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Lineare Gleichung

Lineare Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable (meist x) nur in der 1. Potenz vorkommt.

In diesem Artikel lernst du verschiedene Eigenschaften solcher Gleichungen kennen.

BeachteExponent 1

Generell hat jede Variable, hier z.B. die Variable xx ohne Exponenten den Exponenten 11.

Dabei gilt:

Der Exponent wird in diesem Fall meist weggelassen.

Eine lineare Gleichung kann ganz unterschiedliche Gestalten haben, typische Beispiele sind:

  • 3x=123\cdot x=12

  • x=2-x=2

  • (x2)3=5(x13)(x-2)\cdot3=5-(x-13)      

Als Variable muss jedoch nicht xx gewählt werden, möglich ist jeder beliebige Buchstabe:

  • 3A=123\cdot A=12

  • 3b+5=123\cdot b+5=12

Lineare Gleichungen mit einer Variablen können keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Gibt es Lösungen, nennt man die Gleichung lösbar. Gibt es genau eine Lösung, nennt man sie eindeutig lösbar.

  • 3b+5=123\cdot b+5=12

Es gibt auch lineare Gleichungen mit mehr als einer Variablen:

  • 3x+2y=73\cdot x+2\cdot y=7

  • x=2y-x=2\cdot y

Die Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen können ebenfalls keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Die Lösungen sind jedoch in diesem Fall Paare.

  • x=2y-x=2\cdot y

Es gibt außerdem lineare Gleichungen mit einer Variablen und Parametern. Parameter sind unbekannte Zahlen, die auch mit einem Buchstaben dargestellt werden. Man muss bei solchen Gleichungen festlegen bzw. wissen, was die Variable ist und was ein Parameter:

  • ax=4a\cdot x=4

    eine Variable xx, ein Parameter aa

  • ax+by=ca\cdot x+b\cdot y=c

    zwei Variablen xx und y, drei Parameter aa, bb und cc

Viele Gleichungen, die zunächst nicht als lineare Gleichungen identifiziert werden können, kann man durch Umformungen auf lineare Gleichungen zurückführen:

  • x(x+4)=x2+8x\cdot(x+4)=x^2+8 der quadratische Term x2x^2 fällt beim Umformen weg

VorgehenLösen einer linearen Gleichung
  1. Zunächst löst man alle Klammern auf.

  2. Danach formt man die Gleichung so um, dass alle Terme mit der Variablen auf der linken Seite stehen und alle ohne die Variable (also Zahlen und Parameter) auf der rechten Seite.

  3. Anschließend fasst man die Rechenausdrücke auf beiden Seiten zusammen.

Genauer kann man sich über die Vorgehensweise hier informieren.

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu linearen Gleichungen

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