Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen) zusammen. Linear heißt hierbei, dass jede Variable höchstens mit dem Exponenten 11 auftaucht!

Um ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösen zu können, braucht man mindestens ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte.

Beispiel

Gibt es also zwei unbekannte Größen (z.B. xx und yy oder aa und bb), benötigt man auch mindestens zwei Gleichungen zum Lösen.

I2x+12y=0II23xy=7\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crcrcrcr}\mathrm{I}&2x&+&\frac12y&=&0\\\mathrm{II}&\frac23x&-&y&=&7\end{array}     

Die Gleichungen werden mit römischen Zahlen nummeriert und die Variablen passend untereinander angeordnet; wie hier im Beispiel also die Terme mit xx untereinander, dann die Terme mit yy.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in lineare Gleichungssysteme - Teil 1.

Bestimmtheit von Gleichungssystemen

Mehr gesuchte Variablen als Gleichungen

Besitzt ein Gleichungssystem mehr Gleichungen als unbekannte Variablen, kann dieses meist nicht eindeutig gelöst werden. Im Beispiel gibt es drei Unbekannte aber nur zwei Gleichungen. In diesem Fall spricht man von einem unterbestimmten Gleichungssystem.

Es kann zudem auch vorkommen, dass ein solches Gleichungssystem keine Lösung aufweist. Dieser Fall wird in Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen genauer erläutert.

Beispiel:

Gleich viele gesuchte Variablen wie Gleichungen

Bei einem Gleichungssystem, welches genau gleich viele unbekannte Variablen wie Gleichungen besitzt, kann im Allgemeinen exakt eine Lösung bestimmt werden, das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar. Dies ist der Normalfall.

Es gibt dabei zwei Ausnahmen:

  1. Wenn zwei oder mehr Gleichungen voneinander linear abhängig sind, dann ist das Gleichungssystem wiederum auch nicht eindeutig lösbar, besitzt also eine unendlich Anzahl von Lösungskombinationen.

  2. Es kann auch vorkommen, dass das Gleichungssystem keine Lösung aufweist. Dies wird unter Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen genauer beschrieben.

Beispiel:

Mehr Gleichungen als gesuchte Variablen

Weist ein Gleichungssystem mehr Gleichungen als gesuchte Variablen auf, gibt es im Allgemeinen keine Lösung. In einem solchen Fall spricht man von einem überbestimmten Gleichungssysstem.

Wiederum als Ausnahme gilt, wenn mehrere Gleichung voneinander linear abhängig sind. Dies kann dazu führen, dass das Gleichungssystem entweder eindeutig lösbar wird oder wir sogar ein unterbestimmtes Gleichungssystem haben.

Beispiel:

Gleichungssysteme lösen

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet alle Variablen so zu bestimmen, dass alle Gleichungen des Systems erfüllt werden. Es gibt fünf verschiedene Verfahren, ein Gleichungssystem zu lösen:

Gleichungssystem als Matrix darstellen

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich immer als erweiterte Koeffizienten-Matrix (Ab)\left(\mathrm A\left|\mathrm b\right.\right) schreiben.

Beispiel

Gleichungssystem

Erläuterung

In die Matrix werden die Koeffizienten übertragen. Die konstanten Terme werden dabei ganz rechts eingetragen und durch einen Strich abgetrennt.

Matrix

Die Schreibweise eines Gleichungssystems als erweiterte Koeffizientenmatrix ist hilfreich, um Aussagen über die Lösbarkeit des Gleichungssystems zu treffen und um die Lösung(en) zu berechnen.


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