Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen
Hier findest du Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen. Lerne, die Lagebeziehung zu untersuchen und lineare Gleichungssysteme zu lösen!
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Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.
E1:−x1+2⋅x2+x3=1
E2:x1+4⋅x2+3⋅x3=7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−x1x1++2⋅x24⋅x2++x33⋅x3==17
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−x1x1++2⋅x24⋅x2++x33⋅x3==17
Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,
z.B. die erste Gleichung nach x3.
(I) −x1+2x2+x3 = 1 +x1−2x2 (I′) x3 = 1+x1−2x2 Setze dies in die Gleichung (II) ein.
(I′) in (II):
(II) x1+4x2+3x3 = 7 ↓ Setze x3=1+x1−2x2 ein.
x1+4x2+3⋅(1+x1−2x2) = 7 ↓ Multipliziere die Klammer aus.
x1+4x2+3+3x1−6x2 = 7 ↓ Fasse zusammen.
4x1−2x2+3 = 7 −3 ↓ Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.
4x1−2x2 = 4 −4x1 ↓ Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach x2.
−2x2 = 4−4x1 :(−2) (II′) x2 = −2+2x1 Setze dies wiederum in (I′) ein.
(II′) in (I′):
(I′) x3 = 1+x1−2x2 ↓ Setze x2=−2+2x1 ein.
x3 = 1+x1−2⋅(−2+2x1) ↓ Löse die Klammer auf.
x3 = 1+x1+4−4x1 ↓ Fasse zusammen.
x3 = 5−3x1 Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung (I′) nun erhalten hast.
⇒(I′′)x3=5−3x1
Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt. Das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.
Du hast jedoch mit den Gleichungen (II′) und (I′′) das Gleichungssystem so umgeformt, dass du x2 und x3 in Abhängigkeit von x1 dargestellt hast.
(II′)(I′′)x2x3==−25+−2x13x1
Betrachte nun x1 als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneter Weise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.
Setze t=x1. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===t−2+2t5−3t
Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.
L={(t∣−2+2t∣5−3t) t∈R}
Gleichung der Schnittgerade angeben
Mit Vektoren geschrieben, sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−4⋅x1+3⋅x2+2⋅x3=5
E2:2⋅x1+x2−x3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−4⋅x12⋅x1++3⋅x2x2+−2⋅x3x3==50
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−4x12x1++3x21⋅x2+−2x31⋅x3==50
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren. Zum Beispiel: Durch die Rechnung (I)+2(II) eliminierst du sogar 2 Unbekannte.
(I)+2⋅(II)−4x12x1++3x21⋅x2+−2x31⋅x3==50
0x1+5x2+0x3=5
Löse die entstandene Gleichung nach der verbleibenden Variable x2 auf.
5x2 = 5 :5 x2 = 1 Setze x2=1 in (I) ein, um x1 oder x3 in Abhängigkeit zueinander darzustellen:
(I) −4x1+3x2+2x3 = 5 ↓ Setze x2=1 ein.
−4x1+3⋅1+2x3 = 5 −4x1+3+2x3 = 5 −3 ↓ Drücke x1 in Abhängigkeit von x3 aus und bringe alle Terme ohne x1 auf die rechte Seite.
−4x1+2x3 = 2 −2x3 −4x1 = 2−2x3 :(−4) x1 = −42+42x3 ↓ Kürze die Brüche.
x1 = −21+21x3 Wähle nun x3=t. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===−21+21t1t
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
L={(−0,5+0,5t∣1∣t)∣ t∈R}
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−x1+2⋅x2−2⋅x3=5
E2:2⋅x1−4⋅x2+4⋅x3=−10
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−x12x1+−2x24x2−+2x34x3==5−10
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−x12x1+−2x24x2−+2x34x3==5−10
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 2(I)+(II)
2⋅(I)+(II)−x12x1+−2x24x2−+2x34x3==5−10
0x1+0x2+0x3=0
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (0=0), sind die beiden Gleichungen (I) und (II) identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Lösung: Die Ebenen sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−x1+2⋅x2+x3=1
E2:2⋅x1−4⋅x2−2⋅x3=−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−x12x1+−2x24x2−−x32x3==1−5
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−x12x1+−2x24x2−−x32x3==1−5
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 2(I)+(II)
2⋅(I)+(II)−x12x1+−2x24x2−−x32x3==1−5
0x1+0x2+0x3=−3
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen (I) und (II) ergibt, ist immer falsch (0=−3). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:x1+x2−x3−1=0
E2:4⋅x1−x2−x3−3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:x1E2:4⋅x1+−x2x2−−x3x3−−13==00
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)x14⋅x1+−x2x2−−x3x3==13
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: (I)+(II)
(I)+(II)x14⋅x1+−x2x2−−x3x3==13
=(I′)5x1+0x2−2x3=4
Die neu entstandene Gleichung (I′) kannst du nun nach x1 auflösen.
(I′) 5x1−2x3 = 4 +2x3 5x1 = 4+2x3 :5 x1 = 54+52x3 ↓ Wandle in Dezimalbrüche um.
(II′) x1 = 0,8 +0,4x3 Nun hast du x1 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Stelle nun auch noch x2 in Abhängigkeit von x3 dar. Setze dafür zum Beispiel Gleichung (II′) in Gleichung (I) ein und löse nach x2 auf:
(II′) in (I):
x1+x2−x3 = 1 ↓ Setze x1=0,8+0,4x3 ein.
(0,8+0,4x3)+x2−x3 = 1 ↓ Löse die Klammer auf.
0,8+0,4x3+x2−x3 = 1 ↓ Vereinfache.
0,8+x2−0,6x3 = 1 −0,8+0,6x3 ↓ Löse nach x2 auf.
x2 = 0,2+0,6x3 Wähle nun x3=t. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===0,8+0,4t0,2+0,6tt
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:2⋅x1−3⋅x2+x3=2
E2:−6⋅x1+9⋅x2−3⋅x3=5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:2x1E2:−6x1−+3x29x2+−x33x3==25
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)(II)2x1−6x1−+3x29x2+−x33x3==25
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 3⋅(I)+(II)
3⋅(I)+(II)2x1−6x1−+3x29x2+−x33x3==25
0x1+0x2+0x3=11
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen (I) und (II) ergibt, ist immer falsch (0=11). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−x1+2⋅x2+5⋅x3=10
E2:2⋅x1−4⋅x2+x3=4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:−x1E2:2x1+−2x24x2++5x3x3==104
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)(II)−x12x1+−2x24x2++5x3x3==104
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 2⋅(I)+(II)
+=2⋅(I)(II)(I′)−x12x10x1+−+2x24x20x2+++5x3x311x3===10424
Löse die entstandene Gleichung nach x3 auf.
11x3 = 24 :11 x3 = 1124 Setze nun Gleichung x3 z. B. in Gleichung (I) ein und löse nach x1 auf:
(I) −x1+2x2+5x3 = 10 ↓ Setze x3=1124 ein.
−x1+2x2+5⋅1124 = 10 −x1+2x2+11120 = 10 +x1−10 ↓ Löse nach x1 auf.
2x2+11120−10 = x1 ↓ Addiere die Zahlen.
2x2+11120−11110 = x1 2x2+1110 = x1 Du hast nun x1in Abhängigkeit von x2 dargestellt. Für x2 kannst Du z. B. den Parameter t setzen. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===1110+2tt1124
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:31⋅x1+61⋅x2+21⋅x3=1
E2:2⋅x1+x2+3⋅x3−6=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:31x1E2:2x1++61x2x2++21x33x3=−6=10
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Forme E2 noch so um, dass die 6 auf der rechten Seite steht.
(I)(II)31x12x1++61x2x2++21x33x3==16
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 6⋅(I)−(II)
−6⋅(I)(II)31x12x10x1+++61x2x20x2+++21x33x30x3===160
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (0=0), sind die beiden Gleichungen (I) und (II) identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:5⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=30
E2:10⋅x1+7⋅x2−12⋅x3=45
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:E2:5x110x1++2x27x2+−3x312x3==3045
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)(II)5x110x1++2x27x2+−3x312x3==3045
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: (−2)⋅(I)+(II)
+(−2)(I)(II)5x110x10x1+++2x27x23x2+−−3x312x318x3===3045−15
Löse die entstandene Gleichung nach x2 oder x3 auf. Auflösen nach x2 ergibt:
3x2−18x3 = −15 +18x3 3x2 = −15+18x3 :3 (II′) x2 = −5+6x3 Setze nun die neue Gleichung (II′) z. B. in Gleichung (I) ein und löse nach x1 auf:
5x1+2x2+3x3 = 30 ↓ Setze x2=−5+6x3 ein.
5x1+2⋅(−5+6x3)+3x3 = 30 5x1−10+12x3+3x3 = 30 ↓ Fasse zusammen.
5x1−10+15x3 = 30 +10−15x3 ↓ Löse nach x1 auf.
5x1 = 40−15x3 :5 x1 = 8−3x3 Du hast nun x1und x2 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Für x3 kannst Du z. B. den Parameter t setzen.
x1x2x3===8−3t−5+6tt
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−2⋅x1+3⋅x2+4⋅x3=12
E2:x1+4⋅x2−3⋅x3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:E2:−2x1x1++3x24x2+−4x33x3==120
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)(II)−2x1x1++3x24x2+−4x33x3==120
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: (I)+2⋅(II)
+(I)2⋅(II)−2x1x10x1+++3x24x211x2+−−4x33x32x3===12012
Löse die entstandene Gleichung nach x2 oder x3 auf. Auflösen nach x3 ergibt:
11x2−2x3 = 12 +2x3−12 11x2−12 = 2x3 :2 (I′) 5,5x2−6 = x3 Setze nun Gleichung (I′) z. B. in Gleichung (II) ein und löse nach x1 auf:
(II) x1+4x2−3x3 = 0 ↓ Setze x3=5,5x2−6 ein.
x1+4x2−3⋅(5,5x2−6) = 0 ↓ Löse die Klammer auf.
x1+4x2−16,5x2+18 = 0 ↓ Vereinfache.
x1−12,5x2+18 = 0 −18+12,5x2 ↓ Löse nach x1 auf.
x1 = −18+12,5x2 Du hast nun x1und x3 in Abhängigkeit von x2 dargestellt. Für x2 kannst Du z. B. den Parameter t setzen.
x1x2x3===−18+12,5tt5,5t−6
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:3⋅x1−2⋅x2+x3−4=0
E2:−2⋅x1+x2−3⋅x3=7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)3x1(II)−2x1−+2x2x2+−x33x3==47
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: (I)+2⋅(II)
+(I)2⋅(II)3x1−2x1−x1−++2x2x20x2+−−x33x35x3===4718
Löse die neu entstandene Gleichung nach x1 auf.
−x1−5x3 = 18 +x1−18 (I′) x1 = −5x3−18 Setze nun Gleichung (I′) z. B. in Gleichung (I) ein und löse nach x2 auf:
(I) 3x1−2x2+x3 = 4 ↓ Setze x1=−5x3−18 ein.
3⋅(−5x3−18)−2x2+x3 = 4 −15x3−54−2x2+x3 = 4 −14x3−54−2x2 = 4 −4+2x2 −14x3−58 = 2x2 :2 −7x3−29 = x2 Du hast nun x1 und x2 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Für x3 kannst Du z. B. den Parameter t setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
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Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Normalenform gegebenen Ebenen.
E1:x=142+r⋅320+s⋅0−21 und
E2:2−3−6∘x−443=0 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene E2 gebildet werden. Dazu ist das Skalarprodukt aus Normalenvektor n2 und dem Differenzvektor zu bilden:
2−3−6∘x1x2x3−2−3−6∘443=0
⇒2x1−3x2−6x3−(8−12−18)=0
Daraus folgt die Koordinatenform:
E2:2x1−3x2−6x3+22=0
Die Parameterform von E1 besteht aus 3 Gleichungen für x1, x2 und x3. Diese werden an die Stelle der 3 Koordinaten in E2 eingesetzt:
2⋅(1+3r+0s)−3⋅(4+2r−2s)−6⋅(2+0r+s)+22=0
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
2+6r−12−6r+6s−12−6s+22=0⇒0=0
Das Ergebnis war: 0=0 . Das ist offensichtlich eine wahre Aussage. Unabhängig von den Werten der Parameter r und s entsteht immer eine wahre Aussage. Daher müssen die Ebenen E1 und E2 identisch sein.
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Wandle E2 in Koordinatenform um. Nun können die drei Koordinaten (Zeilen) der Gleichung in Parameterform, also E1 in die Koordinatenform von E2 eingesetzt werden. Nach der Vereinfachung der Gleichung kann daran abgelesen werden, welche Lagebeziehung vorliegt!
E1:x=−121+r⋅2−1−2+s⋅214 und E2:2−31∘x−101=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene E1 wird in die Ebene E2 eingesetzt.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung (I′) mit den beiden Parametern r und s erhalten. Diese Gleichung kannst Du nach einem der beiden Parameter auflösen, hier z.B. nach s.
Du kannst nun die Gleichung (I′′) in die Ebenengleichung E1 einsetzen:
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen E1 und E2 ist eine Gerade mit der Gleichung: g:x=349+r⋅0−2−6
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E1 in die Normalenform der Ebene E2 ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
E1:x=5−10+r⋅111+s⋅−111 und
E2:010∘x−32−7=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene E2 gebildet werden. Rechne das Skalarprodukt aus.
E2:010∘x−010∘32−7=0
Daraus folgt die Koordinatenform:
E2:0⋅x1+1⋅x2+0⋅x3−2=0
Für jede Koordinate x1, x2 und x3 wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung E1 eingesetzt. (Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.)
Setze x1=0; x2=−1+r+s und x3=0 in E2 ein:
1⋅(−1+r+s)−2=0
Die Klammer wird ausmultipliziert und die Gleichung wird nach dem Parameter r aufgelöst:
r=3−s
Durch Einsetzen dieser Beziehung r=3−s in E1 kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Geraden.
Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
g:x=5−10+(3−s)⋅111+s⋅−111⇒
x=5−10+3⋅111−s⋅111+s⋅−111⇒
x=823+s⋅−200
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Beginne damit die Ebene E2 in die Koordinatenform umzuwandeln. Dann kannst du die Ebene E1 in E2 einsetzen und den Parameter finden, welcher zur Schnittgeraden führt.
E1:x=1−13+r⋅1−1−1+s⋅−12−1 und E2:321∘x−4=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Die Ebene E2 in Koordinatenform lautet: 3⋅x1+2⋅x2+1⋅x3−4=0
Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.
x1=1+r−s;x2=−1−r+2s und x3=3−r−s
Einsetzen in E2:
3⋅(1+r−s)+2⋅(−1−r+2s)+1⋅(3−r−s)−4=0
Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:
3+3r−3s−2−2r+4s+3−r−s−4=0⇒0=0
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind. (Die Ebenen liegen aufeinander.)
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Einsetzen von E1 in E2, den Parameter finden und einsetzen, um eine Schnittgerade zu bestimmen.
E1:x=211+r⋅111+s⋅2−4−1 und E2:11−2∘x−3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
E2:11−2∘x1x2x3−3=0⇒1⋅x1+1⋅x2−2⋅x3−3=0
2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.
3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung −2=0 erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.
3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
E1:x=131+r⋅210+s⋅1−11 und E2:111∘x−5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.
Rechne das Skalarprodukt aus.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.
3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.
Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Setze nun die Gleichung s=−3r in die Ebenengleichung E1 ein und fasse zusammen:
Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.
Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen E1 und E2 ist eine Gerade mit der Gleichung g:x=131+r⋅−14−3
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle E2 in die Koordinatenform um.
2) Lies aus der Parameterform der Ebene E1 die Gleichungen für die Koordinaten x1, x2 und x3 ab.
3) Setze die Gleichungen für x1, x2 und x3 in die Koordinatenform von E2 ein.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
- 3
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.
E1:2−35∘x−0−1−1=0 und E2:−46−10∘x−−100=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor n und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für E2:−46−10∘x1x2x3−−46−10∘−100=0
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen E1und E2 sind identisch.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen E1 und E2 in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:2−35∘x−0−1−1=0 und
E2:−46−10∘x−120=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor n und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für E2:
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Du hast die Gleichung 0=4 erhalten. Dies ist eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Die Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen E1und E2 in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:2−13∘x−111=0 und E2:12−1∘x−−21−2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor n und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für E2:
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Setze nun Gleichung (I′):x2=x3 z. B. in Gleichung (II) ein:
(II):1⋅x1+2⋅x2−1⋅x3=2 und löse nach x1 auf:
Du hast nun x1und x2 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Für x3 kannst Du z. B. den Parameter t setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen E1und E2 in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
- 4
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.
E1:x=444+r⋅210+s⋅−103 und E2:x=20−14+r⋅113+s⋅52−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene E1 als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt A mit dem Ortsvektor a, der in der Ebene E1 liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: a=444
Setze die Vektoren n und a in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
(3⋅(−2)+(−6)⋅(−4)+1⋅(−18))+r⋅(1⋅3+1⋅(−6)+3⋅1)+s⋅(5⋅3+2⋅(−6)+(−3)⋅1)=0
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung 0=0 erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
E1:x=403+r⋅0−10+s⋅−203 und E2:x=−230+r⋅00−1+s⋅2−13
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.
Berechne den Normalenvektor der Ebene E1 als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt A mit dem Ortsvektor a, der in der Ebene E1 liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: a=403
Setze die Vektoren n und a in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Der Parameter r wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und es wird zusammengefasst.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und passend zusammengefasst.
E1:x=562+r⋅24−1+s⋅013 und E2:x=16−3+r⋅252+s⋅−2−34
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.
E1:x=562+r⋅24−1+s⋅013
Berechne den Normalenvektor der Ebene E1 als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt A mit dem Ortsvektor a, der in der Ebene E1 liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: a=562
Setze die Vektoren n und a in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung −62=0 erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass es keine Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen gibt, d.h. die beiden Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
E1:x=1−21+r⋅2−11+s⋅1−21 und E2:x=21−3+r⋅10−2+s⋅−110
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln.
E1:x=1−21+r⋅2−11+s⋅1−21
Berechne den Normalenvektor der Ebene E1 als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt A mit dem Ortsvektor a, der in der Ebene E1 liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: a=1−21
Setze die Vektoren n und a in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
1−1−3∘13−4+r⋅10−2∘1−1−3+s⋅−110∘1−1−3=0
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
(1⋅1+(−1)⋅3+(−3)⋅(−4))+r⋅(1⋅1+0⋅(−1)+(−2)⋅(−3))+s⋅((−1)⋅1+1⋅(−1)+0⋅(−3))=0
4) Der Parameter s wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und es wird zusammengefasst.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E1 und E2 lautet:
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung E2 eingesetzt und passend zusammengefasst.
E1:x=−122+r⋅10−2+s⋅2−13 und E2:x=−54−4+r⋅3−11+s⋅1−15
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene E1 als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt A mit dem Ortsvektor a, der in der Ebene E1 liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: a=−122
Setze die Vektoren n und a in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung 0=0 erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
E1:x=−122+r⋅10−2+s⋅2−13 und E2:x=3−1−2+r⋅3−11+s⋅1−15
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
1) Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene E1 als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt A mit dem Ortsvektor a, der in der Ebene E1 liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: a=−122
Setze die Vektoren n und a in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung 17=0 erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene E1 in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene E2 in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
- 5
Bestimme die Schnittmenge der beiden in Koordinatenform gegebenen Ebenen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Wird Gleichung (I′) nach x1 aufgelöst, erhältst Du Gleichung (II′)x1=0,5x3
Setze nun Gleichung (II′) z. B. in Gleichung (I) ein und löse nach x2 auf:
Du hast nun x1und x2 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Für x3 kannst Du z. B. den Parameter t setzen.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
- 6
Bestimme die Schnittmenge der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.
E1:2⋅x1+3⋅x2−x3=13 und
E2:x=−121+r⋅213+s⋅0−12
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Für jede Koordinate x1, x2 und x3 wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung E2 eingesetzt. Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.
Es folgt also: r=2,5+1,25s. Durch Einsetzen dieser Beziehung in E2 kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Gerade! Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.
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Beginne damit die Ebene E2 für jedes x1, x2 und x3 in E1 einzusetzen. Daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen r und s. Diese in E2 einsetzen, um auf die Schnittgerade schließen zu können.
E1:−x1+2⋅x2+x3=−4 und E2:X=20−1+r⋅01−2+s⋅2−13
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Bestimmung der Schnittgeraden
Setze E2 in E1 ein:
−1⋅(2+0⋅r+2⋅s)+2⋅(0+r−s)+1⋅(−1−2⋅r+3⋅s)=−4
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
−2−2s+2r−2s−1−2r+3s=−4
−3−s=−4⇒s=1
Setze s=1 in E2 ein und fasse die Vektoren zusammen:
X=20−1+r⋅01−2+1⋅2−13=4−12+r⋅01−2
Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet:
g:X=4−12+r⋅01−2
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E1:x1+2⋅x2−2⋅x3=5 und E2:X=112+r⋅413+s⋅2−10
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze E2 in E1 ein:
1⋅(1+4⋅r+2⋅s)+2⋅(1+r−s)−2⋅(2+3⋅r+0⋅s)=5
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1+4r+2s+2+2r−2s−4−6r=5⇒−1=5 falsche Aussage
Die Ebenen schneiden sich nicht, d.h. sie sind parallel.
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E1:x1+2⋅x2−2⋅x3=5 und E2:X=712+r⋅413+s⋅2−10
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze E2 in E1 ein:
1⋅(7+4⋅r+2⋅s)+2⋅(1+r−s)−2⋅(2+3⋅r+0⋅s)=5
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
7+4r+2s+2+2r−2s−4−6r=5 ⇒5=5 wahre Aussage
Die Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)
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E1:x=112+r⋅011+s⋅113 und E2:2⋅x1+x2−x3−1=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze E1 in E2 ein:
2⋅(1+0⋅r+s)+1⋅(1+r+s)−1⋅(2+r+3⋅s)−1=0
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
2+2s+1+r+s−2−r−3s−1=0 ⇒0=0 wahre Aussage
Die beiden Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)
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E1:X=1−13+r⋅1−1−1+s⋅−12−1 und E2:x1−2⋅x2+x3−2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Lagebestimmung
Setze E1 in E2 ein:
1⋅(1+r−s)−2⋅(−1−r+2⋅s)+1⋅(3−r−s)−2=0
Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
1+r−s+2+2r−4s+3−r−s−2=0⇒4+2r−6s=0
⇒r=−2+3s
Setze r=−2+3s in E1 ein und fasse entsprechende Vektoren zusammen:
X=1−13+(−2+3s)⋅1−1−1+s⋅−12−1
g:X=1−2−1+23+2+s⋅3−1−3+2−3−1=−115+s⋅2−1−4
Die Schnittgerade g hat die Gleichung: g:X=−115+s⋅2−1−4
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