Für jede Koordinate ​$x_{1}x\_1$, $x_{2}x\_2$ und $x_{3}x\_3$ wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung ${\mathrm{E}}_2\backslash mathrm\{E\}\_2$​ eingesetzt. Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.

Es folgt also: $r=\mathrm{2,5}+\mathrm{1,25}sr\; =\; 2\{,\}5+1\{,\}25s$. Durch Einsetzen dieser Beziehung in ${\mathrm{E}}_2\backslash mathrm\{E\}\_2$​ kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Gerade! Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.

Bestimmung der Schnittgeraden

Setze $E_{2}E\_2$ in $E_{1}E\_1$ ein:

$-1\cdot (2+0\cdot r+2\cdot s)+2\cdot (0+r-s)+1\cdot (-1-2\cdot r+3\cdot s)=-4-1\backslash cdot\; (2+0\backslash cdot\; r+2\backslash cdot\; s)+2\backslash cdot\; (0+r-s)+1\backslash cdot\; (-1-2\backslash cdot\; r+3\backslash cdot\; s)=-4$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$-2-2s+2r-2s-1-2r+3s=-4-2-2s+2r-2s-1-2r+3s=-4$

$-3-s=-4\Rightarrow s=1-3-s=-4\; \backslash Rightarrow\; \backslash ;\backslash ;\; s=1$

Setze $s=1s=1$ in $E_{2}E\_2$ ein und fasse die Vektoren zusammen:

$\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; X\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mathrm\; r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}+1\; \backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash -1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mathrm\; r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}$

Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet:

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)\{\backslash mathrm\; g\}:\backslash ;\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; X\}=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash -1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mathrm\; r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}$

Lagebestimmung

Setze $E_{2}E\_2$​ in $E_{1}E\_1$ ​ ein:

$1\cdot (1+4\cdot r+2\cdot s)+2\cdot (1+r-s)-2\cdot (2+3\cdot r+0\cdot s)=5\text{}1\backslash cdot\; (1+4\backslash cdot\; r+2\backslash cdot\; s)+2\backslash cdot(1+r-s)-2\backslash cdot\; (2+3\backslash cdot\; r+0\backslash cdot\; s)=\; 5$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$1+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5\Rightarrow -1=51+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5\; \backslash Rightarrow\; -1=5$ falsche Aussage

Die Ebenen schneiden sich nicht, d.h. sie sind parallel.

Lagebestimmung

Setze $E_{2}E\_2$​ in $E_{1}E\_1$ ​ ein:

$\text{}1\cdot (7+4\cdot r+2\cdot s)+2\cdot (1+r-s)-2\cdot (2+3\cdot r+0\cdot s)=5\text{}1\backslash cdot\; (7+4\backslash cdot\; r+2\backslash cdot\; s)+2\backslash cdot(1+r-s)-2\backslash cdot\; (2+3\backslash cdot\; r+0\backslash cdot\; s)=\; 5$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$7+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=57+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5$ $\Rightarrow 5=5\backslash Rightarrow\; 5=5$ wahre Aussage

Die Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)

Lagebestimmung

Setze $E_1\text{}E\_1$ in $E_{2}E\_2$ ​ ein:

$2\cdot (1+0\cdot r+s)+1\cdot (1+r+s)-1\cdot (2+r+3\cdot s)-1=02\backslash cdot\; (1+0\backslash cdot\; r+s)+1\backslash cdot(1+r+s)-1\backslash cdot\; (2+\; r+3\backslash cdot\; s)-1=0$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$2+2s+1+r+s-2-r-3s-1=02+2s+1+r+s-2-r-3s-1=0$ $\Rightarrow 0=0\backslash Rightarrow\; 0=0$ wahre Aussage

Die beiden Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)

Lagebestimmung

Setze ​ $E_{1}E\_1$​​​ in $E_{2}E\_2$​ ​ ein:

$1\cdot (1+r-s)-2\cdot (-1-r+2\cdot s)+1\cdot (3-r-s)-2=01\backslash cdot\; (1+r-s)-2\backslash cdot(-1-r+2\; \backslash cdot\; s)+1\backslash cdot\; (3-\; r-s)-2=0$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$1+r-s+2+2r-4s+3-r-s-2=0\Rightarrow 4+2r-6s=01+r-s+2+2r-4s+3-r-s-2=0\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\; 4+2r-6s=0$

$\Rightarrow r=-2+3s\backslash Rightarrow\; r=-2+3s$

Setze $r=-2+3sr=-2+3s$ in $E_{1}E\_1$ ein und fasse entsprechende Vektoren zusammen:

$\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right)+(-2+3s)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; X\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}+(-2+3s)\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -1\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mathrm\; s\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$

$g:\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}1-2\\ -1+2\\ 3+2\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}3-1\\ -3+2\\ -3-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 5\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)g:\; \backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; X\}=\backslash begin\{pmatrix\}1-2\backslash \backslash -1+2\backslash \backslash 3+2\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mathrm\; s\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}3-1\backslash \backslash -3+2\backslash \backslash -3-1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mathrm\; s\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash -4\backslash end\{pmatrix\}$

Die Schnittgerade $gg$ hat die Gleichung: $g:\overrightarrow{\mathrm{X}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 5\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)g:\backslash ;\backslash overrightarrow\{\backslash mathrm\; X\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mathrm\; s\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash -4\backslash end\{pmatrix\}$