Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ist eine der Gleichungen nach einer Variablen $x$ aufgelöst, setzt man den Term auf der anderen Seite bei allen anderen Gleichungen für $x$ ein. Dadurch verringert sich sowohl die Anzahl der Variablen als auch der Gleichungen um eins.

Vorgehen

Um ein Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, sollte man die Gleichung heraussuchen, bei der man am leichtesten nach einer Unbekannten auflösen kann. Am besten möglich ist das, wenn eine Unbekannte allein steht, also mit Koeffizient 1.

Nach dieser Unbekannten wird aufgelöst und sie wird in den übrigen Gleichungen eingesetzt bzw. ersetzt.

Beispiel

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}\mathrm{I}&a&+&\frac12b&-&10c&=&5\\\mathrm{II}&2a&-&b&\;&\;&=&6\\\mathrm{III}&-2a&+&4b&-&5c&=&-12\end{array}$

Hier bieten sich das $b$ in der Gleichung $\mathrm{II}$ oder auch das $a$ in Gleichung $\mathrm{II}$ an. In diesem Beispiel wurde die Variable $b$ ausgewählt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcllcccccc} \mathrm{II}&2a-b&=&6&&|+b\\ &2a&=&6+b&&\vert-6\\ &2a-6&=&b&&& \end{array}$

Nun kann man $b = 2 a - 6$ zum Beispiel in der Gleichung $\mathrm{I}$ ersetzen und dann möglichst weit vereinfachen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcccccccc}\mathrm{I'}&a+\frac12\left(2a-6\right)-10c&=&5&&\\&a+a-3-10c&=&5&&\\&2a-3-10c&=&5&&\vert+3\\&2a-10c&=&8&&\end{array}$

Nun kann man diese Gleichung nach $c$ auflösen und dann in der Gleichung $\mathrm{III}$ sowohl $b$ als auch $c$ ersetzen, um die Unbekannte $a$ herauszufinden.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcllccccccc}\mathrm{I'}&2a-10c&=&8&\vert+10c\\&2a&=&8+10c&\vert-8\\&2a-8&=&10c&\vert:10\\&\frac15a-\frac45&=&c\end{array}$

Jetzt weiß man also:

$b = 2 a - 6$
$c=\frac15a-\frac45$

In $\mathrm{III}$ eingesetzt liefert das:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccc}\mathrm{III'}&-2a+4\left(2a-6\right)-5\left(\frac15a-\frac45\right)&=&-12\\&-2a+8a-24-a+4&=&-12\\&5a-20&=&-12&\vert+20\\&5a&=&8&\vert:5\\&a&=&\frac85\end{array}$

Jetzt, da man $a$ errechnet hat, kann man auch die übrigen Größen berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{1}a=\frac85=1{,}6\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}b=2\cdot\left(\frac85\right)-6=\frac{16}5-6=-2\frac45=-2{,}8\end{array}$
$c=\frac15\cdot\left(\frac85\right)-\frac45=\frac8{25}-\frac45=-\frac{12}{25}=-0{,}48$

Übungsaufgaben

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