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Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ist eine der Gleichungen nach einer Variablen xx aufgelöst, setzt man den Term auf der anderen Seite bei allen anderen Gleichungen für xx ein. Dadurch verringert sich sowohl die Anzahl der Variablen als auch der Gleichungen um eins.   

Vorgehen

Um ein Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, sollte man die Gleichung heraussuchen, bei der man am leichtesten nach einer Unbekannten auflösen kann. Am besten möglich ist das, wenn eine Unbekannte allein steht, also mit Koeffizient 1.

Nach dieser Unbekannten wird aufgelöst und sie wird in den übrigen Gleichungen eingesetzt bzw. ersetzt.

 

Beispiel

Ia+12b10c=5II2ab    =6III2a+4b5c=12\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}\mathrm{I}&a&+&\frac12b&-&10c&=&5\\\mathrm{II}&2a&-&b&\;&\;&=&6\\\mathrm{III}&-2a&+&4b&-&5c&=&-12\end{array}

Hier bieten sich das bb in der Gleichung II\mathrm{II} oder auch das aa in Gleichung II\mathrm{II} an. In diesem Beispiel wurde die Variable bb ausgewählt:

II2ab=6+b2a=6+b62a6=b\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcllcccccc} \mathrm{II}&2a-b&=&6&&|+b\\ &2a&=&6+b&&\vert-6\\ &2a-6&=&b&&& \end{array}

Nun kann man b=2a6b=2a-6 zum Beispiel in der Gleichung I\mathrm{I} ersetzen und dann möglichst weit vereinfachen:

Ia+12(2a6)10c=5a+a310c=52a310c=5+32a10c=8\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcccccccc}\mathrm{I'}&a+\frac12\left(2a-6\right)-10c&=&5&&\\&a+a-3-10c&=&5&&\\&2a-3-10c&=&5&&\vert+3\\&2a-10c&=&8&&\end{array}

Nun kann man diese Gleichung nach cc auflösen und dann in der Gleichung III\mathrm{III} sowohl bb als auch cc ersetzen, um die Unbekannte aa herauszufinden.

I2a10c=8+10c2a=8+10c82a8=10c:1015a45=c\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcllccccccc}\mathrm{I'}&2a-10c&=&8&\vert+10c\\&2a&=&8+10c&\vert-8\\&2a-8&=&10c&\vert:10\\&\frac15a-\frac45&=&c\end{array}

Jetzt weiß man also:

  • b=2a6b=2a-6

  • c=15a45c=\frac15a-\frac45

In III\mathrm{III} eingesetzt liefert das:

III2a+4(2a6)5(15a45)=122a+8a24a+4=125a20=12+205a=8:5a=85\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccc}\mathrm{III'}&-2a+4\left(2a-6\right)-5\left(\frac15a-\frac45\right)&=&-12\\&-2a+8a-24-a+4&=&-12\\&5a-20&=&-12&\vert+20\\&5a&=&8&\vert:5\\&a&=&\frac85\end{array}

Jetzt, da man aa errechnet hat, kann man auch die übrigen Größen berechnen:

  • 1a=85=1,6\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{1}a=\frac85=1{,}6\end{array}

  • b=2(85)6=1656=245=2,8\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}b=2\cdot\left(\frac85\right)-6=\frac{16}5-6=-2\frac45=-2{,}8\end{array}

  • c=15(85)45=82545=1225=0,48c=\frac15\cdot\left(\frac85\right)-\frac45=\frac8{25}-\frac45=-\frac{12}{25}=-0{,}48

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben mit zwei Unbekannten

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