Lineare Gleichung

Eine Gleichung der Form

%%a\cdot x=b%%

heißt lineare Gleichung. Dabei sind %%a%% und %%b%% Zahlen und %%x%% die gesuchte Variable.

Beispiel:

%%2x=4%%

Die gesuchte Variable steht also weder im Nenner eines Bruchs, noch unter einer Wurzel oder hat einen Exponenten %%\neq1%% .

Beispiele

lineare Gleichungen:

%%5\cdot x=15%%
%%17\cdot x-3=0%%
%%8-\frac12x=0%%
%%2x+5x-7=18%%
%%a\cdot x+c=2%% , falls man %%a%% und %%c%% als bekannt voraussetzt.

keine linearen Gleichungen:

%%\frac1x=5%%
%%3x^2+4x-3=12%%
%%\sqrt x-3=0%%

Lösen von linearen Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist gelöst, wenn man den Wert für die gesuchte Variable (meistens x) gefunden hat, für den die Gleichung richtig ist.

Vorgehensweise

Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf einer Seite des " %%=%% "-Zeichens nur die gesuchte Variable und auf der anderen Seite nur noch bekannte Zahlen oder Buchstaben stehen.

Allgemein

Vorgehensweise

Am Beispiel

%%a\cdot x+b=c%%

%%\,%%

%%17\cdot x-3=31%%

%%a\cdot x+b=c\;\;\;\left|-b\right.%%

Versuche alle Zahlen (oder bekannte Variablen), die mit der gesuchten Variablen (=x) mit Plus oder Minus verbunden sind, auf die andere Seite zu bringen.

%%17\cdot x-3=31\;\;\;\left|+3\right.%%

%%a\cdot x+b\mathbf{-b}=c\mathbf{-b}%%

%%\,%%

%%17\cdot x-3 \mathbf{+3}=31\mathbf{+3}%%

%%\mathbf{a\cdot}x=c-b\;\;\;\;\;\left|\mathbf{:a}\right.%%

Bringe nun alle Zahlen (oder bekannte Variablen), die mit der gesuchten Variablen (=x) mit Mal verbunden sind auf die andere Seite.

%%\mathbf{17\cdot}x=34\;\;\;\;\;\left|\mathbf{:17}\right.%%

%%\frac{a\cdot x}{\mathbf{a}}=\frac{c-b}{\mathbf{a}}%%

%%x=\frac{c-b}a%%

%%\,%%

%%\frac{17\cdot x}{\mathbf{17}}=\frac{34}{\mathbf{17}}%%

%%x=\frac{34}{17}=2%%

Dies ist die prinzipielle Vorgehensweise. Allerdings kann man auch Gleichungen finden, die nicht diese "schöne" Form haben, sondern auf den ersten Blick ziemlich kompliziert ausschauen. Ein Beispiel wäre

%%7-\left[-3\left(11-5x\right)\right]=2x-1-\left(1-4x\right)%%

Durch Klammern ausmultiplizieren und Zusammenfassen kommt man aber wieder auf die bekannte, "schöne" Form und kann die Gleichung lösen.

Beispielaufgaben

Übungsaufgabe

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. _Information

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Zu article Lineare Gleichung:

Renate 2017-09-04 17:42:55+0200

PROBLEMATISCHE FORMULIERUNG
Zu Anfang steht in diesem Artikel zur Erklärung, was eine lineare Gleichung ist, der Satz "Eine Gleichung der Form %%a⋅x=b%% heißt lineare Gleichung."

Das ist insofern problematisch, als ja eine lineare Gleichung nicht zwangsläufig bereits von vornherein in dieser Form VORLIEGT.
(Dass es eine Gleichung ist, die sich in diese Form BRINGEN lässt, kann man aber auch nicht schreiben, denn das trifft ja z.B. auch auf viele Bruchgleichungen zu.)
Zudem sollten eigentlich aus technischen Gründen im ersten Satz eines Artikels keine Formeln stehen.

VORSCHLAG:
Wir sollten hier am Anfang des Artikels auf eine exakte "Definition" verzichten und zur Begriffsklärung lieber nur eine Formulierung wählen, die in schüler-verständlicher Weise PLAUSIBEL macht, wie man eine Gleichung als lineare Gleichung erkennt (vgl. dazu z. B. den erklärenden Satz und die Beispiele, die hier unter der von mir beanstandeten "Begriffsdefinition" stehen).

(Eine exakte Definition kann dann ggf. später immer noch folgen, falls gewünscht und notwendig.)

Was haltet ihr davon?

Gruß
Renate