1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:

Entsprechend für $E_2:$$\;\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}=0$

Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_1$und $E_2$ sind identisch.

1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:

Entsprechend für $E_2:$

Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

Du hast die Gleichung $0=4$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Die Ebenen sind parallel zueinander.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind parallel zueinander.

1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:

Entsprechend für $E_2:$

Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Setze nun Gleichung $\mathrm{(I'):}\;x_2=x_3$ z. B. in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein:

$\mathrm{(II):}\; 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 - 1\cdot x_3 = 2$ und löse nach $x_1$ auf:

Du hast nun $x_1$und $x_2$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt. Für $x_3$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ hat die Gleichung: