Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Ebenen

Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.

${\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$ und ${\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0\;$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:
$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}=0$
$\displaystyle \mathrm {E_1}:\;\;2\cdot x_1-3\cdot x_2+5\cdot x_3-(0+3-5)=0\Rightarrow$
$\displaystyle \mathrm {(I)}:\;\;2\cdot x_1-3\cdot x_2+5\cdot x_3=-2$
Entsprechend für $E_{2} :$ $\;\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}=0$
$\displaystyle \mathrm {E_2}:\;\;-4\cdot x_1+6\cdot x_2-10\cdot x_3-(4+0+0)=0\Rightarrow$
$\displaystyle \mathrm {(II)}:\;\;-4\cdot x_1+6\cdot x_2-10\cdot x_3=4$
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I):}\;\;\;2\cdot x_1 & -&3\cdot x_2 & + & 5\cdot x_3 & = & -2 &\text{}\\\mathrm{(II):} -4\cdot x_1 & + & 6\cdot x_2 & - & 10\cdot x_3 &=& 4 \end{array}$
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
$\displaystyle \mathrm{(I)}\cdot2+\mathrm{(II)}\Rightarrow \mathrm{(II'):}\;\;0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=0\;\,\Rightarrow \;\;\;0=0$
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
$\displaystyle 0=0$
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
${\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]=0$ und
${\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0\;$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:
$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-3\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}=0$
$\displaystyle \mathrm {E_1}:\;\;2\cdot x_1-3\cdot x_2+5\cdot x_3-(0+3-5)=0\Rightarrow$
$\displaystyle \mathrm {(I):}\;\;2\cdot x_1-3\cdot x_2+5\cdot x_3=-2$
Entsprechend für $E_{2} :$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\;\;\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\6\\-10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=0$
$\displaystyle \mathrm {E_2}:\;\;-4\cdot x_1+6\cdot x_2-10\cdot x_3-(-4+12+0)=0\Rightarrow$
$\displaystyle \mathrm {(II):}\;\;-4\cdot x_1+6\cdot x_2-10\cdot x_3=8$
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I):}\;\;\;2\cdot x_1 & -&3\cdot x_2 & + & 5\cdot x_3 & = & -2 &\text{}\\\mathrm{(II):} -4\cdot x_1 & + & 6\cdot x_2 & - & 10\cdot x_3 &=& 8 \end{array}$
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
$\displaystyle \mathrm{(I)}\cdot2+\mathrm{(II)}\Rightarrow \mathrm{(I')}:\;\;0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=4\Rightarrow \;\;\;0=4$
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Du hast die Gleichung $0 = 4$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Die Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind parallel zueinander.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
${\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0$ und ${\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]=0\;$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zweier Ebenen
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\vec{n}$ und dem Differenzvektor gebildet:
$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=0$
$\displaystyle \mathrm {E_1}:\;\;2\cdot x_1-1\cdot x_2+3\cdot x_3-(2-1+3)=0\Rightarrow$
$\displaystyle \mathrm {(I):}\;\;2\cdot x_1-1\cdot x_2+3\cdot x_3=4$
Entsprechend für $E_{2} :$
$\displaystyle \;\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}=0$
$\displaystyle \mathrm {E_2}:\;\;1\cdot x_1+2\cdot x_2-1\cdot x_3-(-2+2+2)=0\Rightarrow$
$\displaystyle \mathrm {(II):}\;\;1\cdot x_1+2\cdot x_2-1\cdot x_3=2$
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \mathrm{(I):}\;\;\;2\cdot x_1 & -&1\cdot x_2 & + & 3\cdot x_3 & = & 4 &\text{}\\\mathrm{(II):}\;\; 1\cdot x_1 & + & 2\cdot x_2 & - & 1\cdot x_3 &=& 2 \end{array}$
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
$\displaystyle \mathrm{(I)}+\mathrm{(II)}\cdot(-2)\Rightarrow \mathrm{(I'):}\;\;0\cdot x_1-5\cdot x_2+5\cdot x_3=0\;\,\Rightarrow \;\;\;x_2=x_3$
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Setze nun Gleichung $\mathrm{(I'):}\;x_2=x_3$ z. B. in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein:
$\mathrm{(II):}\; 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 - 1\cdot x_3 = 2$ und löse nach $x_{1}$ auf:
$\displaystyle x_1+2x_3-x_3=2\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;x_1=2-x_3$
Du hast nun $x_{1}$ und $x_{2}$ in Abhängigkeit von $x_{3}$ dargestellt. Für $x_{3}$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
$\displaystyle \mathbb{L}=\{(2-t\vert t\vert t)\vert \ t\in \mathbb R \}$
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
$\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}2-t\\t\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:
$\displaystyle g:\;\;\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

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1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

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1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung:

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1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Antwort: Die beiden Ebenen E1E_1E1​und E2E_2 E2​ sind identisch.

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1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.

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1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.

2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.

3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen E1E_1 E1​ und E2E_2 E2​ hat die Gleichung:﻿

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Antwort: Die beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ sind identisch.

Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ hat die Gleichung: