Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen
Hier findest du Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen. Lerne, die Lagebeziehung zu untersuchen und lineare Gleichungssysteme zu lösen!
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Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.
E1:−x1+2⋅x2+x3=1
E2:x1+4⋅x2+3⋅x3=7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−x1x1++2⋅x24⋅x2++x33⋅x3==17
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−x1x1++2⋅x24⋅x2++x33⋅x3==17
Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,
z.B. die erste Gleichung nach x3.
(I) −x1+2x2+x3 = 1 +x1−2x2 (I′) x3 = 1+x1−2x2 Setze dies in die Gleichung (II) ein.
(I′) in (II):
(II) x1+4x2+3x3 = 7 ↓ Setze x3=1+x1−2x2 ein.
x1+4x2+3⋅(1+x1−2x2) = 7 ↓ Multipliziere die Klammer aus.
x1+4x2+3+3x1−6x2 = 7 ↓ Fasse zusammen.
4x1−2x2+3 = 7 −3 ↓ Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.
4x1−2x2 = 4 −4x1 ↓ Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach x2.
−2x2 = 4−4x1 :(−2) (II′) x2 = −2+2x1 Setze dies wiederum in (I′) ein.
(II′) in (I′):
(I′) x3 = 1+x1−2x2 ↓ Setze x2=−2+2x1 ein.
x3 = 1+x1−2⋅(−2+2x1) ↓ Löse die Klammer auf.
x3 = 1+x1+4−4x1 ↓ Fasse zusammen.
x3 = 5−3x1 Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung (I′) nun erhalten hast.
⇒(I′′)x3=5−3x1
Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt. Das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.
Du hast jedoch mit den Gleichungen (II′) und (I′′) das Gleichungssystem so umgeformt, dass du x2 und x3 in Abhängigkeit von x1 dargestellt hast.
(II′)(I′′)x2x3==−25+−2x13x1
Betrachte nun x1 als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneter Weise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.
Setze t=x1. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===t−2+2t5−3t
Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.
L={(t∣−2+2t∣5−3t) t∈R}
Gleichung der Schnittgerade angeben
Mit Vektoren geschrieben, sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−4⋅x1+3⋅x2+2⋅x3=5
E2:2⋅x1+x2−x3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−4⋅x12⋅x1++3⋅x2x2+−2⋅x3x3==50
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−4x12x1++3x21⋅x2+−2x31⋅x3==50
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren. Zum Beispiel: Durch die Rechnung (I)+2(II) eliminierst du sogar 2 Unbekannte.
(I)+2⋅(II)−4x12x1++3x21⋅x2+−2x31⋅x3==50
0x1+5x2+0x3=5
Löse die entstandene Gleichung nach der verbleibenden Variable x2 auf.
5x2 = 5 :5 x2 = 1 Setze x2=1 in (I) ein, um x1 oder x3 in Abhängigkeit zueinander darzustellen:
(I) −4x1+3x2+2x3 = 5 ↓ Setze x2=1 ein.
−4x1+3⋅1+2x3 = 5 −4x1+3+2x3 = 5 −3 ↓ Drücke x1 in Abhängigkeit von x3 aus und bringe alle Terme ohne x1 auf die rechte Seite.
−4x1+2x3 = 2 −2x3 −4x1 = 2−2x3 :(−4) x1 = −42+42x3 ↓ Kürze die Brüche.
x1 = −21+21x3 Wähle nun x3=t. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===−21+21t1t
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
L={(−0,5+0,5t∣1∣t)∣ t∈R}
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−x1+2⋅x2−2⋅x3=5
E2:2⋅x1−4⋅x2+4⋅x3=−10
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−x12x1+−2x24x2−+2x34x3==5−10
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−x12x1+−2x24x2−+2x34x3==5−10
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 2(I)+(II)
2⋅(I)+(II)−x12x1+−2x24x2−+2x34x3==5−10
0x1+0x2+0x3=0
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (0=0), sind die beiden Gleichungen (I) und (II) identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Lösung: Die Ebenen sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−x1+2⋅x2+x3=1
E2:2⋅x1−4⋅x2−2⋅x3=−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen:
E1:E2:−x12x1+−2x24x2−−x32x3==1−5
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)−x12x1+−2x24x2−−x32x3==1−5
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 2(I)+(II)
2⋅(I)+(II)−x12x1+−2x24x2−−x32x3==1−5
0x1+0x2+0x3=−3
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen (I) und (II) ergibt, ist immer falsch (0=−3). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:x1+x2−x3−1=0
E2:4⋅x1−x2−x3−3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:x1E2:4⋅x1+−x2x2−−x3x3−−13==00
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Gleichungssystem lösen
(I)(II)x14⋅x1+−x2x2−−x3x3==13
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: (I)+(II)
(I)+(II)x14⋅x1+−x2x2−−x3x3==13
=(I′)5x1+0x2−2x3=4
Die neu entstandene Gleichung (I′) kannst du nun nach x1 auflösen.
(I′) 5x1−2x3 = 4 +2x3 5x1 = 4+2x3 :5 x1 = 54+52x3 ↓ Wandle in Dezimalbrüche um.
(II′) x1 = 0,8 +0,4x3 Nun hast du x1 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Stelle nun auch noch x2 in Abhängigkeit von x3 dar. Setze dafür zum Beispiel Gleichung (II′) in Gleichung (I) ein und löse nach x2 auf:
(II′) in (I):
x1+x2−x3 = 1 ↓ Setze x1=0,8+0,4x3 ein.
(0,8+0,4x3)+x2−x3 = 1 ↓ Löse die Klammer auf.
0,8+0,4x3+x2−x3 = 1 ↓ Vereinfache.
0,8+x2−0,6x3 = 1 −0,8+0,6x3 ↓ Löse nach x2 auf.
x2 = 0,2+0,6x3 Wähle nun x3=t. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===0,8+0,4t0,2+0,6tt
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:2⋅x1−3⋅x2+x3=2
E2:−6⋅x1+9⋅x2−3⋅x3=5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:2x1E2:−6x1−+3x29x2+−x33x3==25
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)(II)2x1−6x1−+3x29x2+−x33x3==25
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 3⋅(I)+(II)
3⋅(I)+(II)2x1−6x1−+3x29x2+−x33x3==25
0x1+0x2+0x3=11
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen (I) und (II) ergibt, ist immer falsch (0=11). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind parallel zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:−x1+2⋅x2+5⋅x3=10
E2:2⋅x1−4⋅x2+x3=4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:−x1E2:2x1+−2x24x2++5x3x3==104
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)(II)−x12x1+−2x24x2++5x3x3==104
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 2⋅(I)+(II)
+=2⋅(I)(II)(I′)−x12x10x1+−+2x24x20x2+++5x3x311x3===10424
Löse die entstandene Gleichung nach x3 auf.
11x3 = 24 :11 x3 = 1124 Setze nun Gleichung x3 z. B. in Gleichung (I) ein und löse nach x1 auf:
(I) −x1+2x2+5x3 = 10 ↓ Setze x3=1124 ein.
−x1+2x2+5⋅1124 = 10 −x1+2x2+11120 = 10 +x1−10 ↓ Löse nach x1 auf.
2x2+11120−10 = x1 ↓ Addiere die Zahlen.
2x2+11120−11110 = x1 2x2+1110 = x1 Du hast nun x1in Abhängigkeit von x2 dargestellt. Für x2 kannst Du z. B. den Parameter t setzen. Dadurch kannst du x1, x2 und x3 in Abhängigkeit von t ausdrücken.
x1x2x3===1110+2tt1124
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung:
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:31⋅x1+61⋅x2+21⋅x3=1
E2:2⋅x1+x2+3⋅x3−6=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:31x1E2:2x1++61x2x2++21x33x3=−6=10
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Forme E2 noch so um, dass die 6 auf der rechten Seite steht.
(I)(II)31x12x1++61x2x2++21x33x3==16
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: 6⋅(I)−(II)
−6⋅(I)(II)31x12x10x1+++61x2x20x2+++21x33x30x3===160
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (0=0), sind die beiden Gleichungen (I) und (II) identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Antwort: Die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1:5⋅x1+2⋅x2+3⋅x3=30
E2:10⋅x1+7⋅x2−12⋅x3=45
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von zwei Ebenen
Gegeben sind die beiden Ebenen: E1:E2:5x110x1++2x27x2+−3x312x3==3045
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
(I)(II)5x110x1++2x27x2+−3x312x3==3045
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel: (−2)⋅(I)+(II)
+(−2)(I)(II)5x110x10x1+++2x27x23x2+−−3x312x318x3===3045−15
Löse die entstandene Gleichung nach x2 oder x3 auf. Auflösen nach x2 ergibt:
3x2−18x3 = −15 +18x3 3x2 = −15+18x3 :3 (II′) x2 = −5+6x3 Setze nun die neue Gleichung (II′) z. B. in Gleichung (I) ein und löse nach x1 auf:
5x1+2x2+3x3 = 30 ↓ Setze x2=−5+6x3 ein.
5x1+2⋅(−5+6x3)+3x3 = 30 5x1−10+12x3+3x3 = 30 ↓ Fasse zusammen.
5x1−10+15x3 = 30 +10−15x3 ↓ Löse nach x1 auf.
5x1 = 40−15x3 :5 x1 = 8−3x3 Du hast nun x1und x2 in Abhängigkeit von x3 dargestellt. Für x3 kannst Du z. B. den Parameter t setzen.
x1x2x3===8−3t−5+6tt
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 hat die Gleichung: