1) Parameterform der Ebene $E_1$ in eine Normalenform umwandeln

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_1$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$, der in der Ebene $E_1$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec {a}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$

Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_2$ in die Normalenform ein.

Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:

$\left(3\cdot (-2)+(-6)\cdot (-4)+1 \cdot(-18)\right)+\mathrm{r}\cdot\left(1\cdot3+1\cdot(-6)+3\cdot 1\right)+\mathrm{s}\cdot \left(5\cdot 3+2\cdot (-6)+(-3)\cdot1\right)=0$

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Du hast die Gleichung $0=0$ erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_1$ in eine Normalenform umwandeln.

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_1$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$, der in der Ebene $E_1$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec {a}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$

Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_2$ in die Normalenform ein.

Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:

4) Der Parameter $r$ wird in die Ebenengleichung $E_2$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_1$ in eine Normalenform umwandeln.

${\mathrm E}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\6\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_1$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$, der in der Ebene $E_1$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec {a}=\begin{pmatrix}5\\6\\2\end{pmatrix}$

Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_2$ in die Normalenform ein.

Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.

Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Du hast die Gleichung $-62=0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass es keine Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen gibt, d.h. die beiden Ebenen sind parallel zueinander.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_1​$ und $E_2$​ sind parallel zueinander.

1) Parameterform der Ebene $E_1$ in eine Normalenform umwandeln.

${\mathrm E}_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_1$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$, der in der Ebene $E_1$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec {a}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_2$ in die Normalenform ein.

Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

$\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\3\\-4\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}=0$

Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:

$\left(1\cdot 1+(-1)\cdot 3+(-3)\cdot(-4)\right)+\mathrm{r}\cdot\left(1\cdot1+0\cdot(-1)+(-2)\cdot (-3)\right)+\mathrm{s}\cdot \left((-1)\cdot 1+1\cdot(-1)+0\cdot(-3)\right)=0$

4) Der Parameter $s$ wird in die Ebenengleichung $E_2$ eingesetzt und es wird zusammengefasst.

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ lautet:

1) Parameterform der Ebene $E_1$ in eine Normalenform umwandeln

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_1$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$, der in der Ebene $E_1$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec {a}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$

Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_2$ in die Normalenform ein.

Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Du hast die Gleichung $0=0$ erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind identisch.

1) Parameterform der Ebene $E_1$ in eine Normalenform umwandeln

Berechne den Normalenvektor der Ebene $E_1$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.

Wähle einen beliebigen Punkt $A$ mit dem Ortsvektor $\vec{a}$, der in der Ebene $E_1$ liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene: $\vec {a}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$

Setze die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalenform ein:

2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene $E_2$ in die Normalenform ein.

Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:

3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Du hast die Gleichung $17=0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind parallel zueinander.