Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen
Hier findest du Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem. Lerne, die Gleichungen rechnerisch zu bestimmen.
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Gegeben sind eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(8∣8∣6) und dem Radius r=7 sowie eine Ebene E:x=353+r⋅−110+s⋅1−22.
1) Zeige, dass die Ebene E und die Kugel K mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt M′ und den Radius r1′ des Schnittkreises.
2) Berechne anschließend z>8 so, dass P(6∣z∣2) auf der Kugeloberfläche liegt.
3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene T, welche die Kugel K im Punkt P berührt, in der Koordinatenform.
4) Bestimme die Gleichung einer zu T parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius r2′=3 hat.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
Teilaufgabe 1
Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel
Wandle die Parameterform der Ebene E in eine Koordinatenform um.
Berechne den Normalenvektor der Ebene E als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt A mit dem Ortsvektor a, der in der Ebene E liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: a=353
Setze die Vektoren n und a in die allgemeine Normalenform ein und multipliziere das Skalarprodukt aus:
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Um die Hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors ∣n∣. Der Normalenvektor wurde oben mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnet. Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:
Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene E beträgt 319 und ist somit kleiner als der Kugelradius r=7. Die Ebene E schneidet somit die Kugel in einem Schnittkreis.
Antwort: Damit ist gezeigt, dass die Ebene E und die Kugel K mehr als einen Punkt gemeinsam haben.
Berechnung des Mittelpunktes M′ des Schnittkreises
Stelle die Gleichung der Lotgeraden von M auf die Ebene E auf, indem du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene E verwendest.
Schneide gLot mit der Ebene E:
Setze t=−919 in die Geradengleichung ein und du erhältst den Vektor zum Mittelpunkt M′ des Schnittkreises.
xM′=886+(−919)⋅221=934934935⇒M′(934934935)
Antwort: Der Mittelpunktes M′ des Schnittkreises hat folgende Koordinaten:
Bestimmung des Radius des Schnittkreises
Den Radius des Schnittkreises berechnest du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. (Anmerkung: In der Abbildung wird der Radius r1′ mit r′ bezeichnet.)
r1′===≈r2−d2(72−(319)2)9802,98
Antwort: Der Radius des Schnittkreises beträgt etwa 2,98.
Zusätzliche Zeichnung zur Veranschaulichung
Teilaufgabe 2
Setze die Koordinaten von P in die Kugelgleichung ein und berechne z.
Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(m1∣m2∣m3) und dem Radius r hat folgende Gleichung:
Setze die Koordinaten von M(8∣8∣6) und den Radius r=7 ein:
Wenn der Punkt P(6∣z∣2) auf der Kugeloberfläche liegen soll, müssen seine Koordinaten die Kugelgleichung erfüllen. Setze die Koordinaten ein und löse nach z auf.
Da aber z>8 sein soll, gibt es nur die Lösung z=8+29.
Antwort: Der Punkt P mit den Koordinaten (68+292) liegt auf der Kugeloberfläche.
Teilaufgabe 3
Die Gleichung für eine Tangentialebene T im Punkt P der Kugel K mit dem Mittelpunkt M(m1∣m2∣m3) lautet:
Setze P und M in T ein:
T:x−68+292x−68+292∘68+292−886∘−229−4==00
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Antwort: Die obige Gleichung T ist die Gleichung der Tangentialebene in Koordinatenform, die die Kugel K im Punkt P berührt.
Teilaufgabe 4
Eine zu T parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor wie die Ebene T. Die rechte Seite der Ebenengleichung ist allerdings verschieden.
Eine zu T parallele Ebene T1 hat somit folgende Gleichung:
Die Unbekannte a kannst du über die Bedingung, dass der Schnittkreisradius r2′=3 sein soll, bestimmen.
Wiederum gilt der Satz von Pythagoras: r2′2=r2−d2⇒d2=r2−r2′2.
Mit r2′=3 und r=7 folgt: d2=72−32=40⇒d=±40
Da der Abstand positiv sein soll gilt: d=40.
Die Tangentialebene T1 muss also den Abstand dT1=40 vom Kugelmittelpunkt haben.
Erstelle von T1 die Hessesche Normalenform:
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF von T1 ein und verlange, dass der Abstand dT1=40 sein soll.
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus I folgt:
⇒7⋅40a1==8⋅29−40−a8⋅29−7⋅40−40
Aus II folgt:
⇒7⋅40a2==−(8⋅29−40−a)=−8⋅29+40+a8⋅29+7⋅40−40
Somit hast du zwei Lösungen gefunden.
Antwort: Es gibt zwei Ebenen die zu T parallel sind und deren Schnittkreisradius mit der Kugel r2′=3 beträgt.
Zusätzliche Visualisierung
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
Strategie zu Teilaufgabe 1
Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene E. Dazu benötigst du die Hessesche Normalenform. Wandle dazu die Parameterform der Ebene E in eine Koordinatenform um. Aus der Koordinatenform erhältst du die Hessesche Normalenform. Setze den Kugelmittelpunkt in die Hessesche Normalenform ein und du erhältst den Abstand d des Kugelmittelpunktes von der Ebene E. Hier kannst du dann drei Fälle unterscheiden; die Ebene schneidet die Kugel, die Ebene berührt die Kugel oder es gibt keine gemeinsamen Punkte zwischen der Kugel und der Ebene.
Den Mittelpunkt M′ des Schnittkreises berechnest du indem du die Lotgerade von M auf die Ebene E mit der Ebene E schneidest.
Den Radius des Schnittkreises berechnest du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
Strategie zu Teilaufgabe 2
Setze die Koordinaten von P in die Kugelgleichung ein und berechne z. Beachte, dass z>8 sein soll.
Strategie zu Teilaufgabe 3
Setze den berechneten Punkt P in die Tangentialebenengleichung ein.
Strategie zu Teilaufgabe 4
Stelle die Gleichung einer zu T parallelen Ebene T1 mit unbekannter rechten Seite auf. Der Radius r2′ des Schnittkreises soll 3 betragen. Das liefert die Bedingung für den Abstand dT1des Kugelmittelpunktes zu T1. Aus dem berechneten Abstand und der HNF der Ebene T1 kannst du die unbekannte rechte Seite der parallelen Ebene berechnen.
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Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung K:x−22−1∘x−22−1=36 und die Ebene E1:4x1+4x2+2x3=−22 .
1) Zeige, dass E1 Tangentialebene an K ist und berechne den Berührpunkt B.
2) Durch Fa:2⋅x1+4⋅x2+6⋅x3=a wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel K und die Ebene Fa
gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von a ein Schnittkreis mit Radius r=2,2 entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.
3) Der Punkt A(8∣2∣−1) liegt auf K. Stelle die Gleichung der Tangentialebene E2 in A in Koordinatenform auf.
4) Die Ebenen E1 und E2 bilden eine Rinne für die Kugel K, in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden g an, auf der sich der Mittelpunkt M der Kugel bewegt.
5) Die Ebene E3:2x2−4x3=−96 steht senkrecht zu E1 und E2 . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel K vom Startpunkt aus zurücklegt, bis diese von E3gestoppt wird.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
Teilaufgabe 1
Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel
Um die hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors ∣n∣. Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:
Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene E1 beträgt 6 und ist somit gleich dem Kugelradius r=6.
Antwort: Die Ebene E1 ist eine Tangentialebene.
Berechnung des Berührpunktes B
Stelle die Gleichung der Lotgeraden von M auf die Ebene E1 auf, indem Du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor n der Ebene E1 verwendest.
Schneide gLot mit der Ebene E1:
Setze t=−1 in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Berührpunkt B.
xB=22−1+(−1)⋅442=−2−2−3⇒B(−2∣−2∣−3)
Antwort: Der Berührpunkt B zwischen der Kugel und der Ebene E1 hat folgende Koordinaten:
Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel K, die Ebene E1 und der Berührpunkt B.
Teilaufgabe 2
Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar Fa
Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebenenschar:
Die Ebenengleichung Fa in Koordinatenform wird durch den Betrag des Normalenvektors ∣n∣ geteilt und Du erhältst die hessesche Normalenform.
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein und verlange, dass der berechnete Abstand kleiner als der Kugelradius ist :
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus I folgt:
Aus II folgt:
Antwort: Wenn der Parameter a größer als 6−6⋅56 oder kleiner als 6+6⋅56 ist, haben die Ebene Fa und die Kugel K gemeinsame Punkte, d.h. es gibt einen Schnittkreis.
Bestimmung des Parameter a, so dass der Schnittkreisradius r=2,2 beträgt
Den Abstand d des Mittelpunktes M′ vom Mittelpunkt M berechnest Du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
d===≈r2−r′262−2,2231,165,58
Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein.
(Diesen Rechenschritt hast Du schon zu Beginn der Teilaufgabe 2 gelöst.)
Verlange, dass der berechnete Abstand gleich 31,16 ist. Du erhältst folgende Gleichung:
Führe nun eine Fallunterscheidung durch:
Aus I folgt:
Aus II folgt:
Antwort: Du hast zwei Parameter erhalten. Für a=6−1744,96 bzw. a=6+1744,96 haben die Ebenen Fa einen Schnittkreisradius von r=2,2.
Bestimmung des Mittelpunktes M′des Schnittkreises
Du berechnest die Lotgerade von M auf die Ebene Fa. Dazu verwendest Du den Vektor zum Kugelmittelpunkt als Stützvektor und als Richtungsvektor nimmst Du den Normalenvektor n der Ebene Fa.
Schneide gLot mit der Ebene Fa:
Für a gibt es zwei Werte, so dass sich zwei Parameterwerte für t ergeben:
Setze t1 in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt M1′:
xM1′=22−1−561744,96⋅246≈0,5081−0,9838−5,4756⇒M1′(0,5081∣−0,9838∣−5,4756)
Setze t2 in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt M2′:
xM2′=22−1+561744,96⋅246≈3,49194,98383,4756⇒M2′(3,4919∣4,9838∣3,4756)
Antwort: Für die Schnittkreismittelpunkte ergeben sich die gerundeten Koordinaten M1′(0,5081∣−0,9838∣−5,4756) und M2′(3,4919∣4,9838∣3,4756).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.
Dargestellt sind die Kugel K, die Ebenen F47,77 (türkisfarbig), F−35,77 (orangefarbig) und die Schnittkreismittelpunkte M1′ bzw. M2′.
(Der deutlich sichtbare Punkt ist M2′.)
Teilaufgabe 3
Berechnung der Tangentialebenengleichung E2
Die Gleichung für eine Tangentialebene E2 im Punkt A der Kugel K mit dem Mittelpunkt M(m1∣m2∣m3) lautet:
Setze A und M in E2 ein:
Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:
Antwort: Die Gleichung für die Tangentialebene E2 im Punkt A der Kugel K lautet: x1=8
Teilaufgabe 4
Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2
Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Setze x1=8 in E1 ein und löse nach x2 auf:
Du hast nun x2 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Für x3 kannst Du z. B. den Parameter t setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet somit:
Erstelle nun die Geradengleichung g auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt. Dazu liefert Dir die Geradengleichung g(E1,E2) den Richtungsvektor der Geraden g. Der Stützvektor der Geraden g ist der Vektor zum Kugelmittelpunkt.
Antwort: Die Gleichung der Geraden g auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt lautet: