Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Gegeben sind eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (8 | 8 | 6)$ und dem Radius $r = 7$ sowie eine Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ .

1) Zeige, dass die Ebene $E$ und die Kugel $K$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben und berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ und den Radius $r_{1}^{'}$ des Schnittkreises.

2) Berechne anschließend $z > 8$ so, dass $P (6 | z | 2)$ auf der Kugeloberfläche liegt.

3) Ermittle die Gleichung der Tangentialebene $T$ , welche die Kugel $K$ im Punkt $P$ berührt, in der Koordinatenform.

4) Bestimme die Gleichung einer zu $T$ parallelen Ebene in Koordinatenform, deren Schnittkreis mit der Kugel den Radius $r_{2}^{'} = 3$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel

Teilaufgabe 1

Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel

Wandle die Parameterform der Ebene $E$ in eine Koordinatenform um.

E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

\vec{n} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \cdot 2 - 0 \cdot (- 2) \\ 0 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2 \\ (- 1) \cdot (- 2) - 1 \cdot 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})

Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$ , der in der Ebene $E$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec{a} = (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 3 \end{array})$

Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein und multipliziere das Skalarprodukt aus:

E : \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 3 \end{array})] = 0

Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:

2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - (2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 3) = 0 \Rightarrow

2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 19 = 0

Um die Hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors $| \vec{n} |$ . Der Normalenvektor wurde oben mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnet. Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.

\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow | \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3

H N F : \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 19}{3} = 0

Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:

\begin{array}{rcl} d (M, E) & = & | \frac{2 \cdot 8 + 2 \cdot 8 + 1 \cdot 6 - 19}{3} | \\ = & | \frac{19}{3} | \\ = & \frac{19}{3} \end{array}

Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E$ beträgt $\frac{19}{3}$ und ist somit kleiner als der Kugelradius $r = 7.$ Die Ebene $E$ schneidet somit die Kugel in einem Schnittkreis.

Antwort: Damit ist gezeigt, dass die Ebene $E$ und die Kugel $K$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben.

Berechnung des Mittelpunktes $M^{'}$ des Schnittkreises

Stelle die Gleichung der Lotgeraden von $M$ auf die Ebene $E$ auf, indem du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ verwendest.

g_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 6 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})

Schneide $g_{L o t}$ mit der Ebene $E$ :

\begin{array}{rcl} 2 \cdot (8 + 2 t) + 2 \cdot (8 + 2 t) + 1 \cdot (6 + t) - 19 & = & 0 \\ 16 + 4 t + 16 + 4 t + 6 + t - 19 & = & 0 \\ 9 t & = & - 19 \\ t & = & - \frac{19}{9} \end{array}

Setze $t = - \frac{19}{9}$ in die Geradengleichung ein und du erhältst den Vektor zum Mittelpunkt $M^{'}$ des Schnittkreises.

$\begin{array}{l} \vec{x_{M^{'}}} = (\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 6 \end{array}) + (- \frac{19}{9}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{34}{9} \\ \frac{34}{9} \\ \frac{35}{9} \end{array}) \\ \Rightarrow M^{'} (\frac{34}{9} | \frac{34}{9} | \frac{35}{9}) \end{array}$

Antwort: Der Mittelpunktes $M^{'}$ des Schnittkreises hat folgende Koordinaten:

M^{'} (\frac{34}{9} | \frac{34}{9} | \frac{35}{9})

Bestimmung des Radius des Schnittkreises

Den Radius des Schnittkreises berechnest du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. (Anmerkung: In der Abbildung wird der Radius $r_{1}^{'}$ mit $r^{'}$ bezeichnet.)

$\begin{array}{rcl} r_{1}^{'} & = & \sqrt{r^{2} - d^{2}} \\ = & \sqrt{(7^{2} - (\frac{19}{3})^{2})} \\ = & \sqrt{\frac{80}{9}} \\ \approx & 2,98 \end{array}$

Antwort: Der Radius des Schnittkreises beträgt etwa 2,98.

Zusätzliche Zeichnung zur Veranschaulichung

Teilaufgabe 2

Setze die Koordinaten von $P$ in die Kugelgleichung ein und berechne $z$ .

Die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (m_{1} | m_{2} | m_{3})$ und dem Radius $r$ hat folgende Gleichung:

K : (x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}

Setze die Koordinaten von $M (8 | 8 | 6)$ und den Radius $r = 7$ ein:

K : (x_{1} - 8)^{2} + (x_{2} - 8)^{2} + (x_{3} - 6)^{2} = 7^{2} = 49

Wenn der Punkt $P (6 | z | 2)$ auf der Kugeloberfläche liegen soll, müssen seine Koordinaten die Kugelgleichung erfüllen. Setze die Koordinaten ein und löse nach $z$ auf.

\begin{array}{rcl} (6 - 8)^{2} + (z - 8)^{2} + (2 - 6)^{2} & = & 49 \\ 4 + (z - 8)^{2} + 16 & = & 49 \\ (z - 8)^{2} & = & 29 \\ z_{1 / 2} & = & 8 \pm \sqrt{29} \end{array}

Da aber $z > 8$ sein soll, gibt es nur die Lösung $z = 8 + \sqrt{29}$ .

Antwort: Der Punkt $P$ mit den Koordinaten $(6 | 8 + \sqrt{29} | 2)$ liegt auf der Kugeloberfläche.

Teilaufgabe 3

Die Gleichung für eine Tangentialebene $T$ im Punkt $P$ der Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (m_{1} | m_{2} | m_{3})$ lautet:

T : (\vec{x} - \vec{p}) \circ (\vec{p} - \vec{m}) = 0

Setze $P$ und $M$ in $T$ ein:

$\begin{array}{rrccl} T : & (\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 8 + \sqrt{29} \\ 2 \end{array})) & \circ ((\begin{array}{c} 6 \\ 8 + \sqrt{29} \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 6 \end{array})) & = & 0 \\ (\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 8 + \sqrt{29} \\ 2 \end{array})) & \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ \sqrt{29} \\ - 4 \end{array}) & = & 0 \end{array}$

Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:

\begin{array}{rccl} - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} - (6 \cdot (- 2) + (8 + \sqrt{29}) \cdot \sqrt{29} + 2 \cdot (- 4)) & = & 0 \\ - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} - (- 12 + 8 \cdot \sqrt{29} + 29 - 8) & = & 0 \\ - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} - (9 + 8 \cdot \sqrt{29}) & = & 0 \\ - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} & = & (9 + 8 \cdot \sqrt{29}) \end{array}

T : - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} = (9 + 8 \cdot \sqrt{29})

Antwort: Die obige Gleichung $T$ ist die Gleichung der Tangentialebene in Koordinatenform, die die Kugel $K$ im Punkt $P$ berührt.

Teilaufgabe 4

Eine zu T parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor wie die Ebene $T$ . Die rechte Seite der Ebenengleichung ist allerdings verschieden.

Eine zu $T$ parallele Ebene $T_{1}$ hat somit folgende Gleichung:

T_{1} : - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} = a

Die Unbekannte $a$ kannst du über die Bedingung, dass der Schnittkreisradius $r_{2}^{'} = 3$ sein soll, bestimmen.

Wiederum gilt der Satz von Pythagoras: $r_{2}^{' 2} = r^{2} - d^{2} \Rightarrow d^{2} = r^{2} - r_{2}^{' 2}$ .

Mit $r_{2}^{'} = 3$ und $r = 7$ folgt: $d^{2} = 7^{2} - 3^{2} = 40 \Rightarrow d = \pm \sqrt{40}$

Da der Abstand positiv sein soll gilt: $d = \sqrt{40}$ .

Die Tangentialebene $T_{1}$ muss also den Abstand $d_{T_{1}} = \sqrt{40}$ vom Kugelmittelpunkt haben.

Erstelle von $T_{1}$ die Hessesche Normalenform:

\begin{array}{rrcl} H N F_{T_{1}} : & \frac{- 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} - a}{\sqrt{(- 2)^{2} + (\sqrt{29})^{2} + (- 4)^{2}}} & = & 0 \\ \frac{- 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} - a}{\sqrt{4 + 29 + 16}} & = & 0 \\ \frac{- 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} - a}{\sqrt{49}} & = & 0 \\ \frac{- 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} - a}{7} & = & 0 \end{array}

Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die $H N F$ von $T_{1}$ ein und verlange, dass der Abstand $d_{T_{1}} = \sqrt{40}$ sein soll.

\begin{array}{rcll} d_{T_{1}} & = & | \frac{- 2 \cdot 8 + \sqrt{29} \cdot 8 - 4 \cdot 6 - a}{7} | \\ \sqrt{40} & = & | \frac{- 2 \cdot 8 + \sqrt{29} \cdot 8 - 4 \cdot 6 - a}{7} | \\ \sqrt{40} & = & | \frac{- 16 + \sqrt{29} \cdot 8 - 24 - a}{7} | \\ \sqrt{40} & = & | \frac{\sqrt{29} \cdot 8 - 40 - a}{7} | & | \cdot 7 \\ 7 \cdot \sqrt{40} & = & | 8 \cdot \sqrt{29} - 40 - a | \end{array}

Führe nun eine Fallunterscheidung durch:

I : 8 \cdot \sqrt{29} - 40 - a > 0

II : 8 \cdot \sqrt{29} - 40 - a < 0

Aus $I$ folgt:

$\begin{array}{rrcl} 7 \cdot \sqrt{40} & = & 8 \cdot \sqrt{29} - 40 - a \\ \Rightarrow & a_{1} & = & 8 \cdot \sqrt{29} - 7 \cdot \sqrt{40} - 40 \end{array}$

Aus $II$ folgt:

$\begin{array}{rcl} 7 \cdot \sqrt{40} & = & - (8 \cdot \sqrt{29} - 40 - a) = - 8 \cdot \sqrt{29} + 40 + a \\ \Rightarrow & a_{2} & = & 8 \cdot \sqrt{29} + 7 \cdot \sqrt{40} - 40 \end{array}$

Somit hast du zwei Lösungen gefunden.

Antwort: Es gibt zwei Ebenen die zu $T$ parallel sind und deren Schnittkreisradius mit der Kugel $r_{2}^{'} = 3$ beträgt.

T_{1} : - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} = 8 \cdot \sqrt{29} - 7 \cdot \sqrt{40} - 40

T_{2} : - 2 x_{1} + \sqrt{29} x_{2} - 4 x_{3} = 8 \cdot \sqrt{29} + 7 \cdot \sqrt{40} - 40

Zusätzliche Visualisierung

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Teilaufgabe 1

Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel

Berechnung des Mittelpunktes $M^{'}$ des Schnittkreises

Bestimmung des Radius des Schnittkreises

Zusätzliche Zeichnung zur Veranschaulichung

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

Zusätzliche Visualisierung

Strategie zu Teilaufgabe 1

Strategie zu Teilaufgabe 2

Strategie zu Teilaufgabe 3

Strategie zu Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 1

Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel

Berechnung des Mittelpunktes M′ des Schnittkreises

Bestimmung des Radius des Schnittkreises

Zusätzliche Zeichnung zur Veranschaulichung

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

Zusätzliche Visualisierung

Strategie zu Teilaufgabe 1

Strategie zu Teilaufgabe 2

Strategie zu Teilaufgabe 3

Strategie zu Teilaufgabe 4

Berechnung des Mittelpunktes $M^{'}$ des Schnittkreises