Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Gegeben ist eine Kugel $K$ mit $M(-2|3|-5)$ , $r=9$ und ein Punkt $B(2|2|z)$ mit $z>0$ auf der Kugel.

Berechne die Koordinate $z$ und gib die Gleichung der Tangentialebene $E_T$ im Punkt $B$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Aufstellen der Kugelgleichung

Kugel $K$ :

$\textcolor{ff6600}{M(-2|3|-5)}$ ; $\textcolor{006400}{r=9}$

$\displaystyle K:\ (\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\vec{m}})^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{006400}{r}^2$
	↓	Setze den Mittelpunkt $\textcolor{ff6600}{M(-2\|3\|-5)}$ und $\textcolor{006400}{r=9}$ ein.
$\displaystyle \left(\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}-2\\3\\-5\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{006400}{9}^2$

Setze den Punkt $\textcolor{660099}{B(2|2|z)}$ nun in die Kugelgleichung ein:

$\displaystyle \left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}2\\2\\z\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}-2\\3\\-5\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 81$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\-1\\z+5\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 81$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 4^2+(-1)^2+(z+5)^2$	$=$	$\displaystyle 81$
	↓	Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 16+1+z^2+10z+25$	$=$	$\displaystyle 81$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle z^2+10z+42$	$=$	$\displaystyle 81$	$\displaystyle -81$
$\displaystyle z^2+10z-39$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Gleichung $z^2+10z-39=0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die Formel ein: $p=10$ und $q=-39$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=10$ und $q=-39$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{10}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2-(-39)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -5\pm\sqrt{5^2+39}$
	$=$	$\displaystyle -5\pm\sqrt{64}$
	$=$	$\displaystyle -5\pm8$

Fall -

$z_1=-5-8=-13$ . Diese Lösung entfällt wegen $z>0$ .

Fall +

$z_2=-5+8=3$

Setze $z=3$ in $B(2|2|z)$ ein.

Antwort: Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B(2|2|3)$ .

Tangentialebene $E_T$

Setze $B(2|2|3)$ und $M(-2|3|-5)$ in die Gleichung der Tangentialebene ein.

$\displaystyle E_T:\ \left(\vec{x}-\vec{\textcolor{660099}{b}}\right)\circ\left(\vec{\textcolor{660099}{b}}-\vec{\textcolor{ff6600}{m}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $\textcolor{660099}{B(2\|2\|3)}$ und $\textcolor{ff6600}{M(-2\|3\|-5)}$ ein.
$\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}}\right)\circ \left(\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{ \begin{pmatrix}-2\\3\\-5\end{pmatrix}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{660099}{ \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}}\right)\circ \begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-2\\x_2-2\\x_3-3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (x_1-2)\cdot4+(x_2-2)\cdot(-1)+(x_3-3)\cdot8$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 4x_1-8-x_2+2+8x_3-24$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 4x_1-x_2+8x_3-30$	$=$	$\displaystyle 0$

Antwort: Die Gleichung der Tangentialebene $E_T$ lautet: $4x_1-x_2+8x_3=30$

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Aufstellen der Kugelgleichung

Kugel KKK:

Tangentialebene ETE_TET​

Kugel $K$ :

Tangentialebene $E_T$