Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

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Gegeben ist eine Kugel $K$ mit $M (- 2 | 3 | - 5)$ , $r = 9$ und ein Punkt $B (2 | 2 | z)$ mit $z > 0$ auf der Kugel.

Berechne die Koordinate $z$ und gib die Gleichung der Tangentialebene $E_{T}$ im Punkt $B$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Aufstellen der Kugelgleichung

Kugel $K$ :

$M (- 2 | 3 | - 5)$ ; $r = 9$

$K : (\vec{x} - \vec{m})^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Setze den Mittelpunkt $M (- 2 \| 3 \| - 5)$ und $r = 9$ ein.
${(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 5 \end{array}))}^{2}$	$=$	$9^{2}$

Setze den Punkt $B (2 | 2 | z)$ nun in die Kugelgleichung ein:

${((\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ z \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 5 \end{array}))}^{2}$	$=$	$81$
	↓	Vereinfache.
${(\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ z + 5 \end{array})}^{2}$	$=$	$81$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$4^{2} + (- 1)^{2} + (z + 5)^{2}$	$=$	$81$
	↓	Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$16 + 1 + z^{2} + 10 z + 25$	$=$	$81$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$z^{2} + 10 z + 42$	$=$	$81$	$- 81$
$z^{2} + 10 z - 39$	$=$	$0$

Du hast die quadratische Gleichung $z^{2} + 10 z - 39 = 0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die Formel ein: $p = 10$ und $q = - 39$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 10$ und $q = - 39$ ein.
	$=$	$- \frac{10}{2} \pm \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} - (- 39)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 39}$
	$=$	$- 5 \pm \sqrt{64}$
	$=$	$- 5 \pm 8$

Fall -

$z_{1} = - 5 - 8 = - 13$ . Diese Lösung entfällt wegen $z > 0$ .

Fall +

$z_{2} = - 5 + 8 = 3$

Setze $z = 3$ in $B (2 | 2 | z)$ ein.

Antwort: Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B (2 | 2 | 3)$ .

Tangentialebene $E_{T}$

Setze $B (2 | 2 | 3)$ und $M (- 2 | 3 | - 5)$ in die Gleichung der Tangentialebene ein.

$E_{T} : (\vec{x} - \vec{b}) \circ (\vec{b} - \vec{m})$	$=$	$0$
	↓	Setze $B (2 \| 2 \| 3)$ und $M (- 2 \| 3 \| - 5)$ ein.
$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array})) \circ ((\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ - 5 \end{array}))$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 8 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
$((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 8 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$(\begin{array}{c} x_{1} - 2 \\ x_{2} - 2 \\ x_{3} - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 8 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
$(x_{1} - 2) \cdot 4 + (x_{2} - 2) \cdot (- 1) + (x_{3} - 3) \cdot 8$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$4 x_{1} - 8 - x_{2} + 2 + 8 x_{3} - 24$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$4 x_{1} - x_{2} + 8 x_{3} - 30$	$=$	$0$

Antwort: Die Gleichung der Tangentialebene $E_{T}$ lautet: $4 x_{1} - x_{2} + 8 x_{3} = 30$

Erstelle die Kugelgleichung und setze für $\vec{x}$ den Punkt $B$ ein. Berechne $z$ . Mit dem Punkt $B$ und dem Kugelmittelpunkt $M$ kannst du die Tangentialebene $E$ aufstellen.

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→ Was bedeutet das?

Aufstellen der Kugelgleichung

Kugel K:

Tangentialebene ET

Kugel $K$ :

Tangentialebene $E_{T}$