Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

1

Gegeben sind eine Kugel KK mit dem Mittelpunkt  M(886)\mathrm{M}(8|8|6)  und dem Radius  r=7\mathrm r=7  sowie eine Ebene  E:  x=(353)+r(110)+s(122)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\5\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}.

1) Zeige, dass die Ebene EE und die Kugel KK mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt MM' und den Radius  r1{\mathrm r_1'} des Schnittkreises.

2) Berechne anschließend  z>8\mathrm z>8  so, dass  P(6z2)\mathrm{P}(6|\mathrm{z}|2)  auf der Kugeloberfläche liegt.

3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene TT, welche die Kugel KK im Punkt PP berührt, in der Koordinatenform.

4) Bestimme die Gleichung einer zu TT parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius  r2=3\mathrm r_2'=3  hat.

2

Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung  K:  [x(221)][x(221)]=36\mathrm K:\;\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]=36  und die Ebene  E1:  4x1+4x2+2x3=22{\mathrm E}_1:\;4{\mathrm x}_1+4{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3=-22 .

1) Zeige, dass  E1{\mathrm E}_1  Tangentialebene an KK ist und berechne den Berührpunkt BB.

2) Durch  Fa:  2x1+4x2+6x3=a{\mathrm F}_\mathrm a:\;2\cdot{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+6\cdot{\mathrm x}_3=\mathrm a  wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel KK und die Ebene  Fa{\mathrm F}_\mathrm a

gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von aa ein Schnittkreis mit Radius r=2,2\mathrm r=2{,}2  entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.

3) Der Punkt  A(821)\mathrm A(8\vert2\vert-1)  liegt auf KK. Stelle die Gleichung der Tangentialebene  E2{\mathrm E}_2  in AA in Koordinatenform auf.

4) Die Ebenen  E1{\mathrm E}_1  und  E2{\mathrm E}_2  bilden eine Rinne für die Kugel KK, in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden gg an, auf der sich der Mittelpunkt MM der Kugel bewegt.

5) Die Ebene  E3:  2x24x3=96{\mathrm E}_3:\;2{\mathrm x}_2-4{\mathrm x}_3=-96  steht senkrecht zu  E1{\mathrm E}_1  und  E2{\mathrm E}_2 . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel KK vom Startpunkt aus zurücklegt.

3

Untersuche, welche Lage die Ebene EE zur Kugel KK hat. Berechne dazu den Abstand des Kugelmittelpunktes MM von der Ebene EE.

4

Zeige, dass die Ebene E:  3x1+x22x3=16E:\; 3x_1+x_2-2x_3=16 eine Tangentialebene an die Kugel KK mit dem Mittelpunkt M(405)M(4|0|5) und dem Radius r=14r=\sqrt{14} ist. Berechne auch den Berührpunkt BB.

5

Eine Kugel KK hat den Mittelpunkt MM und den Radius r=4r=4. Der Kugelmittelpunkt liegt auf einer Geraden mit der Gleichung g:X=(261)+t(040)g:\: \vec X=\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix}. Die Ebene E:  x2=6E:\; x_2=6 berührt die Kugel KK.

Bestimme die Koordinaten eines möglichen Mittelpunktes MM der Kugel.

6

Gegeben sind eine Kugel KK mit Mittelpunkt M(312)M(3|-1|2), Radius r=11r=\sqrt{11} und eine Gerade

g:X=(205)+t(244)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}.

a

Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.

b

Gib für die beiden Schnittpunkte S1S_1 und S2S_2 jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.

c

Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen ET1E_{T_1} und ET2E_{T_2} schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.

d

Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?

7

Gegeben ist eine Kugel KK mit M(235)M(-2|3|-5), r=9r=9 und ein Punkt B(22z)B(2|2|z) mit z>0z>0 auf der Kugel.

Berechne die Koordinate zz und gib die Gleichung der Tangentialebene ETE_T im Punkt BB an.

8

Gegeben ist eine Kugel K:  (x12)2+(x23)2+(x31)2=16K:\;(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=16.

Die Ebene EE enthält den Punkt P(253)P(2|5|-3). Gib eine Bedingung an, so dass die Ebene EE eine Tangentialebene an die Kugel KK ist.

Die gesuchte Bedingung enthält den Normaleneinheitsvektor n0\vec{n}_0 der Ebene EE.

9

Gegeben sind eine Kugel KK und eine Ebene EE.

Bestimme den Parameter uu so, dass die Ebene EE eine Tangentialebene an die Kugel KK ist. Gib mögliche Berührpunkte an.


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