest du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
Strategie zu Teilaufgabe 2
Setze die Koordinaten von $P$ in die Kugelgleichung ein und berechne $z$ . Beachte, dass $z>8$ sein soll.
Strategie zu Teilaufgabe 3
Setze den berechneten Punkt $P$ in die Tangentialebenengleichung ein.
Strategie zu Teilaufgabe 4
Stelle die Gleichung einer zu $T$ parallelen Ebene $T_1$ mit unbekannter rechten Seite auf. Der Radius $r_2'$ des Schnittkreises soll $3$ betragen. Das liefert die Bedingung für den Abstand $d_{T_1}$ des Kugelmittelpunktes zu $T_1$ . Aus dem berechneten Abstand und der $HNF$ der Ebene $T_1$ kannst du die unbekannte rechte Seite der parallelen Ebene berechnen.
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Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung $\mathrm K:\;\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]=36$ und die Ebene ${\mathrm E}_1:\;4{\mathrm x}_1+4{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3=-22$ .
1) Zeige, dass ${\mathrm E}_1$ Tangentialebene an $K$ ist und berechne den Berührpunkt $B$ .
2) Durch ${\mathrm F}_\mathrm a:\;2\cdot{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+6\cdot{\mathrm x}_3=\mathrm a$ wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel $K$ und die Ebene ${\mathrm F}_\mathrm a$
gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von $a$ ein Schnittkreis mit Radius $\mathrm r=2{,}2$ entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.
3) Der Punkt $\mathrm A(8\vert2\vert-1)$ liegt auf $K$ . Stelle die Gleichung der Tangentialebene ${\mathrm E}_2$ in $A$ in Koordinatenform auf.
4) Die Ebenen ${\mathrm E}_1$ und ${\mathrm E}_2$ bilden eine Rinne für die Kugel $K$ , in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden $g$ an, auf der sich der Mittelpunkt $M$ der Kugel bewegt.
5) Die Ebene ${\mathrm E}_3:\;2{\mathrm x}_2-4{\mathrm x}_3=-96$ steht senkrecht zu ${\mathrm E}_1$ und ${\mathrm E}_2$ . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel $K$ vom Startpunkt aus zurücklegt, bis diese von ${\mathrm E}_3\;$ gestoppt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
Teilaufgabe 1
Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel
Um die hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors $\left|\vec {n}\right|$ . Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:
Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E_1$ beträgt $6$ und ist somit gleich dem Kugelradius $r =6.$
Antwort: Die Ebene $E_1$ ist eine Tangentialebene.
Berechnung des Berührpunktes $B$
Stelle die Gleichung der Lotgeraden von $M$ auf die Ebene $E_1$ auf, indem Du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E_1$ verwendest.
Schneide $g_{Lot}$ mit der Ebene $E_1$ :
Setze $t=-1$ in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Berührpunkt $B$ .
$\overrightarrow{\mathrm x_{B}}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-3\end{pmatrix}\\\Rightarrow\;\;\mathrm {B}\left(-2\vert -2\vert -3\right)$
Antwort: Der Berührpunkt $B$ zwischen der Kugel und der Ebene $E_1$ hat folgende Koordinaten:
Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel $K$ , die Ebene $E_1$ und der Berührpunkt $B$ .
Teilaufgabe 2
Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar $F_a$
Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebenenschar:
Die Ebenengleichung $F_a$ in Koordinatenform wird durch den Betrag des Normalenvektors $\left|\vec {n}\right|$ geteilt und Du erhältst die hessesche Normalenform.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein und verlange, dass der berechnete Abstand kleiner als der Kugelradius ist :
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus $\mathrm{I}$ folgt:
Aus $\mathrm{II}$ folgt:
Antwort: Wenn der Parameter $a$ größer als $6-6\cdot \sqrt{56}$ oder kleiner als $6+6\cdot \sqrt{56}$ ist, haben die Ebene $F_a$ und die Kugel $K$ gemeinsame Punkte, d.h. es gibt einen Schnittkreis.
Bestimmung des Parameter $a$ , so dass der Schnittkreisradius $r=2{,}2$ beträgt
Den Abstand $d$ des Mittelpunktes $\mathrm{M'}$ vom Mittelpunkt $\mathrm{M}$ berechnest Du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}d&=&\sqrt{\mathrm{r^2}-\mathrm {r'}^2}\\\\&=&\sqrt{6^2-2{,}2^2}\\\\&=&\sqrt{31{,}16}\\\\&\approx& 5{,}58 \end{array}$
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein.
(Diesen Rechenschritt hast Du schon zu Beginn der Teilaufgabe 2 gelöst.)
Verlange, dass der berechnete Abstand gleich $\sqrt{31{,}16}$ ist. Du erhältst folgende Gleichung:
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus $\mathrm{I}$ folgt:
Aus $\mathrm{II}$ folgt:
Antwort: Du hast zwei Parameter erhalten. Für $a=6-\sqrt{1744{,}96}$ bzw. $a=6+\sqrt{1744{,}96}$ haben die Ebenen $F_a$ einen Schnittkreisradius von $r=2{,}2$ .
Bestimmung des Mittelpunktes $\mathrm {M'}$ des Schnittkreises
Du berechnest die Lotgerade von $M$ auf die Ebene $F_a$ . Dazu verwendest Du den Vektor zum Kugelmittelpunkt als Stützvektor und als Richtungsvektor nimmst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $F_a$ .
Schneide $g_{Lot}$ mit der Ebene $F_a$ :
Für $a$ gibt es zwei Werte, so dass sich zwei Parameterwerte für $t$ ergeben:
Setze $\mathrm{t_1}$ in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt $\mathrm{M'_1}$ :
$\overrightarrow{\mathrm x_{M'_1}}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}-\dfrac{\sqrt{1744{,}96}}{56}\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0{,}5081\\-0{,}9838\\-5{,}4756\end{pmatrix}\\\Rightarrow\;\;\mathrm {M'_1}\left(0{,}5081\vert -0{,}9838\vert -5{,}4756\right)$
Setze $\mathrm{t_2}$ in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt $\mathrm{M'_2}$ :
$\overrightarrow{\mathrm x_{M'_2}}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+\dfrac{\sqrt{1744{,}96}}{56}\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}3{,}4919\\4{,}9838\\3{,}4756\end{pmatrix}\\\Rightarrow\;\;\mathrm {M'_2}\left(3{,}4919\vert 4{,}9838\vert 3{,}4756\right)$
Antwort: Für die Schnittkreismittelpunkte ergeben sich die gerundeten Koordinaten $\mathrm {M'_1}\left(0{,}5081\vert -0{,}9838\vert -5{,}4756\right)$ und $\mathrm {M'_2}\left(3{,}4919\vert 4{,}9838\vert 3{,}4756\right)$ .
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel $K$ , die Ebenen $F_{47{,}77}$ (türkisfarbig), $F_{-35{,}77}$ (orangefarbig) und die Schnittkreismittelpunkte $\mathrm {M'_1}$ bzw. $\mathrm {M'_2}$ .
(Der deutlich sichtbare Punkt ist $\mathrm {M'_2}$ .)
Teilaufgabe 3
Berechnung der Tangentialebenengleichung $E_2$
Die Gleichung für eine Tangentialebene $E_2$ im Punkt $A$ der Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $\mathrm M(m_1\vert m_2\vert m_3)$ lautet:
Setze $A$ und $M$ in $E_2$ ein:
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Antwort: Die Gleichung für die Tangentialebene $E_2$ im Punkt $A$ der Kugel $K$ lautet: $\;\;x_1=8$
Teilaufgabe 4
Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen $E_1$ und $E_2$
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Setze $x_1 =8$ in $E_1$ ein und löse nach $x_2$ auf:
Du hast nun $x_2$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt. Für $x_3$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet somit:
Erstelle nun die Geradengleichung $g$ auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt. Dazu liefert Dir die Geradengleichung $\mathrm{g({E_1,E_2})}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$ . Der Stützvektor der Geraden $g$ ist der Vektor zum Kugelmittelpunkt.
Antwort: Die Gleichung der Geraden $g$ auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt lautet:

Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Teilaufgabe 1

Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel

Berechnung des Mittelpunktes M′M'M′ des Schnittkreises

Bestimmung des Radius des Schnittkreises

Zusätzliche Zeichnung zur Veranschaulichung

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

Zusätzliche Visualisierung

Strategie zu Teilaufgabe 1

Strategie zu Teilaufgabe 2

Strategie zu Teilaufgabe 3

Strategie zu Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 1

Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel

Berechnung des Berührpunktes BBB

Teilaufgabe 2

Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar FaF_aFa​

Bestimmung des Parameter aaa, so dass der Schnittkreisradius r=2,2r=2{,}2r=2,2 beträgt

Bestimmung des Mittelpunktes M′\mathrm {M'}M′des Schnittkreises

Teilaufgabe 3

Berechnung der Tangentialebenengleichung E2E_2E2​

Teilaufgabe 4

Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen E1E_1E1​ und E2 E_2E2​

Berechnung des Mittelpunktes $M'$ des Schnittkreises

Berechnung des Berührpunktes $B$

Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar $F_a$

Bestimmung des Parameter $a$ , so dass der Schnittkreisradius $r=2{,}2$ beträgt

Bestimmung des Mittelpunktes $\mathrm {M'}$ des Schnittkreises

Berechnung der Tangentialebenengleichung $E_2$

Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen $E_1$ und $E_2$