Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.
E1â:â2â35ââââxââ0â1â1âââ=0  und  E2â:ââ46â10ââââxâââ100âââ=0
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird fĂŒr jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor n und dem Differenzvektor gebildet:
E1â:â2â35ââââx1âx2âx3âââââ2â35ââââ0â1â1ââ=0E1â:2â x1ââ3â x2â+5â x3ââ(0+3â5)=0â(I):2â x1ââ3â x2â+5â x3â=â2Entsprechend fĂŒr E2â:ââ46â10ââââx1âx2âx3ââââââ46â10âââââ100ââ=0
E2â:â4â x1â+6â x2ââ10â x3ââ(4+0+0)=0â(II):â4â x1â+6â x2ââ10â x3â=4Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
(I):2â x1â(II):â4â x1âââ+â3â x2â6â x2ââ+ââ5â x3â10â x3ââ==ââ24â2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
(I)â 2+(II)â(IIâČ):0â x1â+0â x2â+0â x3â=0â0=03) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit fĂŒr das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
0=0Dies ist eine wahre Aussage unabhÀngig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen E1âund E2â sind identisch.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen E1â und E2â in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten fĂŒr ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1â:â2â35ââââxââ0â1â1âââ=0 Â und Â
E2â:ââ46â10ââââxââ120âââ=0
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird fĂŒr jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor n und dem Differenzvektor gebildet:
E1â:â2â35ââââx1âx2âx3âââââ2â35ââââ0â1â1ââ=0E1â:2â x1ââ3â x2â+5â x3ââ(0+3â5)=0â(I):2â x1ââ3â x2â+5â x3â=â2Entsprechend fĂŒr E2â:
E2â:ââ46â10ââââx1âx2âx3ââââââ46â10ââââ120ââ=0E2â:â4â x1â+6â x2ââ10â x3ââ(â4+12+0)=0â(II):â4â x1â+6â x2ââ10â x3â=8Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
(I):2â x1â(II):â4â x1âââ+â3â x2â6â x2ââ+ââ5â x3â10â x3ââ==ââ28â2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
(I)â 2+(II)â(IâČ):0â x1â+0â x2â+0â x3â=4â0=43) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten fĂŒr ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Du hast die Gleichung 0=4 erhalten. Dies ist eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Die Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen E1â und E2â sind parallel zueinander.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen E1âund E2â in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten fĂŒr ein lineares Gleichungssystem eintritt.
E1â:â2â13ââââxââ111âââ=0  und  E2â:â12â1ââââxâââ21â2âââ=0
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird fĂŒr jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor n und dem Differenzvektor gebildet:
E1â:â2â13ââââx1âx2âx3âââââ2â13ââââ111ââ=0E1â:2â x1ââ1â x2â+3â x3ââ(2â1+3)=0â(I):2â x1ââ1â x2â+3â x3â=4Entsprechend fĂŒr E2â:
â12â1ââââx1âx2âx3âââââ12â1âââââ21â2ââ=0E2â:1â x1â+2â x2ââ1â x3ââ(â2+2+2)=0â(II):1â x1â+2â x2ââ1â x3â=2Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
(I):2â x1â(II):1â x1âââ+â1â x2â2â x2ââ+ââ3â x3â1â x3ââ==â42â2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
(I)+(II)â (â2)â(IâČ):0â x1ââ5â x2â+5â x3â=0âx2â=x3â3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit fĂŒr das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Setze nun Gleichung (IâČ):x2â=x3â z. B. in Gleichung (II) ein:
(II):1â x1â+2â x2ââ1â x3â=2 und löse nach x1â auf:
x1â+2x3ââx3â=2âx1â=2âx3âDu hast nun x1âund x2â in AbhĂ€ngigkeit von x3â dargestellt. FĂŒr x3â kannst Du z. B. den Parameter t setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:ï»żï»ż
L={(2âtâŁtâŁt)⣠tâR}Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaĂen aus:
g:x=â2âtttââ=â200ââ+tâ ââ111ââDas ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1â und E2â hat die Gleichung:ï»ż
g:x=â200ââ+tâ ââ111ââHast du eine Frage oder Feedback?
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen E1âund E2â in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten fĂŒr ein lineares Gleichungssystem eintritt.