Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene $\mathrm{E}_2$ gebildet werden. Dazu ist das Skalarprodukt aus Normalenvektor $\vec{n}_2$ und dem Differenzvektor zu bilden:

$\begin{pmatrix} 2\\-3\\-6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2\\-3\\-6 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4\\4\\3 \end{pmatrix} = 0$

$\;\Rightarrow 2x_1-3x_2-6x_3-(8-12-18) =0$

Daraus folgt die Koordinatenform:

${\mathrm{E}_2}:\; 2x_1-3x_2-6x_3+22=0$

Die Parameterform von $\mathrm{E}_1$ besteht aus 3 Gleichungen für $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Diese werden an die Stelle der 3 Koordinaten in $\mathrm{E}_2$ eingesetzt:

$2\cdot (1+3r+0s)-3\cdot (4+2r-2s)-6\cdot (2+0r+s) +22=0$

Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:

$2+6r-12-6r+6s-12-6s +22=0\;\Rightarrow 0=0$

Das Ergebnis war: $0=0$ . Das ist offensichtlich eine wahre Aussage. Unabhängig von den Werten der Parameter $r$ und $s$ entsteht immer eine wahre Aussage. Daher müssen die Ebenen $\mathrm{E}_1$ und $\mathrm{E}_2$ identisch sein.

1) Der allgemeine Ortsvektor der Ebene $E_1$ wird in die Ebene $E_2$ eingesetzt.

Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:

2) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.

Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:

3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Du hast die Gleichung $\mathrm{(I')}$ mit den beiden Parametern $r$ und $s$ erhalten. Diese Gleichung kannst Du nach einem der beiden Parameter auflösen, hier z.B. nach $s$.

Du kannst nun die Gleichung $\mathrm{(I'')}$ in die Ebenengleichung $E_1$ einsetzen:

Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ ist eine Gerade mit der Gleichung: $\mathrm{g}:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\4\\9\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\-6\end{pmatrix}$

Zunächst muss die Koordinatenform der Ebene $\mathrm{E}_2$ gebildet werden. Rechne das Skalarprodukt aus.

$\newcommand{\vek}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \mathrm{E}_2:\;\vek{0\\1\\0}\circ\vec{x} - \vek{0\\1\\0}\circ\vek{3\\2\\-7} = 0$

Daraus folgt die Koordinatenform:

$\mathrm{E}_2:\;0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 - 2=0$

Für jede Koordinate $x_1$, $x_2$ und $x_3$ wird nun die entsprechende Zeile aus der Parameterform der Gleichung $\mathrm{E}_1$ eingesetzt. (Beim Lösen von Gleichungen würde das als Einsetzverfahren bezeichnet werden.)

Setze $x_1 =0$; $x_2 =-1+r+s$ und $x_3 =0$ in $E_2$ ein:

$1\cdot (-1+r+s)-2=0$

Die Klammer wird ausmultipliziert und die Gleichung wird nach dem Parameter $r$ aufgelöst:

$r = 3-s$

Durch Einsetzen dieser Beziehung $r = 3-s$ in $\mathrm{E}_1$ kann ein Parameter eliminiert werden. Es ergibt sich so die Parameterform einer Geraden.

Die Schnittmenge der beiden Ebenen ist also eine Gerade.

$g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\0\end{pmatrix}+(3-s)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow$

$\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\-1\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow$

$\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}$

Die Ebene $\mathrm{E}_2$ in Koordinatenform lautet: $3\cdot x_1+2\cdot x_2+1\cdot x_3-4=0$

Lies aus der Parameterform der Ebene $E_1$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_1$, $x_2$ und $x_3$ ab.

$x_1 =1+r-s; x_2=-1-r+2s$ und $x_3=3-r-s$

Einsetzen in $E_2$:

$3\cdot (1+r-s)+2\cdot (-1-r+2s) + 1\cdot (3-r-s)-4=0$

Die Klammern werden aufgelöst und passende Terme werden zusammengefasst:

$3+3r-3s-2-2r+4s+3-r-s-4=0\;\Rightarrow 0=0$

Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind. (Die Ebenen liegen aufeinander.)

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle $E_2$ in die Koordinatenform um.

Rechne das Skalarprodukt aus.

${\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-3=0\Rightarrow \;\;1\cdot x_1+1 \cdot x_2-2\cdot x_3-3 =0$

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_1$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_1$, $x_2$ und $x_3$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Koordinatenform von $E_2$ ein.

Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Du hast die Gleichung $-2 =0$ erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.

Antwort: Die beiden Ebenen $E_1​$ und $E_2$ sind parallel zueinander.

Schnittmenge zweier Ebenen bestimmen

1) Wandle $E_2$ in die Koordinatenform um.

Rechne das Skalarprodukt aus.

2) Lies aus der Parameterform der Ebene $E_1$ die Gleichungen für die Koordinaten $x_1$, $x_2$ und $x_3$ ab.

3) Setze die Gleichungen für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Koordinatenform von $E_2$ ein.

Löse die Klammern auf und fasse zusammen. Du erhälst folgende Gleichung:

4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.

Setze nun die Gleichung $s=-3r$ in die Ebenengleichung $E_1$ ein und fasse zusammen:

Du hast die Parameterform einer Geraden erhalten.

Antwort: Die Schnittmenge der beiden Ebenen $E_1​$ und $E_2$ ist eine Gerade mit der Gleichung ${\mathrm g}:\;\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\4\\-3\end{pmatrix}$