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Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Hier findest du Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem. Lerne, die Gleichungen rechnerisch zu bestimmen.

  1. 1

    Gegeben sind eine Kugel KK mit dem MittelpunktΒ  M(8∣8∣6)\mathrm{M}(8|8|6) Β und dem RadiusΒ  r=7\mathrm r=7 Β sowie eine EbeneΒ  E:β€…β€Šxβ†’=(353)+rβ‹…(βˆ’110)+sβ‹…(1βˆ’22)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\5\\3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}.

    1) Zeige, dass die Ebene EE und die Kugel KK mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt Mβ€²M' und den RadiusΒ  r1β€²{\mathrm r_1'} des Schnittkreises.

    2) Berechne anschließend  z>8\mathrm z>8  so, dass  P(6∣z∣2)\mathrm{P}(6|\mathrm{z}|2)  auf der KugeloberflÀche liegt.

    3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene TT, welche die Kugel KK im Punkt PP berΓΌhrt, in der Koordinatenform.

    4) Bestimme die Gleichung einer zu TT parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den RadiusΒ  r2β€²=3\mathrm r_2'=3 Β hat.

  2. 2

    Gegeben ist die Kugel K mit der GleichungΒ  K:β€…β€Š[xβ†’βˆ’(22βˆ’1)]∘[xβ†’βˆ’(22βˆ’1)]=36\mathrm K:\;\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]=36 Β und die EbeneΒ  E1:β€…β€Š4x1+4x2+2x3=βˆ’22{\mathrm E}_1:\;4{\mathrm x}_1+4{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3=-22 .

    1) Zeige, dassΒ  E1{\mathrm E}_1 Β Tangentialebene an KK ist und berechne den BerΓΌhrpunkt BB.

    2) DurchΒ  Fa:β€…β€Š2β‹…x1+4β‹…x2+6β‹…x3=a{\mathrm F}_\mathrm a:\;2\cdot{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+6\cdot{\mathrm x}_3=\mathrm a Β wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne fΓΌr welche Parameterwerte die Kugel KK und die EbeneΒ  Fa{\mathrm F}_\mathrm a

    gemeinsame Punkte haben. Bestimme fΓΌr welche Werte von aa ein Schnittkreis mit Radius r=2,2\mathrm r=2{,}2 Β entsteht und berechne die zugehΓΆrigen Kreismittelpunkte.

    3) Der PunktΒ  A(8∣2βˆ£βˆ’1)\mathrm A(8\vert2\vert-1) Β liegt auf KK. Stelle die Gleichung der TangentialebeneΒ  E2{\mathrm E}_2 Β in AA in Koordinatenform auf.

    4) Die EbenenΒ  E1{\mathrm E}_1 Β undΒ  E2{\mathrm E}_2 Β bilden eine Rinne fΓΌr die Kugel KK, in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden gg an, auf der sich der Mittelpunkt MM der Kugel bewegt.

    5) Die EbeneΒ  E3:β€…β€Š2x2βˆ’4x3=βˆ’96{\mathrm E}_3:\;2{\mathrm x}_2-4{\mathrm x}_3=-96 Β steht senkrecht zuΒ  E1{\mathrm E}_1 Β undΒ  E2{\mathrm E}_2 . Berechne die LΓ€nge der Strecke die die Kugel KK vom Startpunkt aus zurΓΌcklegt, bis diese von E3β€…β€Š{\mathrm E}_3\;gestoppt wird.