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Kurs

Abiturkurs Geometrie

18Hessesche Normalenform

Variante 1

Die Ebene ist in Koordinatenform gegeben.

Um die hessesche Normalenform dieser Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors.

Ebenengleichung in Koordinatenform:

E:ax1+bx2+cx3=d\displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d

Normalenvektor dieser Ebene: n⃗=(abc)\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}

Betrag des Normalenvektors: ∣n⃗∣=a2+b2+c2|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Dann ist die hessesche Normalenform:

EHNF:  x⃗∘n⃗−da2+b2+c2=0\displaystyle E_{HNF}:\;\frac{\vec{x}\circ\vec{n}-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0

(Der Kreis ∘\circ bezeichnet hier das Skalarprodukt.)

und man erhält ausmultipliziert:

EHNF:  ax1+bx2+cx3−d∣n⃗∣=ax1+bx2+cx3−da2+b2+c2=0\displaystyle E_{HNF}:\;\frac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{|\vec{n}|}=\frac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0

Beispiel Variante 1

Die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene EE ist:

E:3x1−2x2+6x3=14\displaystyle E:3x_1-2x_2+6x_3=14

Der Normalenvektor der Ebene ist n⃗=(3−26)\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}

Berechne den Betrag des Normalenvektors:

∣n⃗∣\displaystyle |\vec{n}|==32+(−2)2+62\displaystyle \sqrt{3^2+(-2)^2+6^2}
↓

Berechne die Quadrate.

==9+4+36\displaystyle \sqrt{9+4+36}
↓

Fasse zusammen.

==49\displaystyle \sqrt{49}
↓

Ziehe die Wurzel.

==7\displaystyle 7

Der Betrag des Normalenvektors ist 77.

EHNF:  ax1+bx2+cx3−d∣n⃗∣\displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{|\vec{n}|}==0\displaystyle 0
↓

Setze die Ebene E:3x1−2x2+6x3=14E:3x_1-2x_2+6x_3=14 und ∣n⃗∣=7 |\vec{n}|=7 ein.

3x1−2x2+6x3−147\displaystyle \dfrac{3x_1-2x_2+6x_3-14}{7}==0\displaystyle 0
↓

Nach dem Distributivgesetz kann man aber auch jeden Summanden durch 7 teilen.

37x1−27x2+67x3−147\displaystyle \dfrac{3}{7}x_1-\dfrac{2}{7}x_2+\dfrac{6}{7}x_3-\dfrac{14}{7}==0\displaystyle 0
↓

Kürze.

37x1−27x2+67x3−2\displaystyle \dfrac{3}{7}x_1-\dfrac{2}{7}x_2+\dfrac{6}{7}x_3-2==0\displaystyle 0

Die hessesche Normalform der Ebene lautet:

EHNF:  3x1−2x2+6x3−147=0\displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{3x_1-2x_2+6x_3-14}{7}=0

oder

EHNF:  37x1−27x2+67x3−2=0\displaystyle E_{HNF}:\;\frac{3}{7}x_1-\frac{2}{7}x_2+\frac{6}{7}x_3-2=0

Variante 2

Die Ebene ist in Parameterform gegeben.

Um die hessesche Normalform dieser Ebene zu ermitteln, berechnet man den Normalenvektor n⃗\vec n über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren und setzt ihn dann in die Gleichung ein:

EHNF:  n⃗∣n⃗∣∘[(x1x2x3)−(a1a2a3)]=0\displaystyle E_{HNF}:\;\frac {\vec n}{\left|\vec n\right|}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]=0

Dabei ist (a1a2a3)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}der Ortsvektor eines (beliebigen) Punktes in der Ebene.

Beispiel Variante 2

Die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene EE ist:

E:X→=(123)+r⋅(321)+s⋅(222)E:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

Berechne das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

n⃗=(321)×(222)=(2−42)\vec n=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}

Berechne den Betrag des Normalenvektors:

∣n⃗∣\displaystyle |\vec{n}|==22+(−4)2+22\displaystyle \sqrt{2^2+(-4)^2+2^2}
↓

Berechne die Quadrate.

==4+16+4\displaystyle \sqrt{4+16+4}
↓

Fasse zusammen.

==24\displaystyle \sqrt{24}

Der Betrag des Normalenvektors ist 24\sqrt{24}.

Setze in die Gleichung ein:

EHNF:  n⃗∣n⃗∣∘[(x1x2x3)−(a1a2a3)]\displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac {\vec n}{\left|\vec n\right|}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]==0\displaystyle 0
↓

Setze den Aufpunkt (1∣2∣3) (1|2|3), n⃗=(2−42)\vec n=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix} und ∣n⃗∣=24 |\vec{n}|=\sqrt{24} ein.

124(2−42)∘[(x1x2x3)−(123)]\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{24}}\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]==0\displaystyle 0

Die hessesche Normalform der Ebene lautet:

EHNF:  124(2−42)∘[(x1x2x3)−(123)]=0\displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{1}{\sqrt{24}}\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0

oder ausmultipliziert:

EHNF:  2x1−4x2+2x324=0\displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{2x_1-4x_2+2x_3}{\sqrt{24}}=0

Hinweis: Auf der rechten Seite steht als Skalarprodukt des Normalenvektors und des Aufpunkts eine Null. Das bedeutet, dass die Ebene durch den Ursprung geht.


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