Lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung kann ganz unterschiedliche Gestalten haben, typische Beispiele sind:

• $3\cdot x=123\backslash cdot\; x=12$

• $-x=2-x=2$

• $(x-2)\cdot 3=5-(x-13)(x-2)\backslash cdot3=5-(x-13)$      

Als Variable muss jedoch nicht $xx$ gewählt werden, möglich ist jeder beliebige Buchstabe:

• $3\cdot A=123\backslash cdot\; A=12$

• $3\cdot b+5=123\backslash cdot\; b+5=12$

Lineare Gleichungen mit einer Variablen können keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Gibt es Lösungen, nennt man die Gleichung lösbar. Gibt es genau eine Lösung, nennt man sie eindeutig lösbar.

• $3\cdot b+5=123\backslash cdot\; b+5=12$

Es gibt auch lineare Gleichungen mit mehr als einer Variablen:

• $3\cdot x+2\cdot y=73\backslash cdot\; x+2\backslash cdot\; y=7$

• $-x=2\cdot y-x=2\backslash cdot\; y$

Die Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen können ebenfalls keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Die Lösungen sind jedoch in diesem Fall Paare.

• $-x=2\cdot y-x=2\backslash cdot\; y$

Es gibt außerdem lineare Gleichungen mit einer Variablen und Parametern. Parameter sind unbekannte Zahlen, die auch mit einem Buchstaben dargestellt werden. Man muss bei solchen Gleichungen festlegen bzw. wissen, was die Variable ist und was ein Parameter:

• $a\cdot x=4a\backslash cdot\; x=4$ → eine Variable $xx$, ein Parameter $aa$

• $a\cdot x+b\cdot y=ca\backslash cdot\; x+b\backslash cdot\; y=c$ → zwei Variablen $xx$ und y, drei Parameter $aa$, $bb$ und $cc$

Viele Gleichungen, die zunächst nicht als lineare Gleichungen identifiziert werden können, kann man durch Umformungen auf lineare Gleichungen zurückführen:

• $x\cdot (x+4)=x^2+8x\backslash cdot(x+4)=x^2+8$ der quadratische Term $x^{2}x^2$ fällt beim Umformen weg