Für jede Koordinate ​$x_1$, $x_2$ und $x_3$ wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung $\mathrm{E}_2$​ eingesetzt. Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.

Es folgt also: $r = 2{,}5+1{,}25s$. Durch Einsetzen dieser Beziehung in $\mathrm{E}_2$​ kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Gerade! Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.

Bestimmung der Schnittgeraden

Setze $E_2$ in $E_1$ ein:

$-1\cdot (2+0\cdot r+2\cdot s)+2\cdot (0+r-s)+1\cdot (-1-2\cdot r+3\cdot s)=-4$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$-2-2s+2r-2s-1-2r+3s=-4$

$-3-s=-4 \Rightarrow \;\; s=1$

Setze $s=1$ in $E_2$ ein und fasse die Vektoren zusammen:

$\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}+1 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$

Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet:

${\mathrm g}:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$

Lagebestimmung

Setze $E_2$​ in $E_1$ ​ ein:

$1\cdot (1+4\cdot r+2\cdot s)+2\cdot(1+r-s)-2\cdot (2+3\cdot r+0\cdot s)= 5$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$1+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5 \Rightarrow -1=5$ falsche Aussage

Die Ebenen schneiden sich nicht, d.h. sie sind parallel.

Lagebestimmung

Setze $E_2$​ in $E_1$ ​ ein:

$1\cdot (7+4\cdot r+2\cdot s)+2\cdot(1+r-s)-2\cdot (2+3\cdot r+0\cdot s)= 5$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$7+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5$ $\Rightarrow 5=5$ wahre Aussage

Die Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)

Lagebestimmung

Setze $E_1​$ in $E_2$ ​ ein:

$2\cdot (1+0\cdot r+s)+1\cdot(1+r+s)-1\cdot (2+ r+3\cdot s)-1=0$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$2+2s+1+r+s-2-r-3s-1=0$ $\Rightarrow 0=0$ wahre Aussage

Die beiden Ebenen sind identisch. (Sie liegen aufeinander.)

Lagebestimmung

Setze ​ $E_1$​​​ in $E_2$​ ​ ein:

$1\cdot (1+r-s)-2\cdot(-1-r+2 \cdot s)+1\cdot (3- r-s)-2=0$

Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$1+r-s+2+2r-4s+3-r-s-2=0\;\;\Rightarrow 4+2r-6s=0$

$\Rightarrow r=-2+3s$

Setze $r=-2+3s$ in $E_1$ ein und fasse entsprechende Vektoren zusammen:

$\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}+(-2+3s)\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$

$g: \overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}1-2\\-1+2\\3+2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}3-1\\-3+2\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-4\end{pmatrix}$

Die Schnittgerade $g$ hat die Gleichung: $g:\;\overrightarrow{\mathrm X}=\begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-4\end{pmatrix}$