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Äquivalenzumformungen

Mithilfe von Äquivalenzumformungen kann eine Gleichung zu einer anderen, äquivalenten Gleichung umgeformt werden, ohne dass die Lösungsmenge verändert wird. Dies wird meist dazu verwendet, in einfachere Gleichungen umzuformen und dadurch die ursprüngliche Gleichung zu lösen.

Halte die Waage im Gleichgewicht

Wenn man sich die beiden Seiten einer Gleichung als Gewichte vorstellt und sie auf die Waage legt, so ist bei einer erfüllbaren Gleichung (mit mindestens einer Lösung) die Waage immer im Gleichgewicht.

Im Bild siehst man beispielsweise die Gleichung 3x+2=6+x3x+2=6+x.

Gültige Äquivalenzumformungen halten die Waage zu jeder Zeit im Gleichgewicht, die Gleichung bleibt also wahr.

Übung: Probiere erstmal selbst, die Waage so zu manipulieren, dass sie im Gleichgewicht bleibt, aber du kannst das Gewicht von xx ermitteln bevor du weiterliest!

Gültige Äquivalenzumformungen, bei denen die sinnbildliche Waage im Gleichgewicht bleibt, sind also:

  • Addieren und Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung

  • Multiplizieren und Dividieren durch dieselbe Zahl (außer 0) auf beiden Seiten der Gleichung

  • gültige Termumformungen auf einer der beiden Seiten der Gleichung (Ausmultiplizieren, Zusammenfassen, ...)

Vorsicht bei folgenden Umformungen

Dividieren / Multiplizieren

Hier muss darauf achtgegeben werden, dass nicht mal null genommen wird oder durch null geteilt wird.

In dem Waagenbild entspräche das Multiplizieren mit null der Anweisung "nimm alles auf beiden Seiten der Waage weg". Die Gleichung wird dann uneingeschränkt wahr.

 

Quadrieren

Quadrieren beider Seiten kann dazu führen, dass falsche Gleichungen wahr werden, bzw. dass sich die Lösungsmenge vergrößert. 

So wird die falsche Gleichung 1=1-1=1 durch Quadrieren wahr. Die Gleichung x=1x=-1, die nur eine Lösung in R besitzt, erhält durch Quadrieren eine zweite:  x2=1x^2=1 ist wahr für  x=1x=-1 und x=1x=1

 

Funktion auf beiden Seiten anwenden

Das Problem, das sich beim Quadrieren ergibt, ergibt sich auch allgemein bei vielen anderen Funktionen. Damit man eine Funktion uneingeschränkt dazu verwenden darf, eine Gleichung umzuformen, muss sie umkehrbar sein, wie z. B. die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion.

Auflösen nach einer Variablen

Meist besteht ein Problem darin, einen Wert einer Variablen zu bestimmen, für den die Gleichung richtig ist. Dazu versucht man, die Gleichung mithilfe der obigen Umformungen so umzuformen, dass die zu bestimmende Variable blank auf der linken Seite steht und nicht mehr auf der rechten Seite.

Beispiel

Der senkrechte Strich neben der Gleichung heißt "Kommandostrich" oder "Umformungsstrich". Er besagt in der ersten Zeile z. B., dass auf beiden Seiten der Gleichung 66 subtrahiert wird.

Überprüfung

Um das Ergebnis zu überprüfen, kann es einfach in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden.

Aussage ist wahr

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